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1、 - 1 - 关节二 充分发挥方程的工具性作用 方程 是重要的数学工具，它可以干什么用呢？结论是： 凡是有关“求值”的问题，不管是怎样的背景下和情境中，绝大多数情况都可以借助构造方程来解决。 一、方程用于实际问题中的求值 这方面的题目，同学们做的已经很多，这里只举一例。 例 1 秋末，由于冷空气入侵，某地区地面气温急剧下降到 0以下的天气称为“霜冻”。由霜冻所导致的植物生长受到影响或破坏的现象称为霜冻灾害。 秋末某天，气象台发布了该地 区如下的降温预报：午夜 0 时至次日 5 时气温将匀速地由 3降到 3，然后从次日 5 时至次日 8 时，气温将又匀速地由 3升到 5，一种农作物在 0以下持续
2、超过 3 小时就会造成霜冻灾害，根据气象台的预报信息，你认为是否有必要对该农作物采取防冻措施？并说明理由。 【观察与思考】 第一， 这实际是要求出两个数值：一是 0 时至次日 5 时气温下降过程中在哪个时刻达到 0；二是在次日 5 时至次日 8 时气温上升过程中，在哪个时刻达到 0，显然是求值总问题。应分别构造方程来解决。 第二， 可以用“匀速”所包含的“相等关系”来导出方程，即 23 2321 21 时刻时刻 对应的温度时刻对应的温度时刻时刻时刻 对应的温度时刻对应的温度时刻 （事实上，只要把本问题的“温度差”看作“路程”，它就相当于行程问题了。） 简解：设在 0 时至次日 5 时之间的 x
3、 时，气温降到 0，则依题意有： 5.2,03005 33 xx 解得（时） 设在次日 5 时至次日 8 时之间的 y 时气温升到 0，依题意有： y 8 0558 )3(5，解得 125.6y （时） 625.35.2125.6 。 气温在 0以下的时间为 3.625 小时（大于 3 小时）因此，会对该农作物造成霜冻灾害，所以应对它采取防冻措施。 二、方程用于数学问题中的价值 - 2 - 数学问题中有形形色色或显或隐的求值问题，大都可借助方程来解决。 1、借助方程，解决某些“数与式”的问题 例 1 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么，称这个正整数为“神秘数”。如：222222
4、4620,2412,024 ，因此 4， 12， 20 这三个数都是神秘数， （ 1） 28 和 2008 这两个数是 神秘数吗？为什么？ （ 2）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？ 【观察与思考】 根据题中规定知道，若 22 )2()22( xxm （） ， (其中 x 是整数， m 为正整数 )，则 m 就是“神秘数”。正整数 m 是不是“神秘数”，就看使 （） 式成立的整数 x 是不是存在，存在时 m 就是“神秘数”；不存在， m 就不是“神秘数”。这就是说，研究 m 是不是“神秘数”的问题，就变成了研究 （） 这个关于 x 的方程有无整数解的问题。 解：（ 1） 方程
5、,28)2()22( 22 xx 有非负整数解 3。即 2222 68)32()232(28 28 是神秘数。 方程 2008)2()22( 22 yy ，没有整数解， 2008 不是神秘数。 （ 2） ）nnnn 为非负整数(88)12()32( 22 ， 令 88)2()22( 22 nzz 解得 znz 显然,21 不是整数。 两个连续奇数的平方差（取正数）不是神秘数。 例 2 按下面的程序计算，若开始输入的值 x 为正数，最后输出的结果为 656，则满足条件的 x 的不同值最多有（ ） A、 2 个 B、 3 个 C、 4 个 D、 5 个 【观察与思考】 本 题相当于按如下规律构造的
6、方程：,656)15(5,65615 xx 65611)15(5 x ， .656111)15(555 x 有正整数解的共有多少个。可验证只有上述 4 个方程有正 数解。 解：选 C。 输入 x 计算 15x 的值 500 输出结果 是 否 - 3 - 对于许多有关特定要求的数，式问题，常需要借助方程来解决。 2、借助方程，解决某些几何图形的求值问题 例 3 图 1 是由 9 个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长为 a ，则六边形的周长是 【观察与思考】 拼成六边形 的 9 个等边三角形按大小共分为 5 类，从大到小边长逐减小 a ，因此，可通过构造最大的等边三角形的边长的
7、方程来求得它的值。 从图 2 中可以看到最大三角形的边长 是第四大三角形边长的 2 倍，易如：设最大的等边三角形的边长为 x ，则有 axaxx 6),3(2 解得 。 图中六边形的六条边依次为： .3),34(,45,5,6 aaaaaaa 解： a30 例 4 如图，这是由五个边长为 1 的正方形组成的图形，过顶点 A 的一条直线和 CD， ED 分别相交于点 M，N。假若直线 MN 绕过 A 旋转的过程中存在某一位置，使得 MN 将图形分成的两部分面积恰好相等，求这时线段 EN的长。 【观察与 思考】 可借助 25MNDS来构造关于 EN 的方程求其长。 解： 21)1(12121 EN
