数字图像处理ppt电子课件教案第07章频域处理

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1、第7章 频域处理,7.1 频域与频域变换 7.2 傅立叶变换 7.3 频域变换的一般表达式 7.4 离散余弦变换(DCT) 7.5 离散沃尔什-哈达玛变换(WHT) 7.6 频域中图像处理的实现 7.7 用MatrixLIBC+库实现图像变换的Visual C+编程 7.8 小波变换简介,7.1 频域与频域变换 频域变换的理论基础就是“任意波形都可以用单纯的正弦波的加权和来表示”。 如图7-1(a)所示的任意波形， 可分解为图7-1(b)、 (c)、 (d)所示的不同幅值、 不同频率的正弦波的加权和。 为便于理解， 将图7-1(b)所示的正弦波取出来， 如图7-2所示。 如果将虚线表示的振幅为

2、1且初相位为0的正弦波作为基本正弦波， 则实线表示的波形可由其振幅A和初相位确定。,图7-1 任意波形可分解为正弦波的加权和,图7-2 正弦波的振幅A和相位,由此， 图7-1(b)、 (c)、 (d)三个不同的正弦波形可以描述为图7-3所示的两幅图。 其中图7-3(a)表示振幅与频率之间的关系， 称为幅频特性; 而图7-3(b)表示初相位与频率之间的关系，称为相频特性。 这样便将图7-1(a)所示的时域波形f(x)变换到图7-3所示的频域F(f)。 显然， 不管波形多么复杂， 均可将其变换到频域。,图7-3 图7-1(a)波形的频域表示,时域和频域之间的变换可用数学公式表示如下：,(7-1),

3、式中： A(f)、 (f)分别为幅值和相位与频率f之间的关系。 为能同时表示信号的振幅和相位， 通常采用复数表示法。 式(7-1)可用复数表示法表示为,(7-2),式中： F(f)用复数表示幅值、 相位与频率f之间的关系。,7.2 傅立叶变换 7.2.1 连续函数的傅立叶变换 若一个一维信号f(x)满足狄里赫莱条件， 即 (1) 具有有限个间断点； (2) 具有有限个极值点； (3) 绝对可积。 则其傅立叶变换对(傅立叶变换和逆变换)一定存在。 在实际应用中， 这些条件一般总是可以满足的。,一维傅立叶变换对定义为,(7-3),(7-4),式中： ； x为时域变量； u为频域变量。,以上一维傅立

4、叶变换可以很容易推广到二维。如果二维函数f(x， y)满足狄里赫莱条件，则它的二维傅立叶变换对为,(7-5),(7-6),式中： x， y为时域变量； u， v为频域变量。,7.2.2 离散傅立叶变换 在数字图像处理中应用傅立叶变换， 还需要解决两个问题： 一是在数学中进行傅立叶变换的f(x)为连续(模拟)信号， 而计算机处理的是数字信号(图像数据)； 二是数学上采用无穷大概念， 而计算机只能进行有限次计算。 通常， 将受此限制的傅立叶变换称为离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform, DFT)。,定义：设f(x)|f(0)， f(1)， f(2)， ， f(N-1

5、)为一维信号f(x)的N个抽样， 其离散傅立叶变换对为,(7-7),(7-8),式中： x， u=0， 1， 2， ， N1。,注意： 式(7-8)中的系数1/N也可以放在式(7-7)中，有时也可在傅立叶正变换和逆变换前分别乘上 ，这是无关紧要的，只要正变换和逆变换前系数乘积等于1/N即可。 由欧拉公式可知：,(7-9),将式(7-9)代入式(7-7)，并利用cos()=cos()，可得：,(7-10),可见， 离散序列的傅立叶变换仍是一个离散的序列， 对每一个u对应的傅立叶变换结果是所有输入序列f(x)的加权和(每一个f(x)都乘以不同频率的正弦和余弦值)， u决定了每个傅立叶变换结果的频率

