《《高考直通车》2017届高考数学一轮复习备课手册：第45课直线与圆的综合运用 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《高考直通车》2017届高考数学一轮复习备课手册：第45课直线与圆的综合运用 （6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第 45 课课 直线与圆的综合运用直线与圆的综合运用一、考纲要求 1、能利用直线与圆、圆与圆的方程及其相关性质，解决直线与圆、圆与圆的有关问题。 2、掌握处理直线与圆、圆与圆关系的综合性问题基本方法； 3、领悟感受并基本掌握“等价转化”、 “数形结合”等数学思想方法，会选择并掌握合理简洁 的运算途径. 二、知识梳理 回顾要求 1、已知圆外一点，能否写出圆的切线方程？ 2、研究两圆关系的主要“特征线”有那几个？ 3、研究直线与圆、圆与圆的位置关系，一般采用两种方法 要点解析1、已知圆，圆，则以为切点的圆222 1:Oxyr222 2:()()Oxaybr00(,)M xy的切线方程为，圆的切线
2、方程为1O2 00x xy yr2O2 00()()()()xa xayb ybr2、两圆公切线、连心线、公共弦是研究两圆关系的主要“特征线，合理利用会使问题简捷 3、研究直线与圆、圆与圆的位置关系，一般采用两种方法：一是利用几何特征转化为代数 问题求解；二是利用方程组求解。其中方法一是常用方法。 1、教学处理：课前由学生自主完成 4 道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。 课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。将知识问题化，通过问题驱 动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力。点评时要简洁，要点击要害。 2、诊断练习点评题 1：过点的直线l被圆截得的弦长为，
3、则直线l的方程为 1, 2 223xy2 2答案为：或1x 3450xy【解析】试题分析：当直线斜率不存在时：方程为，与圆的交点为，弦1x 1,2 ,1,2 长为，当斜率存在时，设直线为，圆心到直线的2 22120yk xkxyk距离为，圆的半径为 2，直线为 221kd k 2 22232341kk k 3450xy【变式 1】已知圆 O：x2y24，则过点 P(2,4)与圆 O 相切的切线方程为 。 （3x4y100 或 x2） 解析：点 P(2,4)不在圆 O 上，切线 PT 的直线方程可设为 yk(x2)4.根据 dr，2，解得 k ，所以 y (x2)4，即 3x4y100.因为过圆
4、外一点作圆的|2k4|1k23434切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在易求另一条切线为 x2.【变式 2】圆 x2y24x0 在点 P(1，)处的切线方程为 。3（xy20）3解析：圆的方程为(x2)2y24，圆心坐标为(2,0)，半径为 2，点 P 在圆上，设切线方程为 yk(x1)，即 kxyk0，2，解得 k.33|2kk 3|k2133切线方程为 y(x1)，即 xy20.3333题 2由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为 .1yx22(3)1xy【分析与点评】在作出直线与圆在同一坐标系中图形，圆是定的，直线也是定的，但由于直线上点是动的，因此切线也是动的，先思考切线长
5、的最小值怎么求？其目标函数如何建立？方法一：直接在直线取点向圆引切线，由圆心到直线的距离、半径、切线长可以构00(,)xy成直角三角形即垂径定理，利用直角三角形中的关系建立目标函数？ 22ldr 方法二：能否将则切线长的最值转移？由圆心到直线的距离、半径、切线长可以构成直角三角形中，把切线长 的最小值转化为圆心与直线的距离的最小值。 （在此22ldr ld顺便复习一下圆上点到直线(点)的距离的最值的求法-注意直线与圆的位置关系）【变式 1】由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为 .1yx 22(3)1xy通过此题让学生巩固最小值的求法-代数法和几何法.【变式 2】由直线上的一点向圆引切线
6、，则切线长取最小值时1yx 22(3)1xy切线所在直线的方程为 . 通过此题让学生掌握过圆外一点如何求圆的切线方程的一般方法：斜率存在时，待 定系数法设出直线点斜式方程再利用圆心到切线的距离等于半径求出直线的斜率。不存 在时，直接写出切线方程，然后进行检验即可。本题利用题 2 的方法一、二求出直线上点 的坐标然后利用过圆外一点如何求圆的切线方程的一般方法即可。 问题：过圆上一点如何求圆的切线方程？【引申】1、已知是圆上一点，过点引圆的切线，则00(,)P xy222xyr 00(,)P xy切线方程是。2 00x xy yr 2、已知是圆上一点，过点引圆的切线，00(,)P xy222()(
7、)xaybr 00(,)P xy则切线方程是.2 00()()()()xaxaybybr 题 3、已知圆062:22 1yxyxC，圆01124:22 2yxyxC则两圆的公共弦方程为 ，公共弦长为 。 【分析与点评】思考 1：公共弦方程的求法：只要对两圆方程作差就可以得到直线方程为；思考 2：公共弦的长度可以求出两交点坐标，用点到点距离公式解决，0643yx还可以用圆心到公共弦距离，半径已经公共弦的一半构造直角三角形解决得到弦长为524【备用 1】若过的直线 与曲线有公共点，则直线 的斜率的取值A(4,0)l22(2)1xyl范围是 。 【分析与点评】利用前面基础知识梳理第 2 题的结论，从
