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1、第 2 讲 古典概型知 识 梳 理1古典概型(1)我们把具有：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等，以上两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典模型(2)古典概率模型的概率求法如果一次试验中基本事件共有 n 个，那么每一个基本事件发生的概率都是 ，如1n果某个事件 A 包含了其中的 m 个基本事件，那么事件 A 发生的概率为 P(A) .mn2古典概型的概率公式P(A).A包含的基本事件的个数基本事件的总数辨 析 感 悟1古典概型的意义(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽” ()(2)掷一枚硬币两次，出现
2、“两个正面” “一正一反” “两个反面” ，这三个结果是等可能事件()(3)(教材习题改编)有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 .()132古典概型的计算(4)在古典概型中，如果事件 A 中基本事件构成集合 A，所有的基本事件构成集合 I，则事件 A 的概率为.()cardAcardI(5)(教材习题改编)任意投掷两枚骰子，出现点数和为奇数的概率为.()511(6)(2013重庆卷改编)若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为 .()12感悟提升1一点提醒 一个试验是否为古典概型，
3、在于这个试验是否具有古典概型的两个特点有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型，如(1)、(2)2一种思想 从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合 I，基本事件的个数 n 就是集合 I 的元素个数，事件 A 是集合 I的一个包含 m 个元素的子集，故 P(A) ，如(4)；根据古典概型概率cardAcardImn公式计算，如(5)、(6)考点一 简单古典概型的概率【例 1】 (2013新课标全国卷改编)从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数，则取出的2 个数之差的绝对值为 2 的概率是_解析 从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数，有1
4、,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4共有 6 种取法构成“取出的 2 个数之差的绝对值为 2”这个事件的基本事件的个数为 2.所以，所求概率 P .2613答案 13规律方法 列举法列出所有基本事件的个数 n 和所求事件包含的基本事件的个数m，利用公式 P 可求mn【训练 1】 (2013浙江卷)从 3 男 3 女共 6 名同学中任选 2 名(每名同学被选中的机会均等)，这 2 名都是女同学的概率等于_解析 设 3 名男同学分别为 a1，a2，a3,3 名女同学分别为 b1，b2，b3，则从 6 名同学中任选 2 名的结果有a1a2，a1a3，a2a3，a1b1，a1b2，a1b3，a
5、2b1，a2b2，a2b3，a3b1，a3b2，a3b3，b1b2, b1b3，b2b3，共 15 种，其中都是女同学的有 3 种，所以概率 P .31515答案 15考点二 复杂古典概型的概率【例 2】 (2013辽宁卷)现有 6 道题，其中 4 道甲类题，2 道乙类题，张同学从中任取 2 道题解答试求：(1)所取的 2 道题都是甲类题的概率；(2)所取的 2 道题不是同一类题的概率解 (1)将 4 道甲类题依次编号为 1,2,3,4；2 道乙类题依次编号为 5,6.任取 2 道题，基本事件为：1,2，1,3，1,4，1,5，1,6，2,3，2,4，2,5，2,6，3,4，3,5，3,6，4
6、,5，4,6，5,6，共 15 个，而且这些基本事件的出现是等可能的用 A 表示“都是甲类题”这一事件，则 A 包含的基本事件有1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4，共 6 个，所以 P(A) .61525(2)基本事件同(1)，用 B 表示“不是同一类题”这一事件，则 B 包含的基本事件有1,5，1,6，2,5，2,6，3,5，3,6，4,5，4,6，共 8 个，所以 P(B).815规律方法 求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件 A 包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择.【训练
7、2】 (2014滨州一模)甲、乙两名考生在填报志愿时都选中了A，B，C，D 四所需要面试的院校，这四所院校的面试安排在同一时间因此甲、乙都只能在这四所院校中选择一所做志愿，假设每位同学选择各个院校是等可能的，试求：(1)甲、乙选择同一所院校的概率；(2)院校 A，B 至少有一所被选择的概率解 由题意可得，甲、乙都只能在这四所院校中选择一个做志愿的所有可能结果为：(甲 A，乙 A)，(甲 A，乙 B)，(甲 A，乙 C)，(甲 A，乙 D)，(甲 B，乙 A)，(甲B，乙 B)，(甲 B，乙 C)，(甲 B，乙 D)，(甲 C，乙 A)，(甲 C，乙 B)，(甲 C，乙 C)，(甲 C，乙 D)
8、，(甲 D，乙 A)，(甲 D，乙 B)，(甲 D，乙 C)，(甲 D，乙D)，共 16 种(1)设“甲、乙选择同一所院校”为事件 E，则事件 E 包含 4 个基本事件，故概率 P(E) .41614(2)设“院校 A，B 至少有一所被选择”为事件 F，则事件 F 包含 12 个基本事件，故概率 P(F) .1216341古典概型计算三步曲第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件 A 是什么，它包含的基本事物有多少个2确定基本事件的方法列举法、列表法、树形图法 答题模板 12古典概型的概率求解【典例】 (12 分)(2013山东卷)某小组共有 A，B，C，D，E