6、。 通常傅立叶变换为复数形式， 即,(7-11),式中： R(u)和I(u)分别是F(u)的实部和虚部。 式(7-11)也可表示成指数形式：,(7-12),式中：,(7-13),(7-14),通常， 称|F(u)|为f(x)的频谱或傅立叶幅度谱， (u)为f(x)的相位谱。 频谱的平方称为能量谱或功率谱， 它表示为,(7-15),考虑到两个变量， 就很容易将一维离散傅立叶变换推广到二维。 二维离散傅立叶变换对定义为,(7-16),(7-17),式中： u，x=0， 1， 2， ， M-1； v， y=0，1， N-1； x， y为时域变量； u，v为频域变量。,像一维离散傅立叶变换一样， 系数

7、1/(MN)可以在正变换或逆变换中， 也可以分别在正变换和逆变换前分别乘上系数 ， 只要两系数的乘积等于1/(MN)即可。 二维离散函数的傅立叶频谱、 相位谱和能量谱分别为,(7-18),(7-19),(7-20),式中： R(u，v)和I(u，v)分别是F(u，v)的实部和虚部。,7.2.3 离散傅立叶变换的性质 二维离散傅立叶变换的性质对图像的分析具有十分重要的作用， 因此， 有必要理解和掌握二维DFT的性质。 二维离散傅立叶变换的主要性质如表7-1所示。,表7-1 二维DFT的性质,续表,以上具有重要意义的两个性质的含义如下。 1. 可分离性 由可分离性可知，一个二维傅立叶变换可分解为两

8、步进行， 其中每一步都是一个一维傅立叶变换。可先对f(x，y)按行进行傅立叶变换得到F(x， v)， 再对F(x， v)按列进行傅立叶变换，便可得到f(x， y)的傅立叶变换结果F(u， v)， 如图7-4所示。 显然先按列进行傅立叶变换， 再按行进行傅立叶变换也是可行的。,图7-4 用两次一维DFT计算二维DFT,同理， 傅立叶变换的逆变换也具有可分离性。 利用傅立叶变换的可分离性， 可以简化傅立叶变换的软、 硬件设计， 用一维傅立叶变换软件或硬件便可实现二维傅立叶变换。,2. 平移性质 平移性质表明只要将f(x， y)乘上因子(1)x+y再进行离散傅立叶变换，即可将图像的频谱原点(0， 0

9、)移动到图像中心(M/2， N/2)处。 图7-5(a)是一简单方块图像，图(b)是其无平移的傅立叶频谱，图(c)是平移后的傅立叶频谱。可见，利用傅立叶变换的平移性质将图像频谱原点移动到图像中心，更便于分析和处理，特别是设计滤波器时更加方便。,图7-5 傅立叶频谱平移示意图,由表7-1中性质9可知， 图像的频谱原点(0，0)代表的是图像灰度的平均值， 是图像信号中的直流分量。 因此， 平移后的频谱中，图像能量的低频成分将集中到频谱中心， 图像上的边缘、线条细节信息等高频成分将分散在图像频谱的边缘。,7.2.4 快速离散傅立叶变换 基本离散傅立叶变换计算量非常大， 运算时间长。 可以证明其运算次

10、数正比于N2， 特别是当N较大时， 其运算时间将迅速增长，以至于无法容忍。为此， 需要研究离散傅立叶变换的快速算法(Fast Fourier Transform， FFT)。 1965年Cooley和Tukey首先提出了一种称为逐次加倍法的快速傅立叶变换算法(FFT)。采用该FFT算法， 其运算次数正比于N lbN， 在N很大时计算量可以大大减少。 例如， FFT的运算次数和DFT的运算次数之比， 当N=1024时为1/102.4； 当N=4096时可达1/341.3。,Cooley-Tukey FFT算法的基本思想是将f(x)序列按x的奇偶进行分组计算，并充分利用傅立叶变换的周期性和对称性进

