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1、第 3 讲 直接证明与间接证明知 识 梳 理1直接证明(1)综合法定义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明这样的思维方法称为综合法(2)框图表示：PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ(其中 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示要证的结论)(3)分析法定义：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等这样的思维方法称为分析法(4)框图表示：QP1P1P2P2P3.得到一个明显成立的条件2间接证明(1)反证法定义：在证明数学命题时，要证明的结论
2、要么正确，要么错误，二者必居其一我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立这种证明方法叫作反证法(2)反证法的证题步骤是：作出否定结论的假设；进行推理，导出矛盾；否定假设，肯定结论辨 析 感 悟对三种证明方法的认识(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件()(2)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾()(3)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程()(4)证明不等式最合适的方法是分析法()
3、2736感悟提升两点提醒 一是分析法是“执果索因” ，特点是从“未知”看“需知” ，逐步靠拢“已知” ，其逐步推理，实际上是寻找使结论成立的充分条件，如(1)；二是应用反证法证题时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法所谓矛盾主要指：与已知条件矛盾；与假设矛盾；与定义、公理、定理矛盾；与公认的简单事实矛盾；自相矛盾.考点一 综合法的应用【例 1】 (2013新课标全国卷)设 a，b，c 均为正数，且 abc1，证明：(1)abbcac ；(2)1.13a2bb2cc2a证明 (1)由 a2b22ab，b2c2
4、2bc，c2a22ac 得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即 a2b2c22ab2bc2ca1.所以 3(abbcca)1，即 abbcca .13(2)因为b2a，c2b，a2c，a2bb2cc2a故(abc)2(abc)，a2bb2cc2a即abc.所以1.a2bb2cc2aa2bb2cc2a规律方法 综合法往往以分析法为基础，是分析法的逆过程，但更要注意从有关不等式的定理、结论或题设条件出发，根据不等式的性质推导证明.【训练 1】 (1)设 a0，b0，ab1，求证： 8.1a1b1ab(2)已知 a，b，c 是全不相等的正实数，求证：3.bcaaacbbabcc证明
5、(1)ab1， 1a1b1ababaabbabab1 1 22baabababbaabab(ab2)22248.当且仅当 ab 时等号成立12(2)a，b，c 全不相等，且都大于 0 与 ， 与 ， 与 全不相等，baabcaaccbbc 2， 2， 2，baabcaaccbbc三式相加得 6，bacacbabacbc3，(baca1) (cbab1) (acbc1)即3.bcaaacbbabcc考点二 分析法的应用【例 2】 已知 a0，求证：a 2.a21a221a审题路线 从结论出发观察不等式两边的符号移项(把不等式两边都变为正项)平方移项整理平方移项整理可得显然成立的结论证明 (1)要
6、证a 2，a21a221a只需要证2a .a21a21a2a0，故只需要证22，(a21a22)(a1a 2)即 a2441a2a21a2a2222，1a22(a1a)从而只需要证 2，a21a22(a1a)只需要证 42，(a21a2)(a221a2)即 a22，而上述不等式显然成立，故原不等式成立1a2规律方法 (1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证【训练 2】 已知
7、 m0，a，bR，求证：2.(amb1m)a2mb21m证明 m0，1m0.所以要证原不等式成立，只需证(amb)2(1m)(a2mb2)即证 m(a22abb2)0，即证(ab)20，而(ab)20 显然成立，故原不等式得证考点三 反证法的应用【例 3】 等差数列an的前 n 项和为 Sn，a11，S393.22(1)求数列an的通项 an与前 n 项和 Sn；(2)设 bn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数Snn列(1)解 由已知得Error!Error!d2，故 an2n1，Snn(n)22(2)证明 由(1)得 bnn.Snn2假设数列bn中存在三项 bp，b
