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1、第 3 讲 函数的奇偶性与周期性知 识 梳 理1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有f(x)f(x)，那么函数 f(x)是偶函数关于 y 轴对称奇函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有f(x)f(x)，那么函数 f(x)是奇函数关于原点对称2.奇(偶)函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同” 、 “相反”)(2)在公共定义域内两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数两个偶函数的和函数、积函数是偶函数一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数(3)若函
2、数 f(x)是奇函数且在 x0 处有定义，则 f(0)0.3周期性(1)周期函数：对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(xT)f(x)，那么就称函数 yf(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期辨 析 感 悟1对奇偶函数的认识及应用(1)函数 yx2，x(0，)是偶函数()(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(3)(教材习题改编)如果函数 f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则 F(x)f(x)g(
3、x)是偶函数()(4)若函数 yf(xa)是偶函数，则函数 yf(x)关于直线 xa 对称()(5)(2013山东卷改编)已知函数 f(x)为奇函数，且当 x0 时，f(x)x2 ，则1xf(1)2.()(6)(2014菏泽模拟)已知函数 yf(x)是定义在 R 上的偶函数，且在(，0)上是减函数，若 f(a)f(2)，则实数 a 的取值范围是2,2()2对函数周期性的理解(7)函数 f(x)在定义域上满足 f(xa)f(x)，则 f(x)是周期为 2a(a0)的周期函数()(8)(2013湖北卷改编)x 为实数，x表示不超过 x 的最大整数，则函数 f(x)xx在 R 上是周期函数()感悟提
4、升1两个防范 一是判断函数的奇偶性之前务必先考查函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数一定是非奇非偶函数，如(1)；二是若函数 f(x)是奇函数，则 f(0)不一定存在；若函数 f(x)的定义域包含 0，则必有 f(0)0，如(2)2两个结论 一是若函数 yf(xa)是偶函数，则函数 yf(x)关于直线 xa 对称；若函数 yf(xb)是奇函数，则函数 yf(x)关于点(b,0)中心对称，如(4)二是若对任意 xD 都有 f(xa)f(x)，则 f(x)是以 2a 为周期的函数；若对任意 xD 都有 f(xa)(f(x)0)，则 f(x)也是以 2a 为周期的函数，如(7)(8).1
5、fx考点一 函数奇偶性的判断及应用【例 1】 (1)判断下列函数的奇偶性：f(x)；f(x)ln.x211x21x1x(2)(2013辽宁卷改编)已知函数 f(x)ln(3x)1，则 f(lg 2)f(lg )19x212_.(1)解 由Error!Error!得 x1.f(x)的定义域为1,1又 f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，即 f(x)f(x)f(x)既是奇函数又是偶函数由0，得1x1，即 f(x)ln的定义域为(1,1)，1x1x1x1x又 f(x)lnln1lnf(x)，则 f(x)为奇函数1x1x(1x1x)1x1x(2)解析 设 g(x)ln(3x)，19x2则 g(x)
6、ln(3x)ln19x2119x23xln(3x)g(x)19x2g(x)为奇函数f(lg 2)ff(lg 2)f(lg 2)(lg12)g(lg 2)1g(lg 2)1g(lg 2)g(lg 2)22.答案 2规律方法 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断 f(x)与 f(x)是否具有等量关系在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)f(x)0(奇函数)或 f(x)f(x)0(偶函数)是否成立【训练 1】 (1)(2013湖南卷改编)已知 f(x)是奇函数，g(x)是偶函
7、数，且 f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，则 g(1)等于_(2)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数当 x0 时，f(x)2x2xb(b 为常数)，则f(1)_.解析 (1)由题意知：f(1)g(1)f(1)g(1)2，f(1)g(1)f(1)g(1)4，得 g(1)3.(2)因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数，所以 f(0)2020b0，解得 b1.所以当 x0 时，f(x)2x2x1，所以 f(1)f(1)(21211)3.答案 (1)3 (2)3考点二 函数的单调性与奇偶性【例 2】 (1)(2014山东实验中学诊断)在函数f(x) ；f(x)；f(x)1xx2x2x；f(x