11、行计算，采用迭代法，大大简化了程序设计的复杂度，提高了计算速度。 Sande-Tukey FFT算法与Cooley-Tukey FFT算法类似，只不过它是将f(x)序列按中心位置点进行分组计算的。 限于篇幅，FFT算法的详细内容不再冗述。当然对于计算机专业的学生而言，每个人都应尝试编写快速傅立叶变换的程序。有关傅立叶变换的算法还有很多，网上的FFT算法源代码也非常多，但不建议大家拿来就用。当你得到类似的代码后，一定要认真分析其实现过程和思路，只有这样才能不断地提高编程水平。,用傅立叶变换处理和分析信号，就像用三棱镜分解光线一样。让一束白光通过三棱镜，可将白光分解成七色的彩虹，若将分解开的七色光

12、再次通过三棱镜，又可以得到白光。从形式上看这是由简单变换出了繁复，实则是将混合的东西分解成了基本的元素，通过对其基本元素的分析与处理，进而完成对信号的处理和分析。因此，傅立叶变换又有“数字棱镜”的美誉。,7.3 频域变换的一般表达式 7.3.1 可分离变换 二维傅立叶变换可用通用关系式来表示：,(7-21),(7-22),式中：x，u取0，1，2，M1；y，v取0，1，2，N1；g(x，y，u，v)和h(x，y，u，v)分别称为正向变换核和反向变换核。,如果,(7-23),(7-24),则称正反变换核是可分离的。进一步，如果g1和g2，h1和h2在函数形式上一样，则称该变换核是对称的。,二维傅

13、立叶变换对是式(7-21)和式(7-22)的一个特殊情况，它们的变换核为,(7-25),(7-26),可见，它们均为可分离的和对称的。,如前所述，二维傅立叶变换可以利用变换核的可分离性，用两次一维变换来实现，即可先对f(x，y)的每一行进行一维变换得到F(x，v)，再沿F(x，v)每一列取一维变换得到变换结果F(u，v)。对其它的图像变换，只要其变换核是可分离的，同样可用两次一维变换来实现二维变换。 若先对f(x，y)的每一列进行一维变换得到F(y，u)，再沿F(y，u)每一行取一维变换得到F(u，v)，其最终结果相同。该结论对逆变换也适用。,7.3.2 图像变换的矩阵表示 数字图像都是实数矩

14、阵，设f(x，y)为MN的图像灰度矩阵，通常，为了分析、推导方便，将可分离变换写成矩阵的形式：,(7-27),(7-28),式中：F、f是二维MN的矩阵；P是MM矩阵；Q是NN矩阵。,图像变换的矩阵表达式和代数表达式其本质相同，将式(7-27)写成代数表达式如下：,(7-29),式中：u取0，1，2，M1；v取0，1，2，N1。对二维离散傅立叶变换，则有：,(7-30),(7-31),图像处理实践中，除了DFT变换之外，还可采用其它正交变换，例如离散余弦变换、沃尔什-哈达玛变换、K-L变换等。下面对常用的变换作简要介绍。,7.4 离散余弦变换(DCT) 离散余弦变换(Discrete Cosi

15、ne Transform，DCT)的变换核为余弦函数，因其变换核为实数，所以，DCT计算速度比变换核为复数的DFT要快得多。DCT除了具有一般的正交变换性质外，它的变换阵的基向量能很好地描述人类语音信号、图像信号的相关特征。因此，在对语音信号、图像信号的变换中，DCT变换被认为是一种准最佳变换。近年颁布的一系列视频压缩编码的国际标准中，均把DCT作为其中的一个基本处理模块。此外，DCT也是一种可分离的变换。,7.4.1 一维离散余弦变换 一维DCT的变换核定义为,(7-32),式中：x，u取0，1，2，N1；且,(7-33),设f(x)|x=0，1，N-1为离散的信号列，则一维DCT定义如下：,(7-34),式中：u，x取0，1，2，N1。将变换式展开整理后，可以写成矩阵形式：,(7-36),其中：,(7-36),一维DCT的逆变换IDCT(Inverse DCT)定义为,(7-37),式中：x，u取0，1，2，N1。可见一维DCT的逆变换核与正变换核是相同的。,7.4.2 二维离散余弦变换 考虑到两个变量，很容易将一维DCT的定义推广到二维DCT。其正变换核为,