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1、第 8 讲 函数与方程知 识 梳 理函数的零点(1)函数的零点的概念一般地，我们把使函数 yf(x)的值为 0 的实数 x 称为函数 yf(x)的零点(2)函数的零点与方程的根的关系方程 f(x)0 有实数根函数 yf(x)的图象与 x 轴有交点函数 yf(x)有零点(3)零点存在性定理如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)0，那么函数 yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c(a，b)，使得 f(c)0，这个 c 也就是 f(x)0 的根对于在区间a，b上连续不断且 f(a)f(b)0 的函数 yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所
2、在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法辨 析 感 悟函数零点概念的理解及应用(1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点()(2)对于定义域内的两个变量 x1，x2，若 f(x1)f(x2)0，则函数 f(x)有零点()(3)若 f(x)在区间a，b上连续不断，且 f(a)f(b)0，则 f(x)在(a，b)内没有零点()(4)若函数 yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，且 f(a)f(b)0，则函数 yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点()(5)(2012湖北卷改编)函数 f(x)xcos 2x 在区间0,2上的零点的个数为
3、 2.()(6)(2013广州模拟改编)已知函数 f(x)x2xa 在区间(0,1)上有零点，则实数a 的取值范围是(2,0)()感悟提升1一点提醒 函数的零点不是点，是方程 f(x)0 的根，如(1)2三个防范 一是严格把握零点存在性定理的条件，如(2)中没有强调连续曲线；二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件，如(3)；三是函数 f(x)在a，b上单调且f(a)f(b)0，则 f(x)在a，b上只有一个零点.考点一 函数零点的求解与判断【例 1】 (1)(2013青岛一模)函数 f(x)1xlog2x 的零点所在区间是_；(1,2)
4、；(2,3)(14，12)(12，1)(2)(2014郑州一模)函数 f(x)Error!Error!的零点个数是_解析 (1)f1 log21 0，(14)14141232f1 log21 0，(12)12121232f(1)1010，f(2)12 log2210，由 f(1)f(2)0 知正确(2)当 x0 时，令 g(x)ln x，h(x)x22x.画出 g(x)与 h(x)的图象如图：故当 x0 时，f(x)有 2 个零点当 x0 时，由 4x10，得 x ，14综上函数 f(x)的零点个数为 3.答案 (1) (2)3规律方法 (1)直接求零点：令 f(x)0，如果能求出解，则有几个
5、解就有几个零点.(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且 f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点【训练 1】 (1)(2014合肥模拟)函数 f(x) log2x 的一个零点落在区间1x_(0,1)；(1,2)；(2,3)；(3,4)(2)(2012北京卷改编)函数 f(x)x的零点个数为_(12)解析 (1)f(1)10，故其中一个零点会落在(1,2)内12(2)f(x)x的零点，即令 f
6、(x)0.根据此题可得x，在平面直角坐标(12)(12)系中分别画出幂函数 y和指数函数 yx的图象，可得交点只有一个，所(12)以零点只有一个答案 (1) (2)1考点二 根据函数零点的存在情况，求参数的值【例 2】 已知函数 f(x)x22exm1，g(x)x(x0)e2x(1)若 yg(x)m 有零点，求 m 的取值范围；(2)确定 m 的取值范围，使得 g(x)f(x)0 有两个相异实根解 (1)法一 x0 时 g(x)x22e，e2xe2等号成立的条件是 xe，故 g(x)的值域是2e，)，因而只需 m2e，则 yg(x)m 就有零点m 的取值范围是2e，)法二 作出 g(x)x(x
7、0)的大致图象如图：e2x可知若使 yg(x)m 有零点，则只需 m2e.m 的取值范围是2e，)(2)若 g(x)f(x)0 有两个相异的实根，即 g(x)与 f(x)的图象有两个不同的交点，作出 g(x)x(x0)的大致图象f(x)x22exm1(xe)e2x2m1e2，其图象的对称轴为 xe，开口向下，最大值为 m1e2.故当m1e22e，即 me22e1 时，g(x)与 f(x)有两个交点，即 g(x)f(x)0有两个相异实根m 的取值范围是(e22e1，)规律方法 函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化
8、为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用【训练 2】 (2014鞍山模拟)已知函数 f(x)Error!Error!若方程 f(x)a0 有三个不同的实数根，则实数 a 的取值范围是_解析 画出函数 f(x)的图象如图所示，观察图象可知，若方程 f(x)a0 有三个不同的实数根，则函数 yf(x)的图象与直线 ya 有 3 个不同的交点，此时需满足 0a1.答案 (0,1)考点三 与二次函数有关的零点分布【例 3】 是否存在这样的实数 a，使函数 f(x)x2(3a2)xa1 在区间1,3上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出
9、 a 的取值范围；若不存在，说明理由审题路线 由 f(x)在1,3上只有一个零点f(x)0 在1,3上有且只有一个实数根计算知 0 恒成立令 f(1)f(3)0求出 a 的范围对端点值检验得出结论解 令 f(x)0，则 (3a2)24(a1)9a216a892 0，即(a89)89f(x)0 有两个不相等的实数根，若实数 a 满足条件，则只需 f(1)f(3)0 即可f(1)f(3)(13a2a1)(99a6a1)4(1a)(5a1)0，a或 a1.15检验：(1)当 f(1)0 时，a1，所以 f(x)x2x.令 f(x)0，即 x2x0，得 x0 或 x1.方程在1,3上有两个实数根，不合
10、题意，故 a1.(2)当 f(3)0 时，a ，15此时 f(x)x2x .13565令 f(x)0，即 x2x 0，13565解得 x 或 x3.25方程在1,3上有两个实数根，不合题意，故 a .15综上所述，a 的取值范围是(1，)(，15)规律方法 解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组【训练 3】 已知关于 x 的二次方程 x22mx2m10.(1)若方程有两根，其中一根在区间(1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求 m 的范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求 m
11、的范围解 (1)由条件，抛物线 f(x)x22mx2m1 与 x 轴的交点分别在区间(1,0)和(1,2)内，如图(1)所示，得Error!Error!Error!Error!即 0.f(x)minf(1)4a4，a1.故函数 f(x)的解析式为 f(x)x22x3.(2)g(x)4ln xx 4ln x2(x0)，x22x3x3xg(x)1 .3x24xx1x3x2当 x 变化时，g(x)，g(x)的取值变化情况如下：x(0,1)1(1,3)3(3，)g(x)00g(x)极大值极小值当 0x3 时，g(x)g(1)40.又因为 g(x)在(3，)单调递增，因而 g(x)在(3，)上只有 1 个零点故 g(x)在(0，)只有 1 个零点.
