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1、学案学案 36 基本不等式及其应用基本不等式及其应用导学目标： 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问 题自主梳理1基本不等式abab2 (1)基本不等式成立的条件：_. (2)等号成立的条件：当且仅当_时取等号 2几个重要的不等式 (1)a2b2_ (a，bR)(2) _(a，b 同号)baab(3)ab2 (a，bR)(ab2)(4)2_.(ab2)a2b22 3算术平均数与几何平均数 设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为_，几何平均数为_，基本不等式 可叙述为：_. 4利用基本不等式求最值问题 已知 x0，y0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，
2、那么当且仅当_时，xy 有最_值是_(简记： 积定和最小) (2)如果和 xy 是定值 p，那么当且仅当_时，xy 有最_值是_(简记： 和定积最大) 自我检测1 “ab0”是“ab0，a 恒成立，则 a 的取值范围为xx23x1 _探究点一 利用基本不等式求最值例 1 (1)已知 x0，y0，且 1，求 xy 的最小值；1x9y(2)已知 x0，b0，ab2，则 y 的最小值是( )1a4bA. B472C. D592 探究点二 基本不等式在证明不等式中的应用例 2 已知 a0，b0，ab1，求证：(1 )(1 )9.1a1b变式迁移 2 已知 x0，y0，z0.求证：8.(yxzx)(xy
3、zy)(xzyz)探究点三 基本不等式的实际应用 例 3 (2011镇江模拟)某单位用 2 160 万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至 少 10 层，每层 2 000 平方米的楼房经测算，如果将楼房建为 x(x10)层，则每平方米的平 均建筑费用为 56048x(单位：元) (1)写出楼房平均综合费用 y 关于建造层数 x 的函数关系式； (2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？(注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用)购地总费用建筑总面积变式迁移 3 (2011广州月考)某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在 2012
4、年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量 x 万件与年促销费 t 万元之间满足 3x 与 t1 成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销 量只能是 1 万件，已知 2012 年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为 3 万元，每生产 1 万件化妆品需再投入 32 万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的 150% 与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完 (1)将 2012 年的利润 y(万元)表示为促销费 t(万元)的函数 (2)该企业 2012 年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？ (注：利润销售收入生产成本促销费，生产
5、成本固定费用生产费用)1a2b22ab 对 a、bR 都成立；成立的条件是 a，bR； 2 成立的ab2abbaab条件是 ab0，即 a，b 同号2利用基本不等式求最值必须满足一正、二定、三相等三个条件，并且和为定值时，积有最大值，积为定值时，和有最小值3使用基本不等式求最值时，若等号不成立，应改用单调性法一般地函数yax ，当 a0，b0 时，bx函数在(，0)，(0，)上是减函数；当 a0，b0 时函数在，上是ba，0) (0， ba减函数，在，上是增函数；当 a0，b0，若是 3a与 3b的等比中项，则 的最小值为( )31a1bA8 B4 C1 D.142(2011鞍山月考)已知不等
6、式(xy)9 对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a(1xay) 的最小值为( ) A2 B4 C6 D83已知 a0，b0，则 2的最小值是( )1a1bab A2 B2 C4 D524一批货物随 17 列货车从 A 市以 a km/h 的速度匀速直达 B 市，已知两地铁路线长 400 km，为了安全，两列车之间的距离不得小于2 km，那么这批货物全部运到 B 市，最快需(a20) 要( ) A6 h B8 h C10 h D12 h 5(2011宁波月考)设 x，y 满足约束条件Error!，若目标函数 zaxby (a0，b0)的最大值为 12，则 的最小值为( )2a3bA. B.
