《《高考直通车》2017届高考数学一轮复习备课手册：选修第4课向量与空间角的计算 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《高考直通车》2017届高考数学一轮复习备课手册：选修第4课向量与空间角的计算 （6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 4 课 法向量与空间角的计算 一、教学目标 1知道直线的方向向量，会用待定系数法求平面的法向量； 2会用两直线方向向量的夹角、直线方向向量与平面法向量的夹角以及两平面法向量的夹 角求线线角、线面角及二面角； 3会用向量的平行或垂直来判断一些简单的空间线面的平行和垂直关系。 。 二、基础知识回顾与梳理 回顾要求 1、阅读教材第 99 页，了解如何用向量来研究空间的线面位置关系？要解决这个问题，首 先我们要用向量来表示直线和平面的“方向” ，那如何刻画直线 方向向量？l 2、如何刻画平面的“方向”呢？为什么可以用平面的垂线的方向向量（即平面的法向量） 来刻画平面的“方向”呢？通过研读教材第 9
2、9 页例 1，掌握如何求一个平面的法向量。 3、对于教材第 100 页的例 2，在空间直角坐标系中，用什么样的方程才能表示一个平面？ 通过类比，在平面直角坐标系中，二元一次方程表示什么0)()( 00 yyBxxA 呢？并思考已知平面内一点和平面的法向量，这个平面是否唯一确定？ 4、阅读教材第 101 页，掌握如何用向量语言来表述空间的两条直线、直线与平面、平面与 平面的位置关系，对于教材第 104 页的例 4，仅有直线的方向向量与平面的法向量垂直， 能否说明直线一定与平面平行？ 5、阅读教材第 106111 页，通过例 1、2、3，掌握如何用空间向量的方法求解线线成角， 线面成角，以及二面角
3、的求法，理解向量语言表述空间的线面位置关系在求解过程中的所 起的作用，重点研读第 108 页两个平面所形成的二面角与两个方向量所形成的夹角之间的 关系。 要点解析 1、待定系数法求平面的法向量时，首先要转化为法向量与面内的两条相交直线所在的方向 向量垂直，其次，由于平面的法向量不唯一，所以为了方便，在得到之间的关系后，zyx, 可直接赋值，以简化计算。 2、由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以用平面的法向量来刻画了平面的方向， 进而发现研究空间线面位置关系，其实就是研究线线之间的关系。 3、对于教材第 104 页的例 4，在使用空间向量解决问题的时候，还要注意到条件的完整性 和充分性，在
4、得到后，还需要强调不在平面内，否则不能说明线ADNM MNCDE 面平行，进而启发学生，用空间向量解决问题的时候，仍需很好的运用数形结合的思想， 借助图形自己“翻译”完成。 4、在求两个平面所成的二面角的过程中，若两个平面的法向量“方向相反” ，则二面角的 平面角与法向量的夹角相等；若两个平面的法向量“方向相同” ，则二面角的平面角与法向 量夹角的补角相等。 5、只有当直线与平面平行，平面与平面平行时，才有直线与平面、平面与平面间的距离， 所以本质上也就是求点到面的距离。 三、诊断练习 1、教学处理：课前由学生自主完成 4 道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。 课前抽查批阅部分同学的
5、解答，了解学生的思路及主要错误。将知识问题化，通过问题驱 动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力。点评时要简洁，要点击要害。 2、诊断练习点评 题 1：已知，则平面的单位法向量为_1 , 3 , 2AB3 , 5 , 4ACABC 【分析与点评】 （1）本题虽然简单，但学生会出现两种错误，填写平面的一个法向量； 只填写一解。其原因是审题不清或对单位向量、法向量理解不深刻 （2）本题解法有二，一是设单位法向量为，解方程组即 0 , ,nx y z 1 0354 032 222 zyx zyx zyx 可； 二是先求出平面的一个法向量，再利用公式虽然方法二优于方法一，但n n n n
6、0 方法二容易漏解 （3）由于平面的法向量有两个方向，故本题有两解，0 666 , 366 n 题 2在棱长为的正方体中，向量与向量所成的角为 .a 1111 ABCDABC D 1 BAAC 【分析与点评】 （1）建系是解决空间角问题的常用方法，故本题用坐标法。对于正方体建 系一般比较简单。 （2）注意到本题的特殊性，作图后也可根据解决异面直线所成角的一般解法即平移为相交 直线，再去解三角形可很快得出向量与向量所成的角为. 1 BAAC 0 60 题 3在正四棱锥 S-ABCD 中，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱 SD 的中点，且 SO=OD， 则直线 BC 与平面 PAC 所成的角是
7、 ； 答案为 300 【分析与点评】 （1）本题一般方法仍是坐标法。 （2）结合本题再次强调直线方向向量和平面法向量的夹角与直线和平面所成角之间的关系。 题 4在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E 为 BB1的中点，则平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为_ 答案为： 2 3 【分析与点评】 （1）要求学生画出正方体后思考用坐标法简单还是几何法简单； （2）若用坐标法如何建系，使各顶点的坐标简单化；若用几何法，需先正确作出二面角的 平面角，一般情况下我们不提倡几何法，因为多数情况下作出二面角的平面角容易，但要 想求得很困难，而且我们教学要求中也不涉及。例如下面的变式
