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1、第 9 课 独立性与二项分布 一、教学目标 1了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布， 并能解决一些简单的实际问题. 2了解取有限的离散型随机变量的均值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求 出期望值、方差. 二、基础知识回顾与梳理 1、条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件 A 和 B，在已知事件A发生的条件下，事件 B 发生的概率叫 做条件概率，用符号 P(B|A)来表示，其公式为P(B|A) () ( ) P AB P A 在古典概型中，若用 n(A)表示事件A中基本事件的个数，则 P(B|A) () ( ) n AB n A 2、相互独立
2、事件 (1) 对于事件 A、B，若 A 的发生与 B 的发生互不影响，则称 A、B 相互独立 (2) 若 A 与 B 相互独立，则 P(AB)P(A)P(B) (3) 若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B，A 与 B，A 与 B 也都相互独立 (4) 若 P(AB)P(A)P(B)，则 A、B 相互独立 3、二项分布 如果在一次试验中某事件发生的概率是 p，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好 发生 k 次的概率是 P(Xk)C pkqnk，其中 k0，1，2，3，n，q1p.于是得到随 k n 机变量 X 的概率分布如下：于是得到随机变量 X 的概率分布如下： X01来源:学科网 k
3、 n来源:学_科_网 P 00n n C P q 111n n C pq kn kk n C pq nn nn n C pq 由于恰好是二项展开式中各对应项的值，所以称这样的随机变量 X 服从参数()nqp n，p 的二项分布，记作 XB(n，p) 由于 C pkqnk恰好是二项展开式(pq)nC p0qnC p1qn1C pkqnkC pnq0 k n0 n1 nk nn n 中的第 k1 项(k0，1，2，n)中的值，故称随机变量 X 为二项分布，记作 XB(n，p) 4、 “互斥”与“相互独立”的区别与联系 相同点不同点 都是描绘两个事件间的关系 “互斥”强调不可能同时发生， “相互独立
4、”强调一个事 件的发生与否对另一事件发生没有影响 “互斥”的两个事件可以“独立” ， “独立”的两个事件也 可“互斥” 5、均值 (1) 若离散型随机变量 的分布列为： x1x2 xn Pp1p2 pn 则称 E()x1p1x2p2xnpn为 的均值或数学期望，简称期望 (2) 离散型随机变量的期望反映了离散型随机变量取值的平均水平 6、方差 (1) 若离散型随机变量 所有可能的取值是 x1，x2，xn且这些值的概率分别是 p1，p2，pn，则称：V()(x1E()2p1(x2E()2p2(xnE()2pn为 的方 差 (2) 随机变量 的方差反映了 取值的稳定性 三、诊断练习 教学处理：课前
5、由学生自主完成 4 道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。课 前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。将知识问题化，通过问题驱动， 使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力。点评时要简洁，要点击要害。 1、抛掷一枚质地均匀的骰子，所得点数的样本空间为，令事件 A1,2,3,4,5,6S ，事件 B，则_2,3,51,2,4,5,6P A B 【分析与点评】该题考察的是条件概率的求法，一方面直接利用条件概率公式计算即 可。特别提醒：教科书上的基本公式应牢记在心，不要张冠李戴。二轮复习也应该强化基 础，尤其是一些数学公式、概念教学，有时候机械的重复甚至是默写还是有必要的.
6、另一方 面可以根据条件概率的意义，用古典概型知识求解。 2、已知A，B是两个相互独立事件，P(A)，P(B)分别表示它们发生的概率，则 1P(A)P(B)是 下列哪个事件的概率_.(填序号) 事件A，B同时发生；事件A，B至少有一个发生；事件A，B至多有一个发生； 事件A，B都不发生. 答案 3、随机变量 X 的分布列如下： X101 Pabc 其中 a，b，c 成等差数列，若 E(X) ，则方差 V(X)的值是_ 1 3 【分析与点评】本题主要考察的概率分布、期望、方差的知识。由 a、b、c 成等差数 列，有 2bac，又 abc1，E(X)1a1cca ，得 1 3 a ，b ，c ， V
7、(X)=。 1 6 1 3 1 2 222 1111115 1( )01 3633329 V x 4、一射手命中 10 环的概率为 0.7，命中 9 环的概率为 0.3，则该射手打 3 发得到不少于 29 环的概率为 （设每次命中的环数都是自然数） 【分析与点评】题目中“射手打 3 发得到不少于 29 环”包含两种情况：29 环和 30 环。 命中 29 环的概率是：。命中 30 环的概率是：。所以+ 21 3 )7 . 0)(3 . 0(c 3 )7 . 0( 21 3 )7 . 0)(3 . 0(c =0.784 3 )7 . 0( 四、范例导析 例 1、袋子A和B中装有若干个均匀的红球和
