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1、第 2 讲 用样本估计总体知 识 梳 理1频率分布直方图与茎叶图(1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种，一种是用样本的频率分布估计总体的分布，另一种是用样本的数字特征估计总体的数字特征(2)在频率分布直方图中，纵轴表示，数据落在各小组内的频率用各小长方频率 组距形的面积表示，各小长方形的面积总和等于 1.(3)频率分布直方图的作法步骤：求全距，决定组数和组距，组距；全距 组数分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；统计频数，计算频率，列出频率分布表画出频率分布直方图(4)将频率分布直方图中各个相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就得到频率分布折线图随着样本容量的增加
2、，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为总体分布的密度曲线，它能够更加精细的反映出总体在各个范围内取值的百分比(5)茎叶图不仅能够保留原始数据，而且能够展示数据的分布情况茎是指中间一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数，在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)众数、中位数、平均数众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数平均数：样本数据的算术平均数，即 (x1x2xn)在频
3、率分布直方x1n图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等(2)样本方差、标准差标准差 s .1nx1x2x2x2xnx2其中 xn是样本数据的第 n 项，n 是样本容量， 是平均数x标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差的平方通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差辨 析 感 悟1对频率分布直方图的认识(1)在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率()(2)频率分布直方图中各个长方形的面积之和为 1.()2对样本数字特征的认识(3)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势()(4)一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大()(5)
4、茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次()(6)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数()(7)在频率分布直方图中，众数左边和右边的小长方形的面积和是相等的()(8)(2013湖北卷改编)某学员在一次射击测试中射靶 10 次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4，则平均命中环数为 7，命中环数的标准差为 4.()(9)(2014广州调研改编)10 名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15,17,14,10,15,19,17,16,14,12，则这一天 10 名工人生产的零件的中位数是 15.()感悟提升1
5、作频率分布直方图的步骤(1)求极差；(2)确定组距和组数；(3)将数据分组；(4)列频率分布表；(5)画频率分布直方图2两个防范 一是在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率/组距，而不是频率，如(1)；二是利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；平均数是频率分布直方图的“重心” ，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.考点一 频率分布直方图的应用【例 1】 某中学高一女生共有 450 人，为了了解高一女生的身高情况，随机抽取部分高一女生测量身高，所得数据整理后列
6、出频率分布表如下：组别频数频率145.5149.580.16149.5153.560.12153.5157.5140.28157.5161.5100.20161.5165.580.16165.5169.5mn合计MN(1)求出表中字母 m、n、M、N 所对应的数值；(2)在给出的直角坐标系中画出频率分布直方图；(3)估计该校高一女生身高在 149.5165.5 cm 范围内有多少人？审题路线 由频率分布表可以计算出 m，n，M，N 的值作频率分布直方图利用频率分布直方图求值解 (1)由题意 M50，落在区间 165.5169.5 内数据频数80.16m50(8614108)4，频率为 n0.0
7、8，总频率 N1.00.(2)频率分布直方图如下图：(3)该所学校高一女生身高在 149.5165.5 cm 之间的比例为0.120.280.200.160.76，则该校高一女生在此范围内的人数为4500.76342(人)规律方法 解决频率分布直方图的问题，关键在于找出图中数据之间的联系这些数据中，比较明显的有组距、，间接的有频率、小长方形的面积，合理使频率 组距用这些数据，再结合两个等量关系：小长方形面积组距频率，小长频率 组距方形面积之和等于 1，即频率之和等于 1，就可以解决直方图的有关问题【训练 1】 (2013辽宁卷改编)某班级组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分
8、组依次为：20,40)，40,60)，60,80)，80,100人若低于 60 分的人数是 15 人，则该班的学生人数是_解析 第一、第二小组的频率分别是 0.1,0.2，所以低于 60 分的频率是 0.3，设班级人数为 m，则0.3，m50.15m答案 50考点二 茎叶图的应用【例 2】 (2013新课标全国卷)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为 A 药，B 药)的疗效，随机地选取 20 位患者服用 A 药，20 位患者服用 B 药，这 40 位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)，试验的观测结果如下：服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间：06 1.2
9、 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.525 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间：32 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.416 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？解 (1)设 A 药观测数据的平均数为A，B 药观测数据的平均数为B，xx则A(0.61.22.71.52.81.82.22.33
10、.23.52.52.61.22.7x1201.52.93.03.12.32.4)2.3.B(3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.41.60.51.80.6x1202.11.12.51.22.70.5)1.6.则AB，因此 A 药的疗效更好xx(2)由观测结果绘制如下茎叶图：从茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有的叶集中在茎 2,3 上；B 药疗效710的试验结果有的叶集中在茎 0,1 上710由上述可看出 A 药的疗效更好规律方法 茎叶图的绘制需注意：(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是
11、“叶”的位置的数据【训练 2】 (2013重庆卷)如图是某公司 10 个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间22,30)内的频率为_解析 由茎叶图知落在区间22,30)内的数据有 22,22,27,29，共 4 个，因为共有10 个数据，所以数据落在区间22,30)内的频率为0.4.410答案 0.4考点三 样本的数字特征【例 3】 甲乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图(1)分别求出两人得分的平均数与方差；(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价解 (1)由图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲：10 分，13 分，12 分，14
12、分，16 分；乙：13 分，14 分，12 分，12 分，14 分. 甲13，x10131214165乙13，x13141212145s (1013)2(1313)2(1213)2(1413)2(1613)24，2 甲15s (1313)2(1413)2(1213)2(1213)2(1413)20.8.2 乙15(2)由 ss可知乙的成绩较稳定2 甲2 乙从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高规律方法 平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，
13、方差和标准差描述其波动大小【训练 3】 (2013山东卷改编)将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分，去掉 1 个最低分，7 个剩余分数的平均分为 91.现场作的 9 个分数的茎叶图后来有 1 个数据模糊，无法辨认，在图中以 x 表示：Error!Error!则 7 个剩余分数的方差为_解析 由题意知91，解得 x4.所以879490919090x917S2 (8791)2(9491)2(9091)2(9191)2(9091)2(9491)172(9191)2 (16910190).17367答案 3671茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都是用来描述样本数据的分布情况的茎叶图由所有样本数据
14、构成，没有损失任何样本信息，可以随时记录；而频率分布表和频率分布直方图则损失了样本的一些信息，必须在完成抽样后才能制作2众数、中位数、平均数的异同(1)众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量(2)平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动，而中位数和众数都不具备此性质(3)众数体现各数据出现的频率，当一组数据中有若干数据多次出现时，众数往往更能反映问题(4)中位数仅与数据的排列位置有关，中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势 易错辨析 6统计图表识图不准致误
15、【典例】 从某校高三年级随机抽取一个班，对该班 50 名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其频率分布直方图如图所示：若某高校 A 专业对视力的要求在 0.9 以上，则该班学生中能报 A 专业的人数为_解析 该班学生视力在 0.9 以上的频率为(1.000.750.25)0.20.4，故能报 A 专业的人数为 0.45020.答案 20易错警示 解题中易出现审题不仔细，又对所给图形没有真正理解清楚，将矩形的高误认为频率或者对“0.9 以上”的含义理解有误防范措施 求解频率分布直方图中的数据问题，最容易出现的问题就是把纵轴误以为是频率导致错误在频率分布直方图中，纵轴表示，我们用各个小频率 组距矩形的面积表示该段数据的频率，所以各组数据的频率等于小矩形的高对应的数据与小矩形的宽(样本数据的组距)的乘积【自主体验】某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100，那么图中 a 的值等于_解析 由频率分布直方图可知，(0.040.0
