《【全国百强校】高三数学第一轮复习导学案：抛物线b》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【全国百强校】高三数学第一轮复习导学案：抛物线b（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 抛物线抛物线( (学案学案)B)B 一、知识梳理： 1. 抛物线的定义 定义的理解: 定点在直线上,轨迹是: . 2. 抛物线的标准方程及性质(见下表) 标准方程 图 形 顶 点 对称 轴 焦 点 准 线 离心 率 焦半径焦点弦公式 0 2 2 p pxy x y OF l x 轴 0 2 2 p pxy x y O F l x 轴 0 2 2 p pyx y 轴 0 2 2 p pyx y 轴 3、焦半径公式 =2px (p0) ， M(,) 为抛物线上任意一点。F 为抛物线的焦点， （1）20 0 |MF|= + 2 0 （2） 、n= , m=+= 1 + 1 1 1 2 4、若抛物线
2、过焦点的弦 AB，设 A（）B（） ，则有下 2= 2 （ 0） 1 ， 1 2 ， 2 列结论： （1） 、|AB|=p+ 12 （2） 、|AB|=( =2px (p0), |AB|=( =2py (p0) 2 2 2 2 2 2 （3） 、|AB|=( =2py (p0)(通径是最短的焦点弦) 2 2 2 （4） 、= ,=- 12 2 4 12 2 （5） 、过焦点且垂直于对称轴的弦叫通径：|AB|=2p （6） 、焦点弦端点与顶点构成的三角形面积： = |AB| |ON|= |OF| |= |OF| | = 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 （7） 、以焦点弦为直径的圆与准线相
3、切 （8） 、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处？ 结论延伸：结论延伸：切线交点与弦中点连线平行于对称轴 结论发散：结论发散：当弦 AB 不过焦点即切线交点 P 不在准线上时，切线交点与弦中点的 连线也平行于对称轴 （9） 、过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点。 结论延伸：结论延伸：过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通 径 （10） 、如图，AB 是过抛物线 pxy2 2 （p0）焦点 F 的弦，Q 是 AB 的中点， l 是抛物线的准线， lAA 1 ， lBB 1 ，过点 A，B 的切线相交于 P 点，PQ 与抛物线
4、交 于点 M （1）PA与与PB是否有特殊的位置关系？结论：结论：PAPB （2）PF与与AB是否有特殊的位置关系？结论：结论：PFAB （3）点）点 M 与点与点 P、Q 的关系，结论：的关系，结论：M 平分 PQ （4）直线）直线 PA 与与A1AB，直线，直线 PB 与与B1BA 的关系，结论：的关系，结论：PA 平分 A1AB，PB 平分B1BA （5） FBFA 与与 2 PF的大小比较，结论： 结论： 2 PFFBFA （6） PAB S 的最值问题：结论：的最值问题：结论： PAB S 2 min p 课下思考：课下思考：当弦 AB 不过焦点，切线交于 P 点时，有无与上述结论类
5、似结果 则 p yy xp 2 21 ， 2 21 yy yp PA 平分A1AB，同理 PB 平分B1BA PFBPFA 点 M 平分 PQ 2 PFFBFA 【练习】 （2006 年重庆高考（文）22）对每个正整数 n， nnn yxA, 是抛物线 yx4 2 上的点，过焦点 F 的直线 FAn 交抛物线于另一点 nnn tsB, ， （1）试证： 4 nn sx （n1） （2）取 n n x2 ，并 Cn 为抛物线上分别以 An 与 Bn 为切点的两条切线的交 点，求证： 122 1 21 nn n FCFCFC （n1） 【作业】 （1） 、证明上述问题中的结论发散 （2） 、已知抛
6、物线 yx4 2 的焦点为 F，A，B 是抛物线上的两动点，且 FBAF （0） ，过 A，B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为 M， （1）证明： ABFM 的值；（2）设 ABM 的面积为 S，写出 fS 的表达式， 并求 S 的最小值 （3） 、已知抛物线 C 的方程为 yx4 2 ，焦点为 F，准线为 l，直线 m 交抛物 线于两点 A，B； 1/ 过点 A 的抛物线 C 的切线与 y 轴交于点 D，求证： DFAF ； 2/ 若直线 m 过焦点 F，分别过点 A，B 的两条切线相交于点 M，求证： AMBM，且点 M 在直线 l 上 5、直线与抛物线的关系 （1） 、=p y （2
