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1、第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 学案学案 13 导数的概念及运算导数的概念及运算 导学目标： 1.了解导数概念的实际背景，理解函数在一点处的导数的定义和导数的几何 意义，理解导函数的概念了解曲线的切线的概念.2.能根据导数定义，求函数 yC (C 为常 数)，yx，yx2，y ，y的导数熟记基本初等函数的导数公式(c，xm (m 为有理数)， 1 xx sin x，cos x，ex，ax，ln x，logax 的导数)，能利用基本初等函数的导数公式及导数的四则运 算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如 f(axb)的导数 自主梳理 1函数的平均变化率 一般地，已知函数
2、yf(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记 xx1x0，yy1y0f(x1)f(x0)f(x0x)f(x0)，则当 x0 时，商 _称作函数 yf(x)在区间x0，x0x(或x0x，x0)的平 y x 均变化率 2函数 yf(x)在 xx0处的导数 (1)定义 函数 yf(x)在点 x0处的瞬时变化率_通常称为 f(x)在 xx0处的导数，并 记作 f(x0)，即_ (2)几何意义 函数 f(x)在点 x0处的导数 f(x0)的几何意义是过曲线 yf(x)上点(x0，f(x0)的 _ 导函数 yf(x)的值域即为_ 3函数 f(x)的导函数 如果函数 yf(x)在开区间(a，b)内每一点
3、都是可导的，就说 f(x)在开区间(a，b)内可导， 其导数也是开区间(a，b)内的函数，又称作 f(x)的导函数，记作_ 4基本初等函数的导数公式表 原函数导函数 f(x)C f(x)_ f(x)x (Q*) f(x)_ (Q*) F(x)sin x f(x)_ F(x)cos x f(x)_ f(x)ax (a0，a1) f(x) _(a0，a1) f(x)ex f(x)_ f(x)logax(a0，a1，且 x0) f(x) _(a0，a1，且 x0) f(x)ln x f(x)_ 5导数运算法则 (1)f(x)g(x)_； (2)f(x)g(x)_； (3)_ g(x)0 fx gx
4、6复合函数的求导法则：设函数 u(x)在点 x 处有导数 ux(x)，函数 yf(u)在 点 x 处的对应点 u 处有导数 yuf(u)，则复合函数 yf(x)在点 x 处有导数，且 yxyuux，或写作 fx(x)f(u)(x) 自我检测 1在曲线 yx21 的图象上取一点(1,2)及附近一点(1x，2y)，则为 ( ) y x Ax2Bx2 1 x 1 x Cx2D2x 1 x 2设 yx2ex，则 y等于 ( ) Ax2ex2xB2xex C(2xx2)exD(xx2)ex 3(2010全国)若曲线 yx 在点(a，a )处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面 1 2 1 2 积为 18，
5、则 a 等于 ( ) A64B32C16D8 4(2011临汾模拟)若函数 f(x)exaex的导函数是奇函数，并且曲线 yf(x)的一条切 线的斜率是 ，则切点的横坐标是 ( ) 3 2 ABln 2 ln 2 2 C.Dln 2 ln 2 2 5(2009湖北)已知函数 f(x)f( )cos xsin x，则 f( )_. 4 4 探究点一 利用导数的定义求函数的导数 例 1 利用导数的定义求函数的导数： (1)f(x)在 x1 处的导数； 1 x (2)f(x). 1 x2 变式迁移 1 求函数 y在 x0到 x0x 之间的平均变化率，并求出其导函数 x21 探究点二 导数的运算 例
6、2 求下列函数的导数： (1)y(1)；(2)y； x(1 1 x) ln x x (3)yxex；(4)ytan x. 变式迁移 2 求下列函数的导数： (1)yx2sin x；(2)y3xex2xe；(3)y. ln x x21 探究点三 求复合函数的导数 例 3 (2011莆田模拟)求下列函数的导数： (1)y(1sin x)2；(2)y； 1 1x2 (3)yln；(4)yxe1cos x. x21 变式迁移 3 求下列函数的导数： (1)y； 1 13x4 (2)ysin2； (2x 3) (3)yx. 1x2 探究点四 导数的几何意义 例 4 已知曲线 y x3 . 1 3 4 3
7、 (1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程； (3)求满足斜率为 1 的曲线的切线方程 变式迁移 4 求曲线 f(x)x33x22x 过原点的切线方程 1准确理解曲线的切线，需注意的两个方面： (1)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，若直线与曲线只有一个公共点，则直 线不一定是曲线的切线，同样，若直线是曲线的切线，则直线也可能与曲线有两个或两个以 上的公共点 (2)曲线未必在其切线的“同侧” ，如曲线 yx3在其过(0,0)点的切线 y0 的两侧 2曲线的切线的求法： 若已知曲线过点 P(x0，y0)，求曲线过点 P 的切线则需分点 P(x
8、0，y0)是切点和不是切点两 种情况求解 (1)点 P(x0，y0)是切点的切线方程为 yy0f(x0)(xx0) (2)当点 P(x0，y0)不是切点时可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标 P(x1，f(x1)； 第二步：写出过 P(x1，f(x1)的切线方程为 yf(x1)f(x1)(xx1)； 第三步：将点 P 的坐标(x0，y0)代入切线方程求出 x1； 第四步：将 x1的值代入方程 yf(x1)f(x1)(xx1)可得过点 P(x0，y0)的切线方程 3求函数的导数要准确地把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商及其复合运算， 再利用运算法则求导数在求导过程中，要仔细分析函数解析
9、式的结构特征，紧扣法则，联 系基本初等函数求导公式，对于不具备求导法则结构形式的要适当变形 (满分：75 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1已知函数 f(x)2ln(3x)8x，则 的值为 ( ) 0 lim x f12xf1 x A10B10C20D20 2(2011温州调研)如图是函数 f(x)x2axb 的部分图象，则函数 g(x)ln xf(x)的 零点所在的区间是 ( ) A.B(1,2) ( 1 4， 1 2) C.D(2,3) ( 1 2，1) 3若曲线 yx4的一条切线 l 与直线 x4y80 垂直，则 l 的方程为 ( ) A4xy30Bx4y50 C4xy
10、30Dx4y30 4(2010辽宁)已知点 P 在曲线 y上， 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 4 ex1 的取值范围是 ( ) A.B.C.D. 0， 4) 4， 2) ( 2， 3 4 3 4 ，) 5(2011珠海模拟)在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意 x1，x2 (x1x2)，|f(x2)f(x1)|0)，(2 分) a x 又 f(x)在 x2 处的切线方程为 yxb， 所以Error!（5 分） 解得 a2，b2ln 2.(7 分) (2)若函数 f(x)在(1，)上为增函数， 则 f(x)x 0 在(1，)上恒成立，(10 分) a x 即 ax2在(1，)上恒成立 所以有 a1.(14 分) 版权所有：高考资源网()
