《【全国百强校】高三数学第一轮复习导学案：几何证明选讲a》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【全国百强校】高三数学第一轮复习导学案：几何证明选讲a（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、几何证明选讲几何证明选讲(选修系列选修系列)A 一、知识梳理一、知识梳理 （一）（一） 、相似三角形的判定及有关性质、相似三角形的判定及有关性质 1平行线等分线段定理及其推论 （1）定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得 的线段也相等。 （2）推论： 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。 2平行线分线段成比例定理及推论 （1）定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 （2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。如图，若123/ / /lll，则有：
2、,.ADAE ADAE DBEC ABAC DBECABAC注：把推论中的题设和结论交换之后，命题仍然成立。 3相似三角形的判定及性质 （1）相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比 值叫做相似比（或相似系数） 。 （2）相似三角形的判定 预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构 成的三角形与原三角形相似。 如图，若 EF/BC，则AEFABC。判定定理 1：两角对应相等，两三角形相似。 判定定理 2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 判定定理 3：三边对应成比例，两三角形相似。注：根据判定定理 2，对于两
3、等腰三角形，只需再添加一顶角或底角对应相等就可 以了。若两等腰三角形的一底角相等，则另一底角必然相等，由判定定理 1 即可判 定其相似；若顶角对应相等，则它们的两底角也对应相等，由判定定理 1 即可判定； 若一等腰三角形的顶角与另一等腰三角形的一底角对应相等，它们不一定相似。 （3）直角三角形相似的判定： 上述所有的任意三角形相似的判定皆适用于直角三角形。 定理 1：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似。 定理 2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。 定理 3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条 直角边对应成比例，那么这两个直角三
4、角形相似。 （4）相似三角形的性质 相似三角形的性质（一） （）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 （）相似三角形周长的比等于相似比。 （）相似三角形面积的比等于相似比的平方。 相似三角形的性质（二） （）相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比。 （）相似三角形外接圆的面积比等于相似比的平方。 4直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们 在斜边上射影与斜边的比例中项。 如图，在 RtABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，则有 CD2=ADBD，AC2=ADAB，BC2=BDAB。 （二）（二） 、直线与
5、圆的位置关系、直线与圆的位置关系 1圆周角定理 （1）圆周角定理及其推论 定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论 （）推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对 的弧也相等。 （）推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；900 的圆周角所对的弦是直径。（2）圆心有定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。2圆内接四边形的性质与判定定理 （1）圆内接四边形的性质定理 定理 1：圆内接四边形的对角互补。 定理 2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。 （2）圆内接四边形的判定定理及推论 判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共
6、圆。 推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点 共圆。 3圆的切线的性质及判定定理 切线的性质定理及推论 （1）定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 （2）推论： 推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 4弦切角的性质 弦切角定理：弦切角等于它所平的弧所对的圆周角。 5与圆有关的比例线段 圆中的比例线段定理名称基本图形条件结论应用相交弦定理弦 AB、CD 相 交于圆内点 P（1）PAPB=PCPD （2）ACPBDP（1）在 PA、PB、PC 、PD 四线段 中知三求一 （2）求弦长 及角割线定理PAB、P
7、CD 是O的割线PAPB=PCPD （2）PACPDB（1）求线段 PA、PB、PC 、PD 及 AB、CD （2）应用相 似求 AC、B切割线定理PA 切O于 A，PBC 是 O的割线（1）PA2=PBPC （2）PABPCA（1）已知 PA、PB、PC 知二可求一 （2）求解 AB、AC切线长定理PA、PB 是 O的切线（1）PA=PB （2）OPA=OPB（1）证线段 相等，已知 PA 求 PB （2）求角二、题型探究二、题型探究 题型探究一题型探究一：相似三角形的判定及有关性质：相似三角形的判定及有关性质 （一）平行线（等）分线段成比例定理的应用 例 1：如图，F 为平行四边形 ABC
