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1、排列排列排列部分的题目背景多是“数学问题”和“人和物的排列问题”，在学习本节内容时，要善于把题目中的文字语言翻译成排列的相关术语，正确运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理列式解决。本文对该知识点进行阐释，供参考：一、重点知识讲解一、重点知识讲解1排列的概念排列的概念（1）排列的定义：一般地，从n个不同元素中取出()m mn个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。（2）说明：判断一个问题是否是排列问题，关键是看取出的元素是有序还是无序，只有与顺序有关的问题才是排列问题。写出某个问题的所有排列时，要借助于树图这个工具，做到“不重不漏”。排列的定义包括两个基本内
2、容：一是“取出元素”；二是“按一定顺序排列”。在定义中规定mn，如果mn，有的书中称为选排列；如果mn，称为全排列。只有当元素完全相同，并且元素排列顺序也完全相同时，才是同一排列，其他情况都不是同一排列。排列是分步乘法计数原理与分类加法计数原理的深化与拓展。2排列数公式排列数公式（1）排列数的定义：从n个不同元素中取出()m mn个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号m nA 表示。说明：“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n个不同元素中取出m个元素，按照不确定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）；排列数是
3、指“从n个不同元素中取出m个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数。（2）排列数公式：(1)(2)m nAn nn(1)nm，其中mn，且n、*mN，这个公式叫做排列数公式。说明：排列数公式的推导过程是不完全归纳，并不是严格证明，要进行严格证明，可采用数学归纳法证明。这个公式是在n、*mN，且mn情况下成立，mn不成立。该公式的特点是右边的第一个因数是n，后面的每一个因数都比它前面的因数少 1，最后一个因数为1nm，共有m个因数相乘。3全排列、阶乘及排列数公式的阶乘表示全排列、阶乘及排列数公式的阶乘表示（1）全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列。即当nm时，(1
4、)(2)n nAn nn321，这个公式指出n个不同元素全部取出的排列数，等于自然数 1 到n的连乘积。（2）阶乘：自然数 1 到n的连乘积，叫做n的阶乘，用!n表示，即!n nAn。由此得到排列数公式为m nA =! ()!n nm，特别注意：规定0! 1。（3）说明：在一般情况下，要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积形式公式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证，一般用阶乘式表示。0! 1是一种规定，不能按阶乘的含义作解释。4排列问题排列问题（1）有关排列应用题的解题步骤依据题意，判断是否为排列问题，若与顺序有关则为排列问题，并进一步分清是否为全排列，防止重复与遗漏
5、。对问题进一步细化，确定特殊位置及特殊元素，适当选用直接法或排除法（间接法）。利用排列数公式求值，并且做出明确的结论。说明：对于同一个问题，有时从特殊位置除法较简单，有时从特殊元素出发较简单，应灵活运用。通过排列应用题的解答，要深化对分类加法计数原理与分步乘法计数原理的认识，具有“全局分类”和“局部分步”的意识。（2）解决排列应用题的常用方法方法名称战术方法适用范围位置分析法以位置为主，先满足特殊（受限）位置的要求，再处理其他位置，有两个以上的约元素在某一位置或不在某一位置；束条件，往往是考虑一个条件的同时要兼顾其他条件。比某一数大或某一数小等问题。元素分析法以元素为主，先满足特殊（受限）元素
6、的要求，再处理其他元素，有两个以上的约束条件，往往是考虑一个元素的同时要兼顾其他元素。同上捆绑法把要求在一起的“小集团”看为一个整体，与其他元素进行排列，同时不要忘记小集团内也要排列。含有“必须在一起”的问题。插空法先把没有限制的元素排好，然后将不能相邻的元素插入排好元素的空中，要注意无限制元素的排列数及所形成的空的个数。含有“不相邻”的问题。排除法直接考虑时情况较多，但其对立面情况较少，相对来讲比直接解答简捷，可先考虑逆向思考问题，然后用总情况减去即可，在此方法中，对立面问题要“不重不漏”。含有“至少”、“至多”等的问题。说明：各种方法之间相互联系，在解决问题时可以独立应用，也可混合应用，应
7、用时不要过于死板。二、实际应用举例二、实际应用举例例 1 （1）若2 996xxAA，则_x ；（2）若75589xxxAA A，则_x 。分析：利用排列数公式将方程、不等式转化为关于x的代数方程、不等式进行求解。解析：（1）原不等式即9!9!6(9)!(92)!xx，其中29x，*xN即(11)(10)6xx，2211040xx，(8)(13)0xx，解得8x 或13x ，又29x，*xN，28x，*xN，故x 2，3，4，5，6，7。（2）原式左边555(5)(7 1)xxxxxAA A2(5)(6) 11129xxxx ，2112989xx，即211600xx，15x ，或4x （舍去）