8、两个方面考虑：代数方法：直线与曲线联立方程组，直线与圆有公共点。几何方法：画出图形，利用点到0 直线的距离公式求出，直线与圆有公共点。 提醒的是如果本题求的是直线 的ddrl 倾斜角，那就要考虑分类讨论直线的斜率存在与不存在两种情况了。【备用 2】若直线与曲线仅有一个公共点，求实数的取值范围yxb21xyb【分析与点评】本题最适合的方法是图象法，注意不要漏掉相切情况。题 4. 已知圆 O：，直线 ：，设圆 O 上到直线225xylcossin1(0)2xy的距离等于 1 的点的个数为= 。 （4）l, kk则【备用 1】：若圆 x2y24 与圆 x2y22ay60(a0)的公共弦的长为 2，则
9、3 a_. 审题视点 两圆方程相减得公共弦所在的直线方程，再利用半径、弦长的一半及弦心距构 成的直角三角形解得 解析 两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2y22ay6)(x2y2)04y ，又 a0，结合图象，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角1a形，可知 1a1.1a22 32答案 1 【分析与点评】： 当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或是公共弦长，只要把两圆方 程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就 可以求出公共弦长 3、要点归纳 （1）强化直线与圆的位置关系的判断方法的应用：代数法、几何法。特别是圆的切线方程 的求法：点在
10、圆外、点在圆上。 （2）渗透了点与圆、圆与圆的位置关系的判断方法。 （3）要重视图形在解题中的作用，辅助分析，帮助理解。强化数形结合的思想之应用。四、范例导析例 1 已知圆 C：内有一点 P（2，2） ，过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A、B 两2219xy点 （1）当 l 经过圆心 C 时，求直线 l 的方程； （2）当弦 AB 被点 P 平分时，写出直线 l 的方程； （3）当直线 l 的倾斜角为 45 时，求弦 AB 的长 【解析】 试题分析：（1）由直线过的两点坐标求得直线的斜率，由点斜式方程可得到直线 l 的方程； （2）弦 AB 被点 P 平分可知 PC 与 AB 垂直，由 P
11、C 斜率可得 AB 斜率，因此可得到直线 AB 及 直线 l 方程；（3）首先由点斜式得到直线方程，直线与圆相交问题常借助于圆的半径，弦长的一半，圆心到直线的距离构成的直角三角形勾股定理求解试题解析：（1）已知圆 C：的圆心为 C（1，0） ，因直线过点 P、C，所以2219xy直线 l 的斜率为 2，直线 l 的方程为 y=2（x-1）,即 2x-y-2=0（2）当弦 AB 被点 P 平分时，lPC, 直线 l 的方程为, 即 x+2y-6=012(2)2yx （3）当直线 l 的倾斜角为 45 时，斜率为 1，直线 l 的方程为 y-2=x-2 ,即 x-y=0 圆心 C到直线 l 的距离
12、为，圆的半径为 3，弦 AB 的长为1 234考点：1直线方程；2直线与圆相交的位置关系变变式式训训练练 已知圆 x2y26mx2(m1)y10m32m240(mR) (1) 求证：不论 m 取什么值，圆心在同一直线 l 上； (2) 与 l 平行的直线中，哪些与圆相交，相切，相离 (1) 证明：配方得(x3m)2y(m1)225. 设圆心为(x，y)，则Error!，消去 m，得 x3y30. 故不论 m 取什么值，圆心在同一直线 l：x3y30 上 (2) 解：设与 l 平行的直线为 n：x3yb0，则圆心到直线 n 的距离 d，由于圆的半径 r5，当 dr，即 b53 时，直线与圆相离1
13、0例 2 、已知：以点，为圆心的圆与轴交于、，与轴交于、2( , )C tt(,0)tR txOAyO，其中为原点.BO（1）求证：的面积是定值；OAB（2）设直线与圆交于点、，若，求圆的方程.24yx CMNOMONC【教学处理】第一题可让学生板演，教师点评，强调学生必须作图；第二题要求学生独立 思考，教师适时提出问题并介入与学生交流讨论，后由学生明确思路老师板书示范。【引导分析与精讲建议】（1）第一题点评：关键是把三角形的面积表示出来？根据图形已知三角形 OAB 是直角三角形，令圆的方程中的分别为 0 即可求出与坐标轴的交点坐标., x y（2）第二题可以提出问题：这个条件如何用？（代数？
14、几何？）OMON方法一：直接联立直线和圆的方程组解出点的坐标，代入中，求出 。,M NOMONt注意 值代入的验证。但是计算较繁.t0 方法二：在方法一中，不需解出点的坐标，可以利用韦达定理找出,M N,再利用，设线段的中点为，得到,转移,MNMNxxxx OMONMNPOPMN 为，能够立出有关 的一个方程解出 值。同样注意 代入检验，进行取舍.1 2OPk ttt0 方法三：在方法二中，进一步观察图形，可发现并且,从而直OPMN CPMN 线（即直线）方程为，再把圆心代入即可解出.但是要检验OPOC1 2yx 2( , )C tt2t 圆与已知直线是否相交来 对进行取舍.24yx t【点评】： 本题主要通过第二题的三种解法，向学生渗透一题多解，从不同方面对图形的 理解和条件的转换。本题第二题三种解法中解法一虽然宜掌握但计算量大，解法二常见的 韦达定理的应用，理科班学生可以适当介绍和应用，文科班学生应回避，解法三虽然思维 量大，技巧性也强，但要求学生理解会处理。关键是学生要掌握通解通法，一些平几等技 巧性的解法有时会起到事半功倍的奇效，理应做适当做了解.例 3、已知圆的方程为,点是坐标原点.直线与圆交于C22(4)4xyO: l ykxC两点.,M N(1)求的取值范围；k(2)设是线段上的点,且.请将表示为的函数.( , )Q m nMN222211 |