8、ENNGAGSA N GRt 。 MNDRt ENENNGNDA G NRt 12, 且 )1(2 )2(21)1( )2()12(2222ENENENENENSENENS A N GM N D 得关于 EN 的方程 01,25)1(2 )2( 222 ENENENEN 即解得 2 51,2 5121 ENEN（不合题意，舍去）。 2 15 的长为EN 许多图形的求值问题，可借助方程来解决，事实上 ，包括解直角三角形和用相似三角形的性质求边长，也是特定形式的方程，是方程思想的一种具体化表现。 3、借助方程，解决函数相关的问题 A B C D E F G N M - 4 - 例 5 如图，在平面
9、直角坐标系中，直线 l 与 x 轴的正半轴、 y 轴的正半轴分别交于点 E 和 F。从点 A（ 1， 0）和 B（ 3， 0）作 x 轴的垂线，分别与直线 l 交于点 C 和点 D。已知 4411 A B D CO A C F ，SS 四边形四边形， 求直线 l 的解析式。 【观察与思考】 若设直线 l 的解析式为 bkxy 。现在要求出 bk和 的值，为此去构造关于 bk和 的方程组。而所给条件 “ 4411 A B D CO A C F ，SS 四边形四边形”就是这两个方程组所依据 的等量关系。 解：设直线 l 的解析式为 bkxy ，易知： .3, bkBDbkACbOF ,2,1 AB
10、OA 依题意有方程组： 1)3(221411)(121bkbkbkb解得 321bk 直线 l 的解析式为： 321 xy 例 6 早晨，小丽 与妈妈同时从家出发，步行与骑自行车到方向相反的两地上学与上班，图中所示是她们离家的路程 y （米）与时间 x （分）的函数图象。妈妈骑自行车走了 10 分钟接到小丽的电话，即以原速度骑车前往小丽的学校，并与小丽同时到达学校。已知小丽步行速度为每分 50 米，求小丽家与学校的距离及小丽早晨上学需要的时间。 【观察与思考】 点 B 的横坐标就是小丽早晨小学需要的时间 其纵坐标就是小丽家与学校的距离。本题的实质是求点 B 的坐标， 也就是由 OB， AB 确
11、定的函数关系式做成的方程组的解。而 OB， OA 对应的函数易知。 解： OB 对应的函数关系式为： xy 50 。 因为妈妈 10 分钟骑自行车走了 2500 米，其速度为 250 米 /分钟， 所以， AB 对应的函数关系式为： bxy 250 将（ 10， 2500）代入，求得 5000250,5000 xyb O x y l A B C D E F O x （分） y （米） B A 10 2500 - 5 - 解方程组 500025050 xy xy得 125025yx小丽 家与学校的距离为 1250 米， 小丽 早晨上学需要 25 分钟。 【说明】 本题 是将方程的思想和函数图象的
12、意义紧密结合，才有如此简明的解决方法。 许多和函数相关的问题，只要涉及到求值，常需要考虑借助方程。 4、和运动有关的图形问题，凡属运动过程中的特定形状，特定数量以及特定位置关系的，大都需要借助构造方程来解决 例 7 如图，在梯形 ABCD 中， AD/BC， 90B ， ,15,14 cmADcmAB AMcmBC 从点点,21 开始沿 AD 边向 D 点运动，速度为 1 厘米 /秒，同时点 N 从点 C 开始沿 CB 向点 B 运动，速度为 2 厘米 /秒，设运动的时间为 t 秒。 （ 1） 当 t 为何值时，四边形 MNCD 是平行四边形？ （ 2） 当 t 为何值时，四边形 MNCD 是
13、等腰梯形？ 【观察与思考】 对于（ 1） ，当四边形 MNCD 是平行四边形时， MD=NC，就以这一相等关系构造关 于 t 的方程。 对于（ 2），画出四边形 MNCD 是等腰梯形的草图，如图（ 2）， 作 ,BCMG 垂足为 G，作 ,BCDH 垂足为 H，此时应有 NG=CH， 也即 CN=MD+2CH。可以用这一相等关系的构造关于 t 的方程来求解。 解：（ 1） MD=15 t ， CN=2t ，令 MD=NC，得 t 的方程 tt 215 。解得 t =5 即 t =5（秒）时四边形 MNCD 是平行四边形。 （ 2） ,6cmADCB 令 ),(2 ADCBMDCN 得关于 t
14、的方程 62152 tt 解得 9t 即 9t （秒）时，四边形 MNCD 是等腰梯形。 例 8 如图， 在 ABCD 中， AB=4， AD=3， ,60DAB 点 P 和点 Q 同时从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度运动，点 P 沿 AD DC CB 向点 B 运动，点 Q 沿射线 AB 的方向运动。当点 P 运动到点 B 处时，两点的运动同A B C D M N A B D M N H G C A B C D Q P - 6 - 时结束。设运动时间为 t 秒。 （ 1）当点 P 在边 AD 上运动时， 求使 DPQ 成为以 D Q 为底边的等腰三角形的时刻 t ； （ 2）当点 P 在边 DC 上运动时， 是否存在时刻 t ，使线段 PQ 和对角线 BD 互相平行？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由； （ 3）当点 P 在边 CB 上运动时， PBQ 可能成为直角三角形吗？写出你的判断，并说明理由； 【观察与思考】 以上三个问题，实际都归于建立关于 t 的方程来解决。 解：（ 1）点 P 在边 AD 上运动时， 30 t 。总有 PAQ 为等边三角形，即 tAQAPPQ 。 令 PD=PQ，即 23,3 ttt 解得 。 23 t当 （秒）时， DPQ 是以 DQ 为底边的等腰三角形。 （ 1） （ 2） 当点 P 在边 DC