8、白球，从A中摸出一个红球的概率是 3 1 ， 从B中摸出一个红球的概率为p ()从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有 3 次摸到红球即停止 (1)求恰好摸 5 次停止的概率； (2)记 5 次之内(含 5 次)摸到红球的次数为，求随机变量的分布列。 () 若A、B两个袋子中的球数之比为 12，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红 球的概率是 2 5 ，求p的值 解.（I） (i) 222 4 1218 ( )( ). 33381 C (ii) 随机变量的取值为 0, 1, 2, 3. 由 n 次独立重复试验概率公式( )(1), kkn k nn P kC pp 得 05 5 132 (0
9、)(1), 3243 PC 14 5 1180 (1)(1), 33243 PC 223 5 1180 (2)( )(1), 33243 PC 3280 217 (3)1. 24381 P 随机变量的分布列是 0123 P 32 243 80 243 80 243 17 81 （II） 设袋子 A 有 m 个球，则袋子 B 中有 2m 个球。由 1 2 2 3 , 35 mmp m 得 13 . 30 p 【教学建议】本题是最常见的一种考法，涉及到数学期望，方差及分布列。可先让两道三 个学生板演，暴露出学生的不足之处，这样能更好地教育学生. 例 2、例题 2 改为： 甲、乙两人各进行一次射击，
10、如果两人击中目标的概率都是 0.8，计算： (1)两人都击中目标的概率； (2)其中恰有一人击中目标的概率； (3)至少有一人击中目标的概率. 【教学处理】可让学生板演，教师点评点评或板书时，要示范求分布列的步骤 【引导分析与精讲建议】 记“甲射击一次，击中目标”为事件A， “乙射击一次，击中目标”为事件B.“两人都击 中目标”是事件AB；“恰有 1 人击中目标”是AB；“至少有 1 人击中目标”是 BA ABAB. BA (1)显然， “两人各射击一次，都击中目标”就是事件AB，又由于事件A与B相互独立， P(AB)P(A)P(B)0.80.80.64. (2)“两人各射击一次，恰好有一次击
11、中目标”包括两种情况：一种是甲击中乙未击中 (即A)，另一种是甲未击中乙击中(即B).根据题意，这两种情况在各射击一次时不可 BA 能同时发生，即事件A与B是互斥的，所以所求概率为PP(A)P(B)ygrP(A)P( ) BABAB P( )P(B)0.8(10.8)(10.8)0.80.160.160.32. A (3)“两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为PP(AB)P(A)P(B) BA 0.640.320.96. 例 3、乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用 7 局 4 胜制(即先胜 4 局者获 胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同. (1)求甲以
12、 4 比 1 获胜的概率； (2)求乙获胜且比赛局数多于 5 局的概率； (3)求比赛局数的概率分布. 【引导分析与精讲建议】. 应先列举出随机变量的取值（切勿遗漏） ，该类问题对计算要求也较高，所以应加强这方面 的训练，做到既对又快，为解决其他较难附加题赢得时间。可以让两至三位学生板演，这 样可以加深对概率公式的理解. 解：(1)由已知，得甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是 . 1 2 记“甲以 4 比 1 获胜”为事件A， 则P(A)C ( )3( )43 . 3 4 1 2 1 2 1 2 1 8 (2)记“乙获胜且比赛局数多于 5 局”为事件B.乙以 4 比 2 获胜的概率为
13、 P1C ( )3( )53 ， 3 5 1 2 1 2 1 2 5 32 乙以 4 比 3 获胜的概率为 P2C ( )3( )63 ， 3 6 1 2 1 2 1 2 5 32 所以P(B)P1P2. 5 16 (3)设比赛的局数为X，则X的可能取值为 4,5,6,7. P(X4)2C ( )4 ， 4 4 1 2 1 8 P(X5)2C ( )3( )43 ， 3 4 1 2 1 2 1 2 1 4 P(X6)2C ( )3( )53 ， 3 5 1 2 1 2 1 2 5 16 P(X7)2C ( )3( )63 . 3 6 1 2 1 2 1 2 5 16 比赛局数的概率分布 X45
14、67 JP 1 8 1 4 5 16 5 16 五 解题反思 1、求复杂事件的概率，可以把它分解为若干个互不相容的简单事件，然后利用条件概率和 乘法公式，求出这些简单事件的概率，最后利用概率的可加性得到最终结果； 2、相互独立事件是指两个试验中，两个事件发生的概率互不影响；相互对立事件是指同一 试验中，两个事件不会同时发生； 3、求用“最少”表述 的事件的概率时，先求其对立事件的概率往往比较简单； 4、解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还有注意识 别题中的离散型随机变量服从什么分布； 5、独立重复试验是同一试验的次重复，每次试验结果的概率不受其他结果的影响，每次n 试验有两个结果：成功和失败次试验中恰好出现了次的概率为，nAk(1) kkn k n C pp 这次是次中的任意次，若是指定的次，则概率为 knkk(1) kn k pp