9、五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：ABCDE身高1.691.731.751.791.82体重指标19.225.118.523.320.9(1)从该小组身高低于 1.80 的同学中任选 2 人，求选到的 2 人身高都在 1.78 以下的概率；(2)从该小组同学中任选 2 人，求选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在18.5,23.9)中的概率规范解答 (1)从身高低于 1.80 的同学中任选 2 人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)共 6 个(3分)由于每个人被选到的机
10、会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的选到的2 人身高都在 1.78 以下的事件有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共 3 个因此选到的 2 人身高都在 1.78 以下的概率为 P .(6 分)3612(2)从该小组同学中任选 2 人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共 10 个(9 分)由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的选到的2 人身高都在 1.70 以上且体重指标都在18.5,23.9)中的事件有(C，D)，(C，E)，(D，E)，共 3
11、个因此选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在18.5，23.9)中的概率为P1.(12 分)310反思感悟 (1)列举基本事件时要分清两个问题：是否有顺序，有序的和无序的是有区别的；是否允许重复，如在取球问题中无放回地取球就是元素不允许重复，有放回地取球就是元素允许重复(2)本题易错点就是列举事件的个数易出错答题模板 第一步：定型：即先根据条件确定概率模型； 第二步：转化：即把古典概型的计算问题转化为计数问题； 第三步：计数：即用列举法等手段求解相关事件所包含的基本事件数； 第四步：求值：代入古典概型的概率公式求得结果.【自主体验】(2014枣庄一模)有编号为 A1，A2，A3
12、，A4，A5，A6的 6 位同学，进行 100 米赛跑，得到下面的成绩：编号A1A2A3A4A5A6成绩(秒)12.212.411.812.611.813.3其中成绩在 13 秒内的同学记为优秀(1)从上述 6 名同学中，随机抽取一名，求这名同学成绩优秀的概率；(2)从成绩优秀的同学中，随机抽取 2 名，用同学的编号列出所有可能的抽取结果，并求这 2 名同学的成绩都在 12.3 秒内的概率解 (1)由所给成绩可知，优秀同学共有 5 名设“从 6 名同学中，随机抽取一名为优秀”为事件 A，则 P(A) .56(2)成绩优秀同学的编号为 A1，A2，A3，A4，A5，从这 5 名同学中随机抽取 2
13、 名，所有可能的结果为：A1，A2，A1，A3，A1，A4，A1，A5，A2，A3，A2，A4，A2，A5，A3，A4，A3，A5，A4，A5，共有 10 种设“这 2 名同学的成绩都在 12.3 秒内”为事件 B，则 B 中所有可能结果为A1，A3，A1，A5，A3，A5，共有 3 种所以 P(B).310基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、填空题1一枚硬币连掷 2 次，恰有一次正面朝上的概率为_解析 一枚硬币连掷 2 次，基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，而只有一次出现正面的基本事件有(正，反)，(反，正)，故其概率为 .2412答案 122(2013新课标全国
14、卷)从 1,2,3,4,5 中任意取出两个不同的数，其和为 5 的概率是_解析 任取两个不同的数的情况有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共 10 种，其中和为 5 的有 2 种，所以所求概率为 .21015答案 153(2014金华模拟)从 1,2,3,4,5,6 六个数中任取 2 个数，则取出的两个数不是连续自然数的概率是_解析 取出的两个数是连续自然数有 5 种情况，则取出的两个数不是连续自然数的概率 P1 .51523答案 234(2014盐城一模)从1,2,3,4,5中随机选取一个数为 a，从1,
15、2,3中随机选取一个数为 b，则 ba 的概率是_解析 基本事件的个数有 15 种，其中满足 ba 的有 3 种，所以 ba 的概率为 .31515答案 155(2012安徽卷改编)袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球，其中有 1 个红球、2 个白球和 3 个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于_解析 1 个红球，2 个白球和 3 个黑球分别记为 a1，b1，b2，c1，c2，c3.从袋中任取两球有(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a1，c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共 15 种；满足两球颜色为一白一黑的有 6 种，概率等于 .61525答案 256一根绳子长为 6 米，绳子上有 5 个节点将绳子 6 等分，现从 5 个节点中随机选一个将绳子剪断，则所得的两段绳长均不小于 2 米的概率为_解析 随机选一个节点将绳子剪断共有 5 种情况，分别为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)满足两段绳长均不小于 2 米的为