8、，由于157，从而15x 适合题意。评注：有关以排列数等公式形式给出的方程、不等式，应根据有关公式转化为一般方程、不等式，再求解。但应注意其中的字母都是满足一定限制条件的自然数，不要忽视这一点。例 2 从数字 0，1，3，5，7 中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程20axbxc？其中有实根的方程有多少个？分析：题目有两问：第一问隐藏的限制条件是0a ，第二问的限制条件等价于0 ，即受不等式240bac的制约，需分类讨论。解析：先考虑组成一元二次方程的问题：首先确定a，只能从 1，3，5，7 中选一个，有1 4A种，然后从余下的 4 个数中任选两个做b、c，有2 4A 种
9、，故由分步乘法计数原理知，组成一元二次方程共有12 4448AA（个） 。方程有实根，必须满足240bac，分类讨论如下：当0c 时，a、b可在 1，3，5，7 中任取两个排列，有2 4A 个；当0c 时，分析判别式知，b只能取 5，7。当b取 5 时，a，c只能取 1，3 这两个数，有2 2A 种；当b取 7 时，a，c可取 1，3 或 1，5 这两组数，有 22 2A 种。此时共有（2 2A +22 2A ）个。由分类加法计数原理知，有实根的一元二次方程共有2 4A +2 2A +22 2A =18 个。评注：该例的限制条件较隐蔽，需仔细分析。一元二次方程中0a 需要考虑到，而对有实根的一
10、元二次方程，需有0 。这里有两层意思：一是a不能为0；二是要保证240bac，所以需先对c能否取 0 进行分类讨论。实际问题中，既要能观察出是排列问题，又要能搞清哪些是特殊元素，还要根据问题进行合理分类、分步，选择合适的解法。例 3 3 名女生和 5 名男生排成一排。（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？分析：用捆绑法解决（1）；用插空法解决（2）；特殊元素为女生，特殊位置为两端，因此可以用位置分析法或元素分析法，也可用间接法处理（3
11、）；当首位为女生或男生两种情况，用分类加法计数原理解决（4），也可用所有的情况中扣除两端都为女生的情况解决（4）。解决：（1）（捆绑法）因为 3 名女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同 5 个男生合在一起共有 6 个元素，排成一排有6 6A 种不同的排法。对于其中的每一种排法，3 名女生之间又都有3 3A种不同的排法，因此共有63 634320A A 种不同的排法。（2）（插空法）要保证女生全分开，可先把 5 名男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档，这样共有 4 个空档，加上两男生外侧的两位置，共有 6个位置，再把 3 名女生插入这 6 个位置中，只要保证每个位置至多插
12、入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻，由于 5 名男生排成一排有5 5A种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述 6 个位置中选出三个来让 3 名女生插入都有3 6A种方法，因此共有5 5A3 6A=14400 种不同的排法。（3）方法 1（位置分析法）：因为两端都不能排女生，所以两端只能挑选5 名男生中的 2 名，有2 5A 种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有6 6A 种排法，所以共有26 5614400A A 种不同的排法。方法 2（元素分析法）：从中间 6 个位置中挑选出 3 个来让 3 名女生排入，有3 6A种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余 5 个位置又都
13、有5 5A种不同的排法，所以共有3 6A5 5A=14400 种不同的排法。方法 3（间接法）3 名女生和 5 名男生排成一排共有8 8A种不同的排法，从中扣除女生排在首位的17 37A A 种排法和女生排在末位的17 37A A 种排法，但这样两端都是女生的排法被多扣除一次，所以还需要加回来一次，由于两端都是女生有26 36A A种不同的排法，所以共有81726 837362AA AA A=14400 种不同的排法。（4）方法 1：该问题可分为两类：第一类：当首位是男生时，则满足条件的有17 57A A 种不同的排法；第二类：当首位是女生时，则满足条件的有116 356A A A 种不同的排法。利用分类加法计数原理可得共有17 57A A116 356A A A=36000 种不同的排法。方法 2：当两端都是女生时，共有26 36A A种不同的排法，又 3 名女生和 5 名男生排成一排共有8 8A种不同的排法，所以利用间接法可得共有8 8A26 36A A=36000 种不同的排法。评注：排队问题是一类典型的问题，充分体现了各种方法的应用。
