《【优化方案】2015高考数学（人教版）一轮复习学案41 空间几何体的表面积与体积》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【优化方案】2015高考数学（人教版）一轮复习学案41 空间几何体的表面积与体积（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学案学案 41 空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积导学目标： 1.了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算公式.2.了解球、柱、锥、台的 体积的计算公式.3.培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力，会利用所学公式进 行必要的计算.4.提高认识图、理解图、应用图的能力自主梳理 1多面体的表面积 (1)设直棱柱高为 h，底面多边形的周长为 c，则 S直棱柱侧_. (2)设正 n 棱锥底面边长为 a，底面周长为 c，斜高为 h，则 S正棱锥侧 _. (3)设正 n 棱台下底面边长为 a，周长为 c，上底面边长为 a，周长为 c，斜高为 h，则 S正棱台侧_. (4)设球的半径为
2、R，则 S球_. 2几何体的体积公式 (1)柱体的体积 V柱体_(其中 S 为柱体的底面面积，h 为高) 特别地，底面半径是 r，高是 h 的圆柱体的体积 V圆柱r2h. (2)锥体的体积 V锥体_(其中 S 为锥体的底面面积，h 为高)特别地，底面半径是 r，高是 h 的圆锥的体积 V圆锥 r2h.13 (3)台体的体积 V台体_(其中 S，S 分别是台体上、下底面的面积，h 为 高) 特别地，上、下底面的半径分别是 r、r，高是 h 的圆台的体积 V圆台 h(r2rrr2)13 (4)球的体积 V球_(其中 R 为球的半径) 自我检测 1已知两平行平面 ， 间的距离为 3，P，边长为 1
3、的正三角形 ABC 在平面 内， 则三棱锥 PABC 的体积为( )A. B.1412C. D.3634 2(2011唐山月考)从一个正方体中，如图那样截去 4 个三棱锥后，得到一个正三棱锥 ABCD，则它的表 面积与正方体表面积的比为( ) A.3 B.232C.6 D.6363设三棱柱 ABCA1B1C1的体积为 V，P，Q 分别是侧棱 AA1，CC1上的点，且 PAQC1，则四棱锥 BAPQC 的体积为( )A. V B. V1614C. V D. V1312 4(2011平顶山月考)下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表 面积是( )A9 B10 C11 D12 5(
4、2011陕西)某几何体的三视图如下，则它的体积是( )A8 B8233C82 D.23探究点一 多面体的表面积及体积 例 1 三棱柱的底面是边长为 4 的正三角形，侧棱长为 3，一条侧棱与底面相邻两边都 成 60角，求此棱柱的侧面积与体积变式迁移 1 (2011烟台月考)已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都等于 2，A1 在底面 ABC 上的射影为 BC 的中点，则三棱柱的侧面面积为_ 探究点二 旋转体的表面积及体积 例 2 如图所示，半径为 R 的半圆内的阴影部分以直径 AB 所在直线为轴，旋转一周得到一几 何体，求该几何体的表面积(其中BAC30)及其体积变式迁移 2 直三棱柱
5、 ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上若 ABACAA12，BAC120，则此球的表面积等于_ 探究点三 侧面展开图中的最值问题例 3 如图所示，长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABa，BCb，CC1c，并且 abc0.求沿着长方体的表面自 A 到 C1的最短线路的长变式迁移 3 (2011杭州月考)如图所示，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面为直角三角形， ACB90，AC6，BCCC1 .P 是 BC1上一动点，则 CPPA1的最小值是2_1有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素2当给出的几何体比较复杂，有关
6、的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割” 、 “补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利(1)几何体的“分割”：几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之(2)几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积 (满分：75 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1(2011安徽)一个空间几何体的三视图