8、D 边 AB 上一点，连 DF 交 AC 于 G，延长 DF 交 CB 的延长线于 E。求证：DGDE=DFEG思路解析：由于条件中有平行线，考虑平行线（等）分线段定理及推论，利用相等 线段（平行四边形对边相等） ，经中间比代换，证明线段成比例，得出等积式。 解答：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，ABDC，AD=BC，ADBC，DGAD EGEC，又ABDC，,DFBCAD DEECEC DGDF EGDE，即 DGDE=DFEG。题型探究二题型探究二：相似三角形判定定理的应用：相似三角形判定定理的应用 例 2：如图，BD、CE 是ABC 的高，求证：ADEABC。解答：0AEC90
9、 ,AEC, AEC.BDCEABCADB ADAEAAADBABAC AAABC AAAAA、是的高，又又题型探究三题型探究三：相似三角形性质定理的应用：相似三角形性质定理的应用 例 3：ABC 是一块锐角三角形余料，边 BC=12cm，高 AD=8cm,要把它加工成正方形 零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB，AC 上，求这个正方形的 边长。 思路解析：利用相似三角形的性质定理找到所求正方形边长与已知条件的关系即可 解得。解答：设正方形 PQMN 为加工成的正方形零件，边 QM 在 BC 上，顶点 P、N 分别在 AB、AC 上，ABC 的高 AD 与边 PN 相交于
10、点 E，设正方形的边长为 xcm，PNBC，APNABC。.AEPN ADBC 8 812xx 。解得 x=4.8(cm).答：加工成的正方形零件的边长为 4.8cm。 题型探究四题型探究四：直角三角形射影定理的应用：直角三角形射影定理的应用 例 4：如图，在 RtABC 中，BAC=900，ADBC 于 D，DFAC 于 F，DEAB 于 E，求证：AD3=BCBECF。思路解析：题目中有直角三角形和斜边上的高符合直角三角形射影定理的两个条件， 选择合适的直角三角形是解决问题的关键。 解答：ADBC，ADB=ADC=900，在 RtADB 中，DEAB，由射影定理得BD2=BEAB， 同理
11、CD2=CFAC，BD2CD2= BEABCFAC 又在 RtABC 中，ADBC，AD2=BDDC 由得 AD4= BD2CD2 =BEABCFAC= BEABADBCAD3=BCBECF 题型探究五题型探究五：圆周角定理的应用：圆周角定理的应用例 5：如图，已知O是ABC 的外接圆，CD 是 AB 边上的高，AE 是O的直径。求证：ACBC=AECD。解答：连接 EC，B=E。AE 是O的直径，ACE=900。CD 是 AB 边上的高，CDB=900。在AEC 与CBD 中，E=B，ACE=CDB，AECCBD。AEAC BCCD ，即 ACBC=AECD。题型探究六题型探究六：圆内接四边
12、形及判定定理的应用：圆内接四边形及判定定理的应用例 6：如图，已知 AP 是O的切线，P 为切点，AC 是O的割线，与O交于B，C 两点，圆心O在PAC 的内部，点 M 是 BC 的中点。（1）证明：A，P，O，M 四点共圆；（2）求OAM+APM 的大小。思路解析：要证 A、P、O、M 四点共圆，可考虑四边形 APOM 的对角互补；根据四点共圆，同弧所对的圆周角相等，进行等量代换，进而求出OAM+APM 的大小。解答：（1）连接 OP，OM，因为 AP 与O相切于点 P，所以 OPAP，因为 M 是O的弦 BC 的中点，所以OMBC，于是OPA+OMA=1800。由圆心O在PAC 的内部，可
13、知四边形 APOM的对角互补，所以 A，P，O，M 四点共圆。（2）由（1）得 A，P，O，M 四点共圆，所以OAM=OPM，由（1）得OPAP，由圆心O在PAC 的内部，可知OPM+APM=900，所以OPM+APM=900。 题型探究七题型探究七：圆的切线的性质及判定的应用：圆的切线的性质及判定的应用例 7：已知 AB 是O的直径，BC 是O的切线，切点为 B，OC 平行于弦 AD（如图）。求证：DC 是O的切线。解答：连接 OD。OA=OD，1=2，ADOC，1=3，2=4，3=4。又OB=OD，OC=OC，OBCODC，OBC=ODC。BC 是O的切线，OBC=900，ODC=900，
14、DC 是O的切线。题型探究八题型探究八：与圆有关的比例线段：与圆有关的比例线段例 8：如图所示，已知1O与2O相交于 A、B 两点，过点 A 作1O的切线交2O于点 C，过点 B 作两圆的割线，分别交1O、2O于点 D、E，DE 与 AC 相交于点 P。（1）求证：ADEC；（2）若 AD 是2O的切线，且 PA=6，PC=2，BD=9，求 AD 的长。解答：（1）连接 AB，AC 是1O的切线，BAC=D。又BAC=E，D=E，ADEC。（2）设 BP=x,PE=y.PA=6，PC=2，由相交弦定理得 PAPC=BPPE，xy=12 ADEC,96,2DPAPx PEPCy由可得，312()
15、41xx yy 或舍去 ，DE=9+x+y=16.AD 是2O的切线，DE 是2O的割线，AD2=DBDE=916，AD=12。三、方法提升三、方法提升1、知识重点是平行线等分线段定理、平行截割定理及其推论，是研究相似形最重要和最基本的理论，它一方面可以直接判断线段成比例，另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用定理把两条线段的比“转移”成另两条线段的比。在使用定理和推论的时候，应特别注意对应的问题。这一部分常见的题型为利用比例计算线段的长度和利用平行关系证明比例式（或等积式） ，突破难点的关键在于抓住平行找比例，没有平行作平行，多个比例巧过渡，需要注意的是，在图形中添加平行线一般要遵循的以下原则：一是不能破坏给定的条件；二是作出的辅助线要能“一线两用” 2、相似三角形的定义、判定和性质是初中已学的内容，但在初中平面几何中没有给 出定理的证明，通过本讲知识的学习可以体会逻辑推理、几何证明的重要性，在解 题过程中应注意观察基本图形与定理间的关系，通过寻找基本图形把
