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1、第八章,应用回归分析,回归分析的研究对象,家庭收入与家庭支出的关系 父母身高与子/女身高的关系 平时作业成绩与最后的考试成绩的关系 银行利率与股票指数的关系,现实世界中变量之间的关系并不总是可以用函数关系(自变量确定,因变量唯一)来表示的 比如:,经验和统计数据表明某些变量的取值相互之间是有 关系的,不是完全无关的,这种关系称为统计相关关系,统计相关关系:,回归分析及回归方程:,回归分析就是研究变量间的统计相关关系 一种统计方法.根据变元的统计数据,用一个函数来近似变 元间的统计相关关系,这个函数叫回归方程或 回归函数,本例中, 父亲身高与儿子身高的关系就是统计相关关系 上述高尔顿得到的近似直
2、线方程就是回归方程,8.1 一元线性回归,一元线性回归的模型:,其中,X为确定性变量,它是可以测量和控制的,也称解释变量或自变量; Y为被解释变量或响应变量,根据变元（X，Y）的一组观测值 代入上述一元线性回归模型，得：,我们导出了参数的极大似然估计，但是，历史上高尔顿是用我们高等数学中所学过的最小二乘法导出的，因此，一般称之为最小二乘估计,重要公式,关于上述例1，请大家思考如下问题：,我们得到的回归方程有什么用？根据哪些指标可以判断回归的效果？上述回归的效果如何？上例中：年龄为自变量（控制变量），体重为因变量（响应变量），回 归方程为： y = 7.83+2.01x , 那么据此方程得： x
3、 = (y -7.83)/2.01 ，它 可否视为把体重作为自变量，年龄作为因变量的回归方程？对于任意给定的一组数值（xi, yi) i=1,2,n，比如 xi 表示第i天的最高气温， yi表示第i天股市的收盘指数，是否都可以像例1一样代入参数的公式并求出回归方程？如果观测值较多，直接手算比较复杂，如何借助计算机求解回归方程？,关于问题1：回归方程有什么用途？,回归方程的主要用途是预测和控制，比如根据上例的回归方程 y = 7.83+2.01x ，我们可以预测 x=2.2(岁）时儿童的体重为: y = 7.83+2.01*2.2=12.252(kg)-这是y的点估计，我们还可 以得到y的区间估
4、计。,对于一元线性回归模型 ，其中误差项满足正态性，独立性，及 方差齐性的条件 ， 给定 ，则对应 的点估计为 ；当 n 充分 大时， 置信水平为,此外，我们还可以求出参数,关于问题2:哪些指标可以判断回归的效果？,如下指标都可以直接或间接用来表示回归的效果：残差平方和 SSE估计标准差 相关系数 R判定系数 修正判定系数 其中p为自变元个数从例1第二问的结果看，该例回归的效果还是很好的,关于问题3: 能否由体重关于年龄的回归方程： y = 7.83+2.01x , 得出年龄关于体重的回归方程： x = (y -7.83)/2.01=0.4975y 3.8955 ？,不可以。事实上，如果把体重
5、作为自变量年龄作为因变量，代 入一元回归的公式，得：x = 0.4939y 3.853; 二者为何不同呢？ 因为我们这里介绍的一元回归模型中，自变量与响应变量的地位 是不等同的还有一种回归，叫距离回归，即通过各散点到回归函数的距离平方和最小来求出回归参数，此时自变量与响应变量的地位是等同的，这种情况下是可以直接从 y关于 x 的回归方程解出 x 关于 y 的回归方程的,关于问题4: 对于任意给定的一组数值（xi, yi) i=1,2,n，是否都可以求变量的回归方程？,可以代入参数最小二乘估计的公式求出变元的回归方程，但 是，如果变元 X 和 Y 没有统计相关关系，这样求出的回归 方程是没有意义
6、的（如气温与股票点数）；而如果回归模型 的三个条件，即正态性，独立性，方差齐性 不满足，我们就 无法对参数的概率特性（分布，区间估计 等）作出判断。,直观地说，如果根据变元 X 和 Y 的观测值算出的相关系数的绝对值越大（越接近1），即表示变元 X 和 Y 线性关系越强，这时拟合观测值（xi, yi)的回归方程越有 意义那么，相关系数的绝对值要达到多大才可以求回归方程呢？在统计上，我们是用假设检验的方法来判定变元的线性关系是否显著，因为检验的 统计量服从F分布（证明略），因此这个检验叫F检验,关于问题4: 如何借助计算机算法进行回归分析？,各种统计软件都有回归分析的功能，比如SAS，SPSS，
7、R，包 括MATLAB的统计包 等，这里我们介绍EXCEL的回归分析功能,操作步骤（多元回归同样操作，但利用EXCEL多元回归分析时自变元个数不能超过16个）： 1）把数据输入EXCEL表 2）点工具菜单 加载宏 数据分析 回归,对例1中数据的EXCEL回归分析结果：,相关系数,判定系数,修正判定系数,估计标准差,F统计量观测值,F检验的P值，当P值小于给定显著性水平时，说明变元线性关系显著,P值小于显著性水平时说明常数项显著性非零,P值小于显著性水平时说明x系数显著性非零,回归参数置信区间的上下限,SSR,SSE,SST,F=(SSR/1)/(SSE/n-2) F(1,n-2),例2：恩格尔系数（食品支出与收入之比）的估算,已知人均月收入X与人均食品月支出Y的15组抽样数 据如下，求恩格尔系数：,分析：根据给定数据，先找出X，Y的回归函数，再根据回归函数来估计恩 格尔系数,解：利用EXCEL进行回归分析，得：,8.2 多元线性回归,令：,解方程组得参数的,此外：,例3：试根据表中居民月收入X1（单位百元）及 某商品的单价X2（单位十元）来拟合该商 品的需求量Y（单位百件）的函数,解：利用EXCEL进行回归分析，得：,需要说明的是：,逐步回归，多元回归参数的检验，预测，参差分析，及应用案例等 略THE ENDTHANKS,
