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1、选修第 1 课 空间向量的有关概念与线性运算一、教学目标 1了解空间向量、共线向量、共面向量等概念； 2理解空间向量的线性运算及其性质.。 二、基础知识回顾与梳理 1、空间向量：在空间中，既有大小又有方向的量叫做空间向量； 2、空间向量相关概念语言描述共线向量(平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合共面向量平行于同一平面的向量共线向量定理对空间任意两个向量，存在 R，使, ,(0)a b b / /ab ab共面向量定理若两个向量不共线，则向量与向量共面存在唯一的有序实数, a b p , a b 对(x，y)，使pxayb 空间向量基本定理定理：如果三个向量不共面，那么对空
2、间任一向量，存在有序实, ,a b c p 数组x，y，z使得pxayzc 推论：设 O、A、B、C 是不共面的四点，则对平面 ABC 内任一点 P 都存在唯一的三个有序实数 x、y、z，使xyz且 xyz1OP OA OB OC 概念辨析练习 1下列命题中是否正确（1）分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量（2）若|=|，则的长度相等且方向相同或相反abba,（3）若两个非零向量与满足+=0，则 ABCDABCDABCD 【教学建议】本题主要是帮助学生复习、了解空间向量的有关概念。教学时，教师可让学 生说明理由或举出反例。结合本题，强调定义中的关键词：大小和
3、方向， 。2.下列命题：若 A、B、C、D 是空间任意四点，则有; |-0ABBCCDDA a|=|+|是、共线的充要条件； 若、共线，则与所在直线平行； 对ba bababab 空间任意一点 O 与不共线的三点 A、B、C，若（其中OPxOAyOBzOC x、y、zR）,则 P、A、B、C 四点共面. 其中不正确命题的个数_ 【教学建议】本题主要是复习空间向量基本定理及其应用三、诊断练习 1、教学处理：课前要求学生阅读课本选修 2-1完成教材习题，7873PP 378476273,TPTPTP再完成诊断练习 4 道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。课前抽查批阅部分 同学的解答，了解
4、学生的思路及主要错误。将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有 物，帮助学生内化知识，初步形成能力。点评时要简洁，要点击要害。 2、诊断练习点评题 1：化简答案：()()_ABCDACBD 0【分析与点评】1.向量的加法、减法一般用三角形法则和平行四边形法则； 2.向量的加法、减法的三角形法则和平行四边形法则都需要共起点 ，首尾 相接若干向量相加等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量， 可以认为是平面向量的加法的平行四边形法则在空间的推广。【变式】：化简 答案：_AFBFAC CB题 2如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，M 为 A1C1与 B1D1的交点若，ABaAD，则_
5、.答案为： bAA1cBM11 22abc【分析与点评】用表示向量，只需先将在某个三角形中利用三角形法则将之, ,a b c BMBM转化为能用中的任意两个作为平面向量的基底表示的向量，实现由空间向量向平面, ,a b c 向量的转化，最终用平面向量的方法解决空间向量的问题.【变式】：已知空间四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 的cbaCDcaAB865,2中点分别是 P、Q，则。 答案_PQcbaPQ533【分析与点评】 （1）用表示,关键是将三向量平移到一个三角形中CDAB,PQ（2）由于 P、Q 是中点，利用中点平移向量CDAB,题 3设是两个不共线的空间向量，若 ,且12,e e
6、 1212122,3 ,2ABeke CBee CDee 三点共线，则实数的值为 , ,A B Dk答案为：8【分析与点评】在空间三点共线依然可以转化为向量共线，向量共线依然有共线定理，利 用共线定理的线性关系列出关于的等式关系求解.k题 4已知三点不共线，为平面外任意一点，若由, ,A B COABC12 53OPOAOBOC 确定的点在平面内，则 . 答案为： PABC2.15 【分析与点评】类比平面向量的知识,本题中的系数之和为 1,追问学生:这个结论具有一般性吗?3、要点归纳 （1）在掌握向量加减法时首先应掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差，如共线、共起 点、共终点等. （2）向量的
