《《高考直通车》2017届高考数学一轮复习备课手册：选修第18讲抛物线的标准方程和性质 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《高考直通车》2017届高考数学一轮复习备课手册：选修第18讲抛物线的标准方程和性质 （5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 18 讲 抛物线的标准方程与几何性质一、教学目标1会求顶点在原点的抛物线的标准方程；2理解抛物线的几何性质；3会处理简单的直线与抛物线的位置关系。二、基础知识回顾与梳理“知识梳理”回顾 ：阅读教材 2-1 第 50 页至第 53 页 1.列出抛物线的几何性质的表格. 2.完成教材第 51 页的例 1.例 2.第 52 页的例 1.例 2. 要点解析1.抛物线的定义实质上给出一个重要的内容：可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准 线的距离，可以使运算化繁为简2抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离， 等于焦点到抛物p 2线顶点的距离牢记它对解题非常有益 3抛物线没有中心，
2、只有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴且离心率e1， 所以与椭圆、双曲线相比，它有许多特殊性质，可以借助几何知识来解决 4抛物线的标准方程有四种形式，要掌握抛物线的方程与图形的对应法则，将抛物线 y22px关于y轴、直线xy0 与xy0 对称变换可以得到抛物线的其他三种形式； 或者将抛物线y22px绕原点旋转90或 180也可得到抛物线的其他三种形式，这是 它们的内在联系 5求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物 线标准方程. 6 解决直线与抛物线问题时，要注意以下几点：设抛物线上的点为(x1，y1)，(x2，y2)； 因为(x1，y1)，(x2，y
3、2)在抛物线上，故满足y2px1，y2px2；利用2 12 2 y y4p2x1x2可以整体得到y1y2或x1x2.(2)利用抛物线的定义把过焦点的弦分成两个焦半2 1 2 2 径的和，转化为到准线的距离，再求解 7抛物线的焦点弦：设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)y1y2p2，x1x2；p2 4(2)若直线AB的倾斜角为，则|AB|；2p sin2(3)若F为抛物线焦点，则有 .1 |AF|1 |BF|2 p三、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成 3 道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主
4、要错误。将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，加深理解。2、诊断练习点评题 1. 若双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，222(0)xyaa24yx则 a 【分析与点评】分别求出双曲线和抛物线的焦点坐标即可。题 2、已知 F 是抛物线 C：的焦点，A，B 是抛物线 C 上的两个点，线段 AB 的中点24yx为 M（2，2）则ABF 的面积等于 。【分析与点评】本题涉及了中点弦问题，由于要回避韦达定理（事实上可以适当渗透韦达 定理的方法，但不能提过高要求） ，因而用“点差法”不失为一种基本方法。 问题：依据题设中“中点为 M（2，2） ”这一条件，能得到直线 AB 的方程吗
5、？略解：设代入，相减可得：，1122( ,),(,),A x yB xy24yx1212yyxx所以，从而将 AB 的方程与联立，即可解得1ABk24yx(0,0), (4,4)AB这样，可得所求面积为 2题3抛物线上两点、到焦点F的距离分别是，若，则xy82MN1d2d1d52d线段的中点到轴的距离为 。MNPy【分析与点评】本题就是抓抛物线的定义,注意图形结合.答案为：3 213、诊断练习点评：（1）要重视抛物线的定义在解题中的应用，如：基础回顾中的第 3、4 题和诊断练习第 3 题。 （2）学习并体会“点差法”在解决涉及弦、中点问题时的作用 四、范例导析例 1：已知抛物线 C：的焦点为
6、F，过 F 的直线 l 与此抛物线 C 相交于22(0)ypx pP，Q 两点，且=.FP 2FQ （1）求直线 l 的斜率； （2）若，求此时抛物线的方程.9 2PQ 【教学处理】让学生画图观察,尝试理解条件“=”怎么转化为坐标之间的关系？FP 2FQ 再者，要大胆渗透解方程组，求得坐标这一基本的方法，从而真正实现条件的应用。 【引导分析与精讲建议】1、设出直线 PQ 的方程中，除了含有要求的斜率外，还含有未知数根据条件“=k, pFP 转化得到的坐标关系是否与无关？要引导学生大胆解方程组。2FQ p 2、弦长的处理方法，除答案上提供的方法外，是否可以用抛物线的定义，结合第(1)问中求得的斜