7、 C. D425683113 二、填空题(每小题 4 分，共 12 分) 6(2010浙江)若正实数 x，y 满足 2xy6xy，则 xy 的最小值是_7(2011江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数 f(x) 的图象2x 交于 P，Q 两点，则线段 PQ 长的最小值是_ 8已知 f(x)32x(k1)3x2，当 xR 时，f(x)恒为正值，则 k 的取值范围为 _ 三、解答题(共 38 分)9(12 分)(1)已知 00)920vv23v1 600(1)在该时段内，当汽车的平均速度 v 为多少时车流量 y 最大？最大车流量为多少？ (2)为保证在该时段内车流量至少为
8、 10 千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围 内？11(14 分)某加工厂需定期购买原材料，已知每千克原材料的价格为 1.5 元，每次购买 原材料需支付运费 600 元，每千克原材料每天的保管费用为 0.03 元，该厂每天需要消耗原材 料 400 千克，每次购买的原材料当天即开始使用(即有 400 千克不需要保管) (1)设该厂每 x 天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在 x 天内总的保管费用 y1关 于 x 的函数关系式； (2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用 y 最小，并求出这个最小 值学案学案 36 基本不等式及其应用基本不等式及其应用自主梳理 1(1
9、)a0，b0 (2)ab 2.(1)2ab (2)2 (4)3. 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 4.(1)xy 小 2 (2)ab2abpxy 大 p24 自我检测1A 2.A 3.C4大 21 5. ，)215 课堂活动区 例 1 解题导引 基本不等式的功能在于“和与积”的相互转化，使用基本不等式求最值时，给定的形式不一定能直接适合基本不等式，往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑和或积为定值的形式)，构造出基本不等式的形式再进行求解基本不等式成立的条件是“一正、二定、三相等” ， “三相等”就是必须验证等号成立的条件解 (1)x0，y0， 1，1x9yxy(xy)(1x9y) 1
10、061016.yx9xy当且仅当 时，上式等号成立，又 1，yx9xy1x9yx4，y12 时，(xy)min16.(2)x0.54y4x2314x5(54x154x)2 31，54x154x当且仅当 54x，154x即 x1 时，上式等号成立，故当 x1 时，ymax1.(3)由 2x8yxy0，得 2x8yxy， 1.2y8xxy(xy)10(8x2y)8yx2xy102(4yxxy)1022 18，4yxxy当且仅当 ，即 x2y 时取等号4yxxy又 2x8yxy0，x12，y6.当 x12，y6 时，xy 取最小值 18.变式迁移 1 C ab2，1.ab2 ( )() () 2 (
11、当且仅当，即 b2a 时，1a4b1a4bab2522abb2a522abb2a922abb2a“”成立)，故 y 的最小值为 .1a4b92例 2 解题导引 “1”的巧妙代换在不等式证明中经常用到，也会给解决问题提供简捷的方法在不等式证明时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转化是否有误的一种方法证明 方法一 因为 a0，b0，ab1，所以 1 12 .1aababa同理 1 2 .1bab所以(1 )(1 )(2 )(2 )1a1bbaab52( )549.baab所以(1 )(1 )9(当且仅当 ab 时等号成立)1a1b12方法二 (1 )(1 )1 1a1b1a1b
12、1ab11，abab1ab2ab因为 a，b 为正数，ab1，所以 ab()2 ，于是4，8，ab2141ab2ab因此(1 )(1 )189(当且仅当 ab 时等号成立)1a1b12变式迁移 2 证明 x0，y0，z0， 0，yxzx2 yzx 0，xyzy2 xzy 0.xzyz2 xyz(yxzx)(xyzy)(xzyz)8.8 yz xz xyxyz当且仅当 xyz 时等号成立所以( )( )( )8.yxzxxyzyxzyz例 3 解题导引 1.用基本不等式解应用题的思维程序为：由题设写 出函数变形 转化利用基本 不等式求得 最值结论 2在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点
13、：(1)先理解题意，设变量，一般把要求最值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数最值问题；(3)在定义域内求函数最值；(4)正确写出答案解 (1)依题意得y(56048x)2 160 10 0002 000x56048x (x10，xN*)10 800x(2)x0，48x10 800x21 440，48 10 800当且仅当 48x，即 x15 时取到“” ，10 800x此时，平均综合费用的最小值为 5601 4402 000(元)答 当该楼房建造 15 层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为 2 000 元变式迁移 3 解 (1)由题意可设 3x，kt
14、1将 t0，x1 代入，得 k2.x3.2t1当年生产 x 万件时，年生产成本年生产费用固定费用，年生产成本为 32x3323.(32t1)当销售 x(万件)时，年销售收入为150% t.32(32t1)312由题意，生产 x 万件化妆品正好销完，由年利润年销售收入年生产成本促销费，得年利润 y (t0)t298t352t1(2)y50t298t352t1(t1232t1)50250242(万元)，t1232t116当且仅当，即 t7 时，ymax42，t1232t1当促销费投入 7 万元时，企业的年利润最大课后练习区 1B 因为 3a3b3，所以 ab1， (ab)2 1a1b(1a1b)baab224，当且仅当 即 ab 时， “”成立baabbaab122B 不等式(xy)9 对任意正实数 x，y 恒成立，则
