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1、学案学案 27 平面向量的数量积及其应用平面向量的数量积及其应用 导学目标： 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量 投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示 两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的 平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题自主梳理 1向量数量积的定义 (1)向量数量积的定义：_，其中 |a|cosa，b叫做向量 a 在 b 方向上的投影 (2)向量数量积的性质： 如果 e 是单位向量，则 aeea_； 非零向量 a，b，ab
2、_； aa_或|a|_； cosa，b_； |ab|_|a|b|. 2向量数量积的运算律 (1)交换律：ab_； (2)分配律：(ab)c_； (3)数乘向量结合律：(a)b_. 3向量数量积的坐标运算与度量公式 (1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若 a(a1，a2)，b(b1，b2)，则 ab_； (2)设 a(a1，a2)，b(b1，b2)，则 ab_； (3)设向量 a(a1，a2)，b(b1，b2)， 则|a|_，cosa，b_.(4)若 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则|_，所以AB|_.AB自我检测1.（2010湖南）在 RtABC 中，C=90,AC=4
3、,则等于 ( )ABACA16B8C8D16 2(2010重庆)已知向量 a，b 满足 ab0，|a|1，|b|2，则|2ab| ( ) A0B2C4D823(2011福州月考)已知 a(1,0)，b(1,1)，(ab)b，则 等于 ( )A2B2C.D12124.平面上有三个点 A（-2，y） ，B（0，） ，C（x，y） ，若，则动点 C 的轨迹方2yA BBC程为_5.（2009天津）若等边ABC 的边长为 2，平面内一点 M 满足，3CM16CB23CA则_.MAMB探究点一 向量的模及夹角问题 例 1 (2011马鞍山月考)已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61. (1)
4、求 a 与 b 的夹角 ；(2)求|ab|；（3）若a，b，求ABC 的面积ABBC变式迁移 1 (1)已知 a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c 满足 (ac)(bc)0，则|c|的最大值是 ( ) A1B2C.D.222 (2)已知 i，j 为互相垂直的单位向量，ai2j，bij，且 a 与 b 的夹角为锐角，实数 的取值范围为_ 探究点二 两向量的平行与垂直问题 例 2 已知 a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，且 kab 的长度是 akb 的长度的 倍(k0)3(1)求证：ab 与 ab 垂直； (2)用 k 表示 ab； (3)求 ab 的最小值以及此时
5、 a 与 b 的夹角 .变式迁移 2 (2009江苏)设向量 a(4cos ，sin )，b(sin ，4cos )，c(cos ，4sin ) (1)若 a 与 b2c 垂直，求 tan()的值； (2)求|bc|的最大值； (3)若 tan tan 16，求证：ab.探究点三 向量的数量积在三角函数中的应用例 3 已知向量 a，(cos 32x，sin 32x)b，且 x.(cos x2，sin x2)3，4 (1)求 ab 及|ab|； (2)若 f(x)ab|ab|，求 f(x)的最大值和最小值变式迁移 3 （2010四川）已知ABC 的面积 S=3，且 cos B ，求 cos C.
6、1 2ABAC351一些常见的错误结论：(1)若|a|b|，则 ab；(2)若 a2b2，则 ab；(3)若 ab，bc，则 ac；(4)若 ab0，则 a0 或 b0；(5)|ab|a|b|；(6)(ab)ca(bc)；(7)若 abac，则 bc.以上结论都是错误的，应用时要注意2平面向量的坐标表示与向量表示的比较：已知 a(x1，y1)，b(x2，y2)， 是向量 a 与 b 的夹角.向量表示坐标表示向量 a 的模|a|aaa2|a|x2 1y2 1a 与 b 的数量积ab|a|b|cos abx1x2y1y2a 与 b 共线的充要条件Ab(b0)ababx1y2x2y10非零向量 a，
7、b 垂直的充要条件abab0abx1x2y1y20向量 a 与 b 的夹角cos ab|a|b|cos x1x2y1y2x2 1y2 1 x2 2y2 23.证明直线平行、垂直、线段相等等问题的基本方法有：（1）要证 AB=CD，可转化证明22或|.ABCDABCD（2）要证两线段 ABCD，只要证存在唯一实数0，使等式成立即可ABCD（3）要证两线段 ABCD，只需证0.ABCD(满分：75 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1(2010重庆)若向量 a(3，m)，b(2，1)，ab0，则实数 m 的值为 ( )AB.3232 C2D6 2已知非零向量 a，b，若|a|b|1
8、，且 ab，又知(2a3b)(ka4b)，则实数 k 的 值为 ( ) A6 B3 C3D63.已知ABC 中，a，b，ab0 且 ab 不同向2即|i|22|j|20，0)得 2.0)1k24k(3)由(2)知 ab (k ) ，1k24k141k12当 k 时，等号成立，即 k1.1kk0，k1.此时 cos ，而 0， .ab|a|b|123故 ab 的最小值为 ，此时 .123变式迁移 2 (1)解 因为 a 与 b2c 垂直，所以 a(b2c)4cos sin 8cos cos 4sin cos 8sin sin 4sin()8cos()0.因此 tan()2.(2)解 由 bc(s
9、in cos ，4cos 4sin )，得|bc|sin cos 24cos 4sin 24.1715sin 22又当 时，等号成立，所以|bc|的最大值为 4.42(3)证明 由 tan tan 16 得，4cos sin sin 4cos 所以 ab.例 3 解题导引 与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式，向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识解 (1)abcos xcos sin xsin cos 2x，32x232x2|ab|(cos 32xcos x2)2(sin 32xsin x2
10、)22|cos x|，22cos 2xx，cos x0，3，4|ab|2cos x.(2)f(x)cos 2x2cos x2cos2x2cos x122 .(cos x12)32x， cos x1，3，412当 cos x 时，f(x)取得最小值 ；1232当 cos x1 时，f(x)取得最大值1.变式迁移 3 解 由题意，设ABC 的角 B、C 的对边分别为 b、c，则 S bcsin A .1212bccos A30，ABACA，cos A3sin A.(0，2)又 sin2Acos2A1，sin A，cos A.10103 1010由题意 cos B ，得 sin B .3545cos
11、(AB)cos Acos Bsin Asin B.1010cos Ccos(AB).1010课后练习区 1D 因为 ab6m0，所以 m6.2D 由(2a3b)(ka4b)0 得 2k120，k6.3C SABC |a|b|sinBAC，12154sinBAC .又 ab0，12BAC 为钝角BAC150.4C 由(2ab)b0，得 2ab|b|2.cosa，b .ab|a|b|12|b|2|b|212a，b0，180，a，b120.5B 因为 ab|a|b|cosa，b ，所以，a 在 b 上的投影为|a|cosa，b.ab|b|218427213656556.35解析 abcos 22si
12、n2sin ，2512sin22sin2sin ，sin .25357120 解析 设 a 与 b 的夹角为 ，cab，ca，ca0，即(ab)a0.a2ab0.又|a|1，|b|2，12cos 0.cos ，0，180即 120.128(1,0)或(0，1) 解析 设 n(x，y)，由 mn1，有 xy1.由 m 与 n 夹角为，34有 mn|m|n|cos ，34|n|1，则 x2y21.由解得Error!或Error!，n(1,0)或 n(0，1)9解 设存在点 M，且(6，3) (01)，OMOC(26，53)，(36，13)(4 分)MAMB，MAMB(26)(36)(53)(13)0，(8 分)即 45248110，解得 或 .131115M 点坐标为(2,1)或.(225，115)故在线段 OC 上存在点 M，使，且点 M 的坐标为(2,1)或(，)(12 分)MAMB22511510(1)证明