8、q，br(p，q，rN*，且互不相等)成等比数列，则b bpbr.2 q即(q)2(p)(r)222(q2pr)(2qpr)0.2p，q，rN*，Error!Error!2pr，(pr)20.(pr2)pr，与 pr 矛盾数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列规律方法 用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2)必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，且推导出的矛盾必须是明显的【训练 3】 已知 a1，求证三个方程：x24ax4a30，
9、x2(a1)xa20，x22ax2a0 中至少有一个方程有实数根证明 假设三个方程都没有实数根，则Error!Error!Error!Error! a1.32这与已知 a1 矛盾，所以假设不成立，故原结论成立1分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知2综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知3分析法和综合法各有优缺点分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来4利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，没有用假设命题
10、推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的 答题模板 13反证法在证明题中的应用【典例】 (14 分)(2013北京卷)直线 ykxm(m0)与椭圆 W：y21 相交x24于 A，C 两点，O 是坐标原点(1)当点 B 的坐标为(0,1)，且四边形 OABC 为菱形时，求 AC 的长；(2)当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时，证明：四边形 OABC 不可能为菱形规范解答 (1)因为四边形 OABC 为菱形，所以 AC 与 OB 相互垂直平分(2 分)所以可设 A，代入椭圆方程得 1，(t，12)t2414即 t.3所以|AC|2.(5 分)3(2)假设四边形 OABC 为菱形因为点 B 不是
11、 W 的顶点，且 ACOB，所以 k0.由Error!Error!消 y 并整理得(14k2)x28kmx4m240.(7 分)设 A(x1，y1)，C(x2，y2)，则，x1x224km14k2km.y1y22x1x22m14k2所以 AC 的中点为 M.(9 分)(4km14k2，m14k2)因为 M 为 AC 和 OB 的交点，且 m0，k0，所以直线 OB 的斜率为.(11 分)14k因为 k1，所以 AC 与 OB 不垂直(13 分)(14k)所以四边形 OABC 不是菱形，与假设矛盾所以当点 B 不是 W 的顶点时，四边形 OABC 不可能为菱形(14 分)反思感悟 (1)掌握反证
12、法的证明思路及证题步骤，明确作假设是反证法的基础，应用假设是反证法的基本手段，得到矛盾是反证法的目的(2)当证明的结论和条件联系不明显、直接证明不清晰或正面证明分类较多、而反面情况只有一种或较少时，常采用反证法(3)利用反证法证明时，一定要回到结论上去答题模板 用反证法证明数学命题的答题模板：第一步：分清命题“pq”的条件和结论；第二步：作出与命题结论 q 相矛盾的假定綈 q；第三步：由 p 和綈 q 出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于所作的假设綈 q 不真，于是原结论 q成立，从而间接地证明了命题.【自主体验】设直线 l1：yk1x1，l2：yk2x
13、1，其中实数 k1，k2满足 k1k220.(1)证明：l1与 l2相交；(2)证明：l1与 l2的交点在椭圆 2x2y21 上证明 (1)假设 l1与 l2不相交，则 l1与 l2平行或重合，有 k1k2，代入 k1k220，得 k 20.2 1这与 k1为实数的事实相矛盾，从而 k1k2，即 l1与 l2相交(2)由方程组Error!Error!解得交点 P 的坐标为.(2k2k1，k2k1k2k1)从而 2x2y2222(2k2k1)(k2k1k2k1)1，8k2 2k2 12k1k2k2 2k2 12k1k2k2 1k2 24k2 1k2 24所以 l1与 l2的交点 P(x，y)在椭
14、圆 2x2y21 上.基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、填空题1(2014安阳模拟)若 ab0，则下列不等式中成立的是_ ；a b ；b a ； .1a1b1b1a1a1bbab1a1解析 (特值法)取 a2，b1，验证正确答案 2用反证法证明命题：“已知 a，bN，若 ab 可被 5 整除，则 a，b 中至少有一个能被 5 整除”时，应反设_成立解析 由反证法的定义得，反设即否定结论答案 a，b 都不能被 5 整除3(2014上海模拟)“a ”是“对任意正数 x，均有 x 1”的_条14ax件解析 当 a 时，x 21，当且仅当 x，即 x 时取等号；反之，1414xx14x14x12显然不成立答案 充分不必要4(2014张家口模拟)分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设abc，且 abc0，求证a”索的因应是_b2ac3ab0；ac0；(ab)(ac)0；(ab)(ac)0.解析 由题意知ab2ac3a2b2ac3(ac)2ac3a2a22acc2ac3a202a2acc202a2acc20(ac)(2ac)0(ac)(ab)0.答案 5(2014