7、） 、直线与抛物线的公共点的情况 6、二次函数 y=a 按向量=() 平移得到 y=a，其中 2+ + ( 0) 2, 4 2 42 平移后坐标系下的焦点坐标为（0，） ，平移前的焦点坐标为（(） 1 4 2 ,1 4 + 2 4 7、抛物线的焦点的位置的判断：看方程中的一次项，一次项是哪个变量，焦点就在 哪个变量对应的坐标轴上，而且正系数在正半轴，负系数在负半轴； 8、A、B 两点都在抛物线上，且 OAOB，则=4p ,=- 12 12 42 二、题型探究 探究一：抛物线的标准方程 例 1：根据下列条件求出抛物线的标准方程 （1） 、焦点到准线的距离是 2； （2） 、已知抛物线的顶点在原点
8、，对称轴是 X 轴，抛物线上的点 A（-3，y）到焦点 的距离是 5， 探究二：抛物线的几何性质 例 2：过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于 A，B 两点，它们的横坐标 2= 4 之和为 5，则这样的直线（） （A）有且只有一条（B）有且仅有两条（C）有无数条 （D）不存在 例 3：已知点 P 是抛物线上任意一点，F 为抛物线的焦点，点 A（3，2） ，则 2= 2 |PA|+|PF|的最小值为 ，此时 P 的坐标是 探究三：直线与抛物线的关系 例 4：已知 A，B 是抛物线上两点，O 为原点，且 OAOB，求证： （1）A，B 两点的横坐标之积和纵坐标之积都是常数； （2） 、直线 AB
9、 过定点。 三、方法提升： 1、抛物线的定义是对抛物线考察的重点，往往从几何代数两个方面考察： 2、关于直线与抛物线的交点问题，相对于椭圆与双曲线来说，由于其方程的特点， 直接设交点的坐标解决问题简便易行；直线方程也可以根据方程的特点，灵活设为 y=kx+b 或者 x=my+a 四、反思感悟 五、课时作业 1过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果xy4 2 11 , yxA 22, y xB ，那么=6 21 xx| AB （A）10 （B）8 （C）6 （D）4 2已知为抛物线上一动点，为抛物线的焦点，定点，则Mxy4 2 F1,3P 的最小值为（ ）|MFMP （A）3 （B）4 （C
10、）5 （D）6 3过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若线段、0 2 aaxyFPQPF 的长分别是、，则=（ ） QFpq qp 11 （A） （B） （C） （D）a2 a2 1 a4 a 4 4顶点在原点，焦点在y轴上，且过点P（4，2）的抛物线方程是（ ） (A) x28y (B) x24y (C) x22y (D) yx 2 1 2 5抛物线y28x上一点P到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是 (A) （2，4） (B) （2，4） (C) （1，） (D) （1，）2222 6过抛物线焦点的直线 它交于、两点，则弦的中点的轨迹方xy4 2 FlABAB 程是 _ 7抛物线
11、顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长等于 8，则 抛物线方程为 8抛物线y26x，以此抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程 是 9以双曲线的右准线为准线，以坐标原点O为顶点的抛物线截双曲线1 916 22 yx 的左准线得弦AB，求OAB的面积 10正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 上，求这个正三角形的边长 奎屯 王新敞 新疆 02 2 ppxy 11正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，02 2 ppxy 求正三角形外接圆的方程 奎屯 王新敞 新疆 12已知的三个顶点是圆与抛物线的交ABC09 22 xyx02 2 ppx
12、y 点，且的垂心恰好是抛物线的焦点，求抛物线的方程 奎屯 王新敞 新疆 ABC MyjHr 13已知直角的直角顶点为原点，、在抛物线上，OABOAB02 2 ppxy （1）分别求、两点的横坐标之积，纵坐标之积；（2）直线是否经过一个ABAB 定点，若经过，求出该定点坐标，若不经过，说明理由；（3）求点在线段上OAB 的射影的轨迹方程 奎屯 王新敞 新疆 M 14已知直角的直角顶点为原点，、在抛物线上，OABOAB02 2 ppxy 原点在直线上的射影为，求抛物线的方程 奎屯 王新敞 新疆 （答案：）AB1,2Dxy 2 5 2 15已知抛物线与直线相交于、两点，以弦长02 2 ppxy1xyAB 为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程 奎屯 王新敞 新疆 （答案：）ABxy 2 16已知直线与抛物线相交于、两点，若bxypxy2 2 0pAB ， （为坐标原点）且，求抛物线的方程 奎屯 王新敞 新疆 （答案：OBOA O52 AOB S ）xy2 2 17顶点在坐标原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，x12 xy15 求抛物线的方程 奎屯 王新敞 新疆（ 答案： 或） 奎屯 王新敞 新疆 xy12 2 xy4 2
