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1、第 2 讲 函数的单调性与最值知 识 梳 理1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数 f(x)的定义域为 A，如果对于定义域 A 内某个区间I 上的任意两个自变量 x1，x2当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 I 上是增函数当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 I 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义若函数 yf(x)在区间 I 上是增函数或减函数，则称函数 yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 I 叫做函数 yf(x)的单调区间2函数的最值
2、一般地，设 yf(x)的定义域为 A.如果存在 x0A，使得对于任意的 xA，都有f(x)f(x0)，那么称 f(x0)为 yf(x)的最大值，记为 ymaxf(x0)；如果存在 x0A，使得对于任意的 xA，都有 f(x)f(x0)，那么称 f(x0)为 yf(x)的最小值，记为yminf(x0)辨 析 感 悟1函数单调性定义的理解(1)对于函数 f(x)，xD，若 x1，x2D 且(x1x2)f(x1)f(x2)0，则函数 f(x)在 D 上是增函数()(2)函数 f(x)2x1 在(，)上是增函数()(3)(教材改编)函数 f(x) 在其定义域上是减函数()1x(4)已知 f(x)，g(
3、x)2x，则 yf(x)g(x)在定义域上是增函数()x2函数的单调区间与最值(5)函数 yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，)()(6)(教材改编)函数 y 的单调递减区间是(，0)(0，)()1x(7)(2013北京卷改编)函数 ylg|x|的单调递减区间为(0，)()(8)函数 f(x)log2(3x1)的最小值为 0.()感悟提升1一个区别 “函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”的区别：前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集，如(5)2两个防范 一是注意函数的定义域不连续的两个单调性相同的区间，要分别说明单调区间，不可说成“在其定义域
4、上”单调，如(3)；二是若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集，如(6).考点一 确定函数的单调性或单调区间【例 1】 (1)判断函数 f(x)x (a0)在(0，)上的单调性ax(2)(2013沙市中学月考)求函数 y (x24x3)的单调区间1 3log解 (1)法一 任意取 x1x20，则 f(x1)f(x2)(x1x2)(x1ax1) (x2ax2)(x1x2)(x1x2).(ax1ax2)ax2x1x1x2(1ax1x2)当x1x20 时，x1x20,10，aax1x2有 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，此时，函数 f(x)x (a0
5、)在(0，上为减函数；axa当 x1x2时，x1x20,10，aax1x2有 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，此时，函数 f(x)x (a0)在，)上为增函数；axa综上可知，函数 f(x)x (a0)在(0，上为减函数；在，)上为增函axaa数法二 f(x)1，令 f(x)0，则 10，ax2ax2解得 x或 x(舍)令 f(x)0，则 10，aaax2解得x.x0，0x.aaaf(x)在(0，)上为减函数；在(，)上为增函数，aa也称为 f(x)在(0，上为减函数；在，)上为增函数aa(2)令 ux24x3，原函数可以看作 yu 与 ux24x3 的复合函1 3log数令
6、 ux24x30.则 x1 或 x3.函数 y (x24x3)的定义域为(，1)(3，)1 3log又 ux24x3 的图象的对称轴为 x2，且开口向上，ux24x3 在(，1)上是减函数，在(3，)上是增函数而函数 yu 在(0，)上是减函数，1 3logy (x24x3) 的单调递减区间为(3，)，单调递增区间为1 3log(，1).规律方法 (1)对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；可导函数则可以利用导数解之(2)复合函数 yfg(x)的单调性规律是“同则增，异则减” ，即 yf(u)与