7、减法可以转化为向量的加法，注意向量的三角形法则和平行四边形法则要点. 对于向量加法用平行四边形法则要求两向量共起点，运用三角形法则要求首尾顺次相接.对 于向量减法要求两向量共起点. （3）平面向量的运算仅限于在它所在的平面内进行，空间向量的运算常常将研究的向量进 行平移，转化为平面向量问题解决. （4）空间向量的线性运算方法和思想是由平面向量的线性运算推广而来，空间向量的性质、 运算可以类比平面向量的运算、性质四、范例导析例 1、如图，在空间几何体中，各面1111ABCDABC D为平行四边形，设1,AAABADM N Pabc 分别是的中点，试用表示以下111,AA BC C D, , b
8、c各向量： （1）； （2）.AP1MPNC 答案为： 解：(1)因为是的中点，所以P11C D111111111.222APAAADD PA DDCAB aacabc （2）因为是的中点，所以M1AA111111.22222MPMAAPA AAP a+(a+b+c) =a+b+c 又1111111.222NCNCCCBCAAADAAc+a 所以1111313()().222222MPNCabcacabc 【教学处理】本题可让学生板演，然后交流讨论，教师可以板书。点评或板书时，要示范 解题步骤、方法 【引导分析与精讲建议】 先提出以下问题问题 1：如何与基底取得联系？AP问题 2：能否先用一个
9、向量表示? 1MPNC 问题 3: 能否用平行四边形法则？或首尾相接的空间多边形？不同路径得到的结果是否相 同？为什么？例 2：已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法，求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)BD平面EFGH.A1APM DCB1B1C1DN证明: (1)连结BG，则EG EB BG ()EB 1 2BC BD ，EB BF EH EF EH 由共面向量定理知：E，F，G，H四点共面(2)因为EH AH AE ()，1 2AD 1 2AB 1 2AD AB 1 2BD 因为E，H，B，D四点不共线，所以EHBD.又EH平面EFG
10、H，BD平面EFGH，所以BD平面EFGH.【教学处理】要求学生独立思考并解题，指名学生板演，老师巡视指导了解学情；再结合板演情况进行点评。也可在学生对解题方向遇到困难时，教师适时介入与学生交流或进行讲解，并示范板书。 【引导分析与精讲建议】 1、引导学生从共面向量的概念和定理出发寻找思路。强调并示范证明向量共面的一般方法 和解题步骤；2、本题在用向量证明后可以让学生尝试用平移的知识认识三条向量可以平移到同一平面.【变式】：设及分别是异面直线上的三点，而分别是线段, ,A B C111,CBA21,ll, ,M N P Q的中点.求证：四点共面.1111,CCBBBAAA, ,M N P Q【
11、点评】：变式题中给出四点共面问题可化为三向量共面问题解决.根据空间向量共面的基本定理几何，结合图形根据中点找到四点 M,N,P,Q 构成的三向量之间的线性PQNPMN,关系即可得证.例 3 已知矩形 ABCD，P 为平面 ABCD 外的一点，M, N 分别为 PC, PD 上的点，且求满足的实数的值.2,.PMMC PNND MNxAByADzAP , ,x y z【教学处理】要求学生独立读题并画出图形，引导学生思考：怎样将空间向量转化到mBhjMN BCDA1B1A1D1CMNBCDA1B1A1D1CBCDA1B1A1D1CMN一个个平面上的向量去处理？【引导分析与精讲建议】1、容易表示出，
12、这里的基底确定了三个平面，向量在MNANAM ,AP AD AB AN平面 APD 内，因而用平面向量基本定理可得; 向量在平面 APC 中，11 22ANAPAD AM , 向量在基底确定的平面 ABD 内，因而回路接通。这里12 33AMAPAC AC,AD AB 的表示，要突出空间向量是如何转化到平面向量上去的2、对答案中提供的方法，可仿照上面的分析，引导学生作类似的转化 1212()()2323 112211()223366 211,366MNPNPMPDPCPAADPAACAPADAPABADABADAPxyz 解：【备用题】已知是平行六面体.1111DCBAABCD (1)(1) 在图上标出式子的结果；ABBCAA32 21 1(2)(2) 设 M 是底面 ABCD 的中心，N 是侧面对角线上11BBCC1BC的分点，设试求的值。431MNABADAA ,【教学处理】第（1）题可以让学生板演，教师点评作图依据.第二题从式子的特征、向量位置关系入手弄清解题意图和解题方向，指导学生独立思考，指名回答，1,AAADABMN 教师点评并板书解题过程。【引导分析与精讲建议】 可提出以下问题与学生交流：问题 1：式子表示什么含义？四个向量之间有1AAADABMN1,AAADABMN 什么关系？ 问题 2：由的值确