7、率，能否结合图形用几何方法来求解？ 2 2k 例 2：过直线1y = -上的动点( ,1)A a -作抛物线2yx=的两切线,AP AQ,P Q为切点.(1)若切线,AP AQ的斜率分别为12,k k,求证:12kk为定值;(2)求证:直线PQ过定点.【教学处理】第 1 问教师要让学生画图来分析，主要是分析21,kk之间是通过什么变量联 系起来的.第 2 问，要在如何求出 PQ 直线方程这一思路上，要给学生尝试的时间。然后再 进行点评。 【引导分析与精讲建议】 1 在解决第 1 问时，作图如何表示 21,kk,它们之间有什么关系 2 如何表示出 PQ 的直线方程.参考答案为：(1)设过A作抛物
8、线2yx的切线的斜率为k,则切线的方程为1()yk xa , 与方程2yx联立,消去y,得012akkxx. 因为直线与抛物线相切,所以0) 1(42akk, 即0442 akk. 由题意知,此方程两根为21,kk, 所以124k k (定值) (2)设1122( ,),(,)P x yQ xy,由2yx,得xy2. 所以在P点处的切线斜率为:12| 1xyxx,因此,切线方程为:)(2111xxxyy. 由2 11yx,化简可得,1120x xyy. 同理,得在点Q处的切线方程为2220x xyy. 因为两切线的交点为( , 1)A a ,故11210x ay ,22210x ay . 所以
9、QP,两点在直线210axy 上,即直线PQ的方程为:210axy . 当0x时,1y ,所以直线PQ经过定点(0,1) 例 3、在平面直角坐标系中，已知抛物线为其焦点，点的坐标为xOy2:4 ,C yx FE，设为抛物线上异于顶点的动点，直线交抛物线与另一点，连结(2,0)MCMFCN并延长分别交抛物线于点。,ME NEC,P Q（1）当时，求直线与轴的交点坐标；MNOxPQx（2）当直线的斜率存在且分别记为时，求证：。,MN PQ12,k k122kk 【教学处理】可与学生共同探讨完成，以学生的想法为主，老师适当调整。【引导分析与精讲建议】1、根据条件可直接得出直线 MN 方程，从而得出点
10、 M,N 的坐标，再分别求出MNOxP,Q 的坐标即可。2、设，直线的方程为，直线11223344,(,), (,),(,)M x yN xyP xyQ xyMN1xmy的方程为，与抛物线连理方程组，得到，MP2xty124y y ，同理，从而13138,4y yx x 24248,4y yx x ，就得到两条直线的斜率之间关系。323241412,4,2,4yyxxyy xxiIOdT参考解答：（1）抛物线焦点（1,0） 。当时，直线的方程为2:4 ,C yxFMNOxMN。将代入抛物线得。不妨设,则直线1x 1x 2:4 ,C yx2y (1,2),(1, 2)MN的方程是，由解得或，于是
11、得，同理ME24yx 2244yxyx 1x 4x (4, 4)P得，所以直线，所以直线与轴的交点坐标为。(4,4)Q:4PQ x PQx(4,0)（2）设直线的方程为，并设MN1xmy，由得，于是11223344,(,), (,),(,)M x yN xyP xyQ xy214xmyyx 2440ymy，从而，设直线的方程为，由得124y y 22 12 1214 4y yx x MP2xty224xtyyx ，所以，同理，所以2480yty13138,4y yx x 24248,4y yx x ，323241412,4,2,4yyxxyy xx，即431212 21 4312122211
12、4422yyyyyykkxxxxxx122.kk备用题： 已知是抛物线上的两点，且(为坐标原点) ,A B22,0ypxpOAOBO求证：（1）两点的横坐标之积为定值，纵坐标之积也为定值；,A B（2）直线过定点；AB（3）求线段中点的轨迹方程ABM【教学处理】本题中的核心条件为，条件的运用有多种办法，关键是用哪一种合OAOB适。可放手让学生先行独立思考条件的转化路径及设点的坐标的方法。【引导分析与精讲建议】1、 分析条件的作用：因为我们要研究点的坐标的乘积，所以设点的坐标是必然OAOB 的。 2、 点坐标的设法一般有种形式：一是直接设；二是将坐标中的,A B1122( ,), (,)A x
13、yB xy用表示xy；三是利用参数方程表示为.三种设法22 12 12(,), (,)22yyAyBypp22 1122(2,2), (2,2)AptptBptpt有各自不同的特点，也有不同的作用.在解题过程中要让学生体会和领悟.参考解答：（1）设两点的坐标分别为，依题意有,A B 1122,x yxy，22 11222,2ypx ypx，2222222 12121212121212,0,4,4,4OAOBx xy yy yp x xx xp x xx xp从而2 124.y yp （2）直线的方程为，由（1）知代入，整理得到AB112121yyxx yyxx22 12 12,22yyxxpp
14、，所以，直线经过定点.2 1224yyypxpAB2 ,0pdZ （3）设点，则有，变为,M x y121222xxxyyy22 121222222 2121212122428 244xxyyxpyyyyy yyypyy所以即2222 22128482.44yyppxpypxp222.ypxp【思考】已知是抛物线上的两点，若直线经过点，,A B22,0ypxpAB2 ,0p你能够得到怎样的结论？【尝试】若设两点的坐标分别为，试解上述问题,A B22 11222,2, 2,2ptptptpt五、解题反思 1重视抛物线的定义在解题中的作用。体会“点差法”适用的情境。 2对条件的分析，不仅是初步能转化成什么，更要注意条件转化的方向。如例 3 3运算问题，不能停留在口头上，要分析向哪个方向算，如何算，要带着学生算。只有 这样，才能逐步培训和提高运算的能力和品质。