7、ug(x)若具有相同的单调性，则 yfg(x)为增函数，若具有不同的单调性，则yfg(x)必为减函数【训练 1】 试讨论函数 f(x) (a0)在(1,1)上的单调性axx1解 设10 时，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，函数 f(x)在(1,1)上递减；当 a0.由于 x10 时，它有两个减区间为(，1)和(1，)，故只需区间1,2是 f(x)和 g(x)的减区间的子集即可，则 a 的取值范围是 00，得 x ，所以函数的定义域为，由复合函数的12(12，)单调性知，函数 f(x)log5(2x1)的单调增区间是.(12，)答案 (12，)2已知函数 f(x)2ax24(a
8、3)x5 在区间(，3)上是减函数，则 a 的取值范围是_解析 当 a0 时，f(x)12x5 在(，3)上是减函数；当 a0 时，由Error!Error!得 0a .34综上，a 的取值范围是 0a .34答案 0，343(2013南通月考)已知函数 f(x)为 R 上的减函数，则满足 f1，函数 f(x)logax 在区间a,2a上的最大值与最小值之差为 ，则12a_.解析 由 a1 知函数 f(x)在a,2a上为单调增函数，则 loga(2a)logaa ，解得12a4.答案 46函数 f(x)2x的最大值是_183x解析 由 183x0，得 x6，又函数 f(x)在定义域上显然是增函
9、数，所以当x6 时，f(x)取最大值 f(6)12.答案 127(2012安徽卷)若函数 f(x)|2xa|的单调递增区间是3，)，则a_.解析 f(x)Error!Error!f(x)在上单调递减，在上单调递增(，a2)a2，) 3，a6.a2答案 68用 mina，b，c表示 a，b，c 三个数中的最小值设 f(x)min2x，x2,10x(x0)，则 f(x)的最大值为_解析 由 f(x)min2x，x2，10x(x0)画出图象，最大值在 A 处取到，联立Error!Error!得 y6.答案 6二、解答题9试讨论函数 f(x)，x(1,1)的单调性(其中 a0)axx21解 任取1x1
10、x21，则 f(x1)f(x2)ax1x2 11ax2x2 21，ax2x1x1x21x2 11x2 211x1x21，|x1|1，|x2|1，x2x10，x 10，x 10，|x1x2|1，2 12 2即1x1x21，x1x210，0，x2x1x1x21x2 11x2 21因此，当 a0 时，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，此时函数为减函数；当 a0 时，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，此时函数为增函数10已知函数 f(x) (a0，x0)1a1x(1)判断函数 f(x)在(0，)上的单调性；(2)若 f(x)在上的值域是，求 a 的值12，212，2解
11、(1)任取 x1x20，则 x1x20，x1x20，f(x1)f(x2)(1a1x1) (1a1x2)1x21x10，x1x2x1x2f(x1)f(x2)，因此，函数 f(x)是(0，)上的单调递增函数(2)f(x)在上的值域是，12，212，2又由(1)得 f(x)在上是单调增函数，12，2f ，f(2)2，(12)12即 2 ， 2.1a121a12解得 a .25能力提升题组(建议用时：25 分钟)一、填空题1(2014太原一模)下列函数中，在1,0上单调递减的是_ycos x；y|x1|；yln ；yexex.2x2x解析 对于，结合余弦函数的图象可知，ycos x 在1,0上是增函数
12、；对于，注意到当 x1,0 时，相应的函数值分别是2，1，因此函数y|x1|在1,0上不是减函数；对于，注意到函数 yln ln2x2x在1,0上是增函数；对于，当 x1,0时，(142x)yexex0，因此该函数在1,0上是减函数，综上所述，填.答案 2(2014南阳一中月考)函数 y(x3)|x|的递减区间是_解析 yError!Error!这个函数图象是由两部分抛物线弧组成，画出它的图象可以看出，函数的单调递减区间为(，0)和( ，)32amInr答案 (，0)和( ，)323已知函数 f(x)(a0)在(2，)上递增，则实数 a 的取值范围是x2ax_解析 法一 任取 2x1x2，由已
13、知条件 f(x1)f(x2)(x1x2)x2 1ax1x2 2ax20 恒成立，即当 2x1x2时，x1x2a 恒成立，ax2x1x1x2x1x2x1x2ax1x2又 x1x24，则 0a4.法二 f(x)x ，f(x)10 得 f(x)的递增区间是(，)，axax2a(，)，由已知条件得2，解得 0a4.aa答案 (0,4二、解答题4已知二次函数 f(x)ax2bx1(a0)，F(x)Error!Error!若 f(1)0，且对任意实数 x 均有 f(x)0 成立(1)求 F(x)的表达式；(2)当 x2,2时，g(x)f(x)kx 是单调函数，求 k 的取值范围解 (1)f(1)0，ab10，ba1，f(x)ax2(a1)x1.对任意实数 x 均有 f(x)0 恒成立，Error!Error!Error!Error!a1，从而 b2，f(x)x22x1，F(x)Error!Error!(2)g(x)x22x1kxx2(2k)x1.g(x)在2,2上是单调函数，2 或2，解得 k2 或 k6.k22k22故 k 的取值范围是(，26，).