8、)tan x 中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是_(2)(2013辽宁五校联考)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，在区间0，)上为增函数，且 f0，则不等式 f(x)0 的解集为_(13)1 8log解析 (1)f(x) 在定义域上是奇函数，但不单调；1xf(x)为非奇非偶函数；f(x)tan x 在定义域上是奇函数，但不单调x(2)由已知 f(x)在 R 上为偶函数，且 f0，(13)f(x)0 等价于 f(|x|)f，又 f(x)在0，)上为增函数，|1 8log1 8log(13)x| ，即x 或x ，解得 0x 或 x2.1 8log131 8log131 8log131
9、2答案 (1) (2)(2，)(0，12)规律方法 对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若 f(x)为偶函数，则 f(x)f(x)f(|x|)【训练 2】 (2013天津卷改编)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间0，)上单调递增若实数 a 满足 f(log2a)f(a)2f(1)，则 a 的取值范1 2log围是_解析 因为 f(x)是偶函数，所以 f(x)f(x)f(|x|)，又因为alog2a，1 2log且 f(x)是偶函数，所以 f(log2a)f(a)2f(log2a)2f(
10、|log2a|)2f(1)，即1 2logf(|log2a|)f(1)，又函数在0，)上单调递增，所以 0|log2a|1，即1log2a1，解得 a2.12答案 12，2考点三 函数的单调性、奇偶性、周期性的综合应用【例 3】 (经典题)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则 f(25)，f(11)，f(80)的大小顺序为_审题路线 f(x4)f(x)f(x8)f(x)结合 f(x)奇偶性、周期性把令xx425,11,80 化到区间2,2上利用2,2上的单调性可得出结论解析 f(x)满足 f(x4)f(x)，f(x8)f(x)，函数 f(x
11、)是以 8 为周期的周期函数，则 f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且满足 f(x4)f(x)，得 f(11)f(3)f(1)f(1)f(x)在区间0,2上是增函数，f(x)在 R 上是奇函数，f(x)在区间2,2上是增函数，f(1)f(0)f(1)，即 f(25)f(80)f(11)答案 f(25)f(80)f(11)规律方法 关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题.【训练 3】 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，恒有 f(x2)f(x)，当
12、x0,2时，f(x)2xx2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当 x2,4时，求 f(x)的解析式；(3)计算 f(0)f(1)f(2)f(2 014)(1)证明 f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期为 4 的周期函数(2)解 x2,4，x4，2，4x0,2，f(4x)2(4x)(4x)2x26x8，又 f(4x)f(x)f(x)，f(x)x26x8，即 f(x)x26x8，x2,4(3)解 f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3)1.又 f(x)是周期为 4 的周期函数，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 008)f(2
13、 009)f(2 010)f(2 011)0.f(0)f(1)f(2)f(2 014)f(2 012)f(2 013)f(2 014)f(0)f(1)f(2)1.1正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数 f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(x)f(x)或f(x)f(x)是定义域上的恒等式2奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(x)f(x)f(x)f(x)01(f(x)0)fxfx3奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称，反之也成立利用这一性质
14、可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性 方法优化 1根据函数的奇偶性求参数值【典例】 (2011辽宁卷改编)若函数 f(x)为奇函数，则x2x1xaa_.一般解法 由题意知 f(x)f(x)恒成立，即，x2(x12)xax2(x12)xa即(xa)(xa)恒成立，所以 a .(x12)(x12)12优美解法 (特值法)由已知 f(x)为奇函数得 f(1)f(1)，即，1211a1211a所以 a13(1a)，解得 a .12答案 12反思感悟 已知函数的奇偶性求参数值一般思路是：利用函数的奇偶性的定义转化为 f(x)f(x)，从而建立方程，使问题获得解决，但是在解决选择题、填空题时还显得较麻烦，为了使解题更快，可采用特值法【自主体验】1(2014永康适应性考试)若函数 f(x)ax2(2a2a1)x1 为偶函数，则实数a 的值为_解析 由 2a2a10，得 a1 或