7、如图所示，则该几何体的表面积为( )A48 B32817C488 D80172已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是，则323 这个三棱柱的体积是( ) A96 B16 C24 D4833333已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a，长为定值的线段 EF 在棱 AB 上移动 (EFbc0，abacbc0. 故最短线路的长为.a2b2c22bc变式迁移 3 52解析 将BCC1沿 BC1线折到面 A1C1B 上，如图所示连接 A1C 即为 CPPA1的最小值，过点 C 作 CD 垂直 A1C1延长线交于 D，BCC1为等腰直角三角形，CD1，C1D1，A1D
8、A1C1C1D7.A1C 5 .A1D2CD24912课后练习区 1C 由三视图知该几何体的直观图如图所示，该几何体的下底面是边长为 4 的正方形；上底面是长为 4、宽为 2 的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为 2，下底长为 4，高为 4；另两个侧面是矩形，宽为 4，长为.所以 S表4224 (24)424421217122488.17172D 由 R3，R2.正三棱柱的高 h4.设其底面边长为 a，43323则 a2，a4.13323V(4)2448.34333D 4.B 5C 将三视图还原成几何体的直观图如图所示它的四个面的面积分别为 8,6,10,6，故最大的面积应为 10.266
9、7解析 取底面中心为 O，AF 中点为 M，连接 PO、OM、PM、AO，则 POOM，OMAF，PMAF，OAOP2，OM，3PM.437S侧6 26.12777.153解析 围成圆锥筒的母线长为 4 cm，设圆锥的底面半径为 r，则 2r 24，14r1，圆锥的高 h.421215V圆锥 r2h(cm3)1315382R2 解析 方法一 设圆柱的轴与球的半径的夹角为 ，则圆柱高为 2Rcos ，圆柱底面半径为 Rsin ，S圆柱侧2Rsin 2Rcos 2R2sin 2.当 sin 21 时，S圆柱侧最大为 2R2，此时，S球表S圆柱侧4R22R22R2.方法二 设圆柱底面半径为 r，则其
10、高为 2.R2r2S圆柱侧2r2，R2r2S圆柱侧4.R2r24r2R2r2令 S圆柱侧0，得 rR.22当 00；22当RrR 时，S0.22当 rR 时，S圆柱侧取得最大值 2R2.22此时 S球表S圆柱侧4R22R22R2.方法三 设圆柱底面半径为 r，则其高为 2，R2r2S圆柱侧2r24R2r2r2R2r242R2(当且仅当 r2R2r2，即 rR 时取“”)r2R2r2222当 rR 时，S圆柱侧最大为 2R2.22此时 S球表S圆柱侧4R22R22R2.9解 设圆柱的底面半径为 r，母线长为 h，当点 C 是弧的中点时，三角形 ABC 的面积为 r2，三棱柱 ABCA1B1C1的
11、体积为AABr2h，三棱锥 A1ABC 的体积为 r2h，四棱锥 A1BCC1B1的体积为 r2h r2h r2h，圆柱的131323体积为 r2h，(10 分)故四棱锥 A1BCC1B1与圆柱的体积比为 23.(12 分)10(1)证明 取 BC 的中点 E，连接 AE，DE，EF，ABC 与DBC 都是边长为 4 的正三角形，AEBC，DEBC.又 AEDEE，BC平面 AED.又 AD面 AED，BCAD.(6 分)(2)解 由已知得，AED 为等腰三角形，且 AEED2，设 ADx，F 为棱 AD 的3中点，则 EF，12(12x)2SAED x ，(8 分)1212x2414 48x
12、2x4V SAED(BECE) (0x4)，1313 48x2x43当 x224，即 x2时，Vmax8，6该四面体存在最大值，最大值为 8，(11 分)此时棱长 AD2.(12 分)611(1)证明 由多面体 ABFEDC 的三视图知，三棱柱 AEDBFC 中，底面 DAE 是等腰直角三角形，DAAE2，DA平面 ABFE，面 ABFE，ABCD 都是边长为 2 的正方形(3 分)连接 EB，则 M 是 EB 的中点，在EBC 中，MNEC，且 EC平面 CDEF，MN平面 CDEF，MN平面 CDEF.(6 分)(2)解 DA平面 ABFE，EF平面 ABFE，EFAD.又 EFAE，AEADA，EF平面 ADE.又 DE平面 ADE，EFDE，(8 分)四边形 CDEF 是矩形，且平面 CDEF平面 DAE.取 DE 的中点 H，连接 AH，DAAE，DAAE2，AH，且 AH平面 CDEF.(12 分)2多面体 ACDEF 的体积 V SCDEFAH13 DEEFAH .(14 分)1383版权所有：高考资源网()