8、： 【变式】：已知正四棱锥的的体积为 12，底面对角线的长为，则相邻两侧面所成的二62 面角等于 . 3、要点归纳 （1）平面的法向量有两个方向无数解，通常只要写出一个，因为同一个平面的所有法向量 共线。求平面的法向量是本节最基本的题型，因为无论是求线面角还是面面角都要先求平 面的法向量。 （2）强化坐标法是解决空间角问题的常用方法。建系时要充分利用题中或图中的垂直条件， 特别是当题中或图中存在三条两两互相垂直的直线时，一般用这三条直线作为坐标轴。 （3）要重视图形在解题中的作用，有时画出图形后可很快得出答案，特别是填空题。对于 解答题最好不要用几何法，因为用几何法要注意“一作、二证、三计 算
9、” 四、范例导析 例 1、如图，在长方体中，ABCDA B C D 2DADC ，与相交于点，点在线段上（点与点1DD A C B D O PBDP 不重合） B (1)若异面直线与所成角的余弦值为，求的长度;O P BC 55 55 DP (2)若，求平面与平面所成角的正弦值 3 2 2 DP PA C DC B 【教学处理】第（1）题 学生自行完成；实物展台投影学生解题过程！ 第（2）题 引导学生求出法向量，复习向量法求二面角的大小。 【引导分析与精讲建议】 （1）异面直线所成角的范围是什么？如何求异面直线所成的角？ （2）所求法向量的夹角是否是二面角的大小？ 试题解析：（1）以为一组正交
10、基底，建立如图所示的空间直角坐标系 ,DA DC DD ， Dxyz 由题意，知,， (0,0,0)D(2,0,1) A ，.设， (2,2,0)B(0,2,1) C (1,1,1) O ( , ,0)P t t ，. (1,1, 1)O Ptt ( 2,0,1)BC 设异面直线与所成角为， O P BC 则， 2 2(1) 155 cos 55 2(1)15 O P BC t O PBCt 化简得：,解得：或， 2 212040tt 2 3 t 2 7 t 或 2 2 3 DP 2 2 7 DP （2）， 3 2 2 DP 3 3 ( ,0) 2 2 P ,，,， (0,2,1)DC (2,
11、2,0)DB 13 ( ,1) 22 PA 3 1 (,1) 2 2 PC 设平面的一个法向量为， DC B 1111 ( ,)nx y z ，即，取， 1 1 0 0 n DC n DB 11 11 20 220 yz xy 11 11 2zy xy 1 1y 1 (1, 1,2)n 设平面的一个法向量为， PA C 2222 (,)nxyz ，即，取， 2 2 0 0 nPA nPC 222 222 13 0 22 31 0 22 xyz xyz 22 22 zy xy 2 1y 2 (1,1,1)n 设平面与平面所成角为， PA C DC B ， 12 12 22 cos 363 n n
12、 nn 7 sin 3 例 2： 如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线交于点，PABCD,AC BDO ，底面，设点满足.4OA 3OB 4OP OP ABCDM(0)PMMC （1）当时，求直线与平面所成角的正弦值；来源:学科网 ZXXK 1 2 PABDM （2）若二面角的大小为，求的值.MABC 4 【教学处理】要求学生独立思考并解题，指名学生板演，老师巡 视指导了解学情；再结合板演情况进行点评。也可在学生建系遇 到困难时，教师适时介入与学生交流或进行讲解，并示范板书。 【引导分析与精讲建议】 1、建系是解答本题的关键，建系的好与不好关系到解题的简与 繁、错与对 2、求直线 PA 与平面
13、 BDM 所成角的正弦值实际上就是求直线与法向量的余弦值，另外要注 意取绝对值 3、第（2）题关键在于点 M 的坐标用参数表示，后面就按照正常就求二面角的方法解决 就可以了 O AB D C P M 答案解析：（1）以为坐标原点，建立坐标系，则，OOABP(4,0,0)A(0,3,0)B ，所以，( 4,0,0)C (0, 3,0)D(0,0,4)P(4,0, 4)PA (0,6,0)DB .当时，得，所以，设平面的( 4,3,0)AB 1 2 48 (,0, ) 33 M 48 ( ,3,) 33 MB BDM 法向量，则，得，( , , )nx y z 60 48 30 33 y xyz
14、0y 令，则，所以平面的一个法向量，2x 1z BDM(2,0,1)n 所以，即直线与平面所成角的正弦值 410 cos, 104 25 PA n PABDM 10 10 （2）易知平面的一个法向量.ABC 1 (0,0,1)n 设，代入，得，( ,0, )M abPMMC ( ,0,4)( 4,0,)abab 解得，即，所以， 4 1 4 1 a b 44 (,0,) 11 M 44 (,3,) 11 MB 设平面的法向量，则，BDM 2 ( , , )nx y z 430 44 30 11 xy xyz 消去，得，令，则，y(21)xz1x 21z 4 3 y 所以平面的一个法向量，BDM 2 4 (1,21) 3 n 所以，解得或，因为，所以. 2 221 216
