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1、第 43 课 圆的方程 一、考纲要求一、考纲要求 1掌握圆的标准方程和一般方程，理解方程中字母的实际意义； 2能根据已知条件合理选择圆的方程的形式，并运用待定系数法求出圆的方程。注重数形 结合。 3会进行圆的标准方程与一般方程的互相转化，熟练掌握配方法的应用。 二、知识梳理二、知识梳理 回顾要求回顾要求1 阅读教材第 107 页110 页,了解以点( , )C a b为圆心，r为半径的圆标准方程是什么，若该圆的圆心恰为坐标原点，则这个圆的方程又是什么。2 方程表示圆的充要条件是什么，其中圆心半径分别是什么220xyDxEyF标准方程和一般方程怎么转化 3 对于书中第 107 页，能否看出推导标
2、准方程的步骤。 4 对于教材的例 3，掌握用一般方程的办法求圆的方程，思考能否还有其他方法。 要点解析要点解析1、 以点( , )C a b为圆心，r为半径的圆标准方程，的圆心恰为坐222)()(rbyax标原点，则这个圆的方程222ryx2、 二元二次方程表示圆的充要条件是，圆220xyDxEyF2240DEF心，半径)2,2(EDFED421223、 先建立平面直角坐标系，设点，列出关系式再化简得出。 4、圆的标准方程通过展开整理就得到圆的一般方程，圆的一般方程通过配方整理就会得到 圆的标准方程。 【教学建议】只需要学生领悟到圆的一般方程与标准方程间的关系就行了。 三、诊断练习三、诊断练习
3、 1、教学处理：课前由学生自主完成 4 道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。 课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。将知识问题化，通过问题驱 动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力。点评时要简洁，要点击要害。 2、诊断练习点评题 1、若方程表示圆，则实数 m 的取值范围为 ；224250xymxym若方程表示圆，则实数 a 的值为 。222(2)20a xayaxa【分析与点评】（1）强调二元二次方程表示圆的充要条件是220xyDxEyF； 2240DEF（2）弄清：为什么二元二次方程表示圆的充要条件是220xyDxEyF?加深对方程与曲线的关系的理解。2
4、240DEF（3）方程如何转化成方程？222(2)20a xayaxa220xyDxEyF答案： 或；-1。14m 1m 题 2、已知两点的坐标分别为，则以为直径的圆的标准方程为 ,A B(0,4),(4,6)AB【分析与点评】试题分析：以为直径的圆的圆心为中点，即，又ABAB)5 , 2(，所以圆的半径为，则圆的标准方程为52)46()04(22AB5r5)5()2(22yx答案： 5)5()2(22yx4、 题 3方程表示的曲线是 211yx【分析与点评】重点探讨思路的选择： （1）化简这个式子首先做什么，平方。平方前需要注意 x 的范围（2）化简后的式子为，表示圆，但加上 x 的范围只能
5、是圆的一部分。1) 1(22yx题 4点在圆的内部，那么实数的取值范围是 。 1,1P224xayaa【分析与点评】强调判断点与圆的位置关系的依据：与的大小关系。将位置关系的判dr 断（定性）转化为大小的比较（定量） 。【备用】：（1）过点可以向圆引两条切线，求实数的取 1,1P224xayaa值范围；（2）已知实数满足，求的取值范围。, x y2240xyxy x 3、要点归纳 （1）强化对圆的方程形式特征的理解； （2）强调求圆的方程的方法的选择； （3）要重视圆的几何性质的应用。 四、范例导析四、范例导析 例 1、分别求满足下列条件的圆的方程。（1）已知圆过两点，且它的圆心在直线上；3,
6、1 ,1,3AB 320xy（2）经过三点；1, 1 ,1,4 ,4, 2ABC（3）已知圆 C：，直线，求圆 C 关于直线22412390xyxy:3450lxy对称的圆的方程。l 【教学处理】可让学生板演，结合板演提问学生，再交流讨论，然后教师点评；通过点评 或板书总结求圆的方程的一般方法。 【引导分析与精讲建议】 1、第（1）题可以引导学生从以下几个角度思考：（1）设一般方程，将坐标代入，再将圆心坐标,A B220xyDxEyF代入直线方程，求；,22DE,D E F（2）设圆心，利用几何性质，建立方程求；,31C aaCACBa（3）交轨法找圆心：求线段的中垂线与直线的交点，得圆心。A
7、B320xy总之，设方程，设圆心，找圆心是求圆的方程的常用方法。 2、第（2）题分析时，提出以下问题： 问题 1：本题宜选择什么形式的方程求解？（强调方程形式的选择，已知三点，宜选择一 般方程。 ）问题 2：画个图看看，还可以怎么做？引导学生发现圆心在直线上，可以设圆心为3 2y ，列方程求；也可以通过交轨法找圆心。 （强调画图意识，要善于捕捉题3,2aa中隐含的几何信息。 ） 3、第（3）题分析时，提出以下问题 问题 1：如何将曲线关于直线的对称问题转化为点关于直线的对称问题。 问题 2：圆关于直线的对称的曲线仍然是圆，只有圆心位置发生了改变，圆的大小并没有 发生改变。 解决方案：（3）圆
8、C 的圆心 C（-2，6） ，半径为 1；设圆 D 和圆 C 关于直线 对称，l，则有：，解得：，则所求的方程为：( , )D a b26345022 64 23abb a 4,2ab 22(4)(2)1xy【说明】:教师要有意识地引导学生挖掘图形的几何信息，培养简化运算的意识。例 2 已知动点 M 到点的距离等于 M 到点的距离的倍.(8,0)(2,0)2（1）求动点 M 的轨迹 C 的方程；（2）若直线与轨迹 C 没有交点，求的取值范围；5 kxyk【教学处理】要求学生独立思考并解题，指名学生板演，老师巡视指导了解学情；再结合 板演情况进行点评。 【引导分析与精讲建议】 试题分析：注意把握
9、求轨迹方程的四步曲，建系、设点、列式、化简，本题建系就省了，注意求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标为，根据题意，列出等量关系式，化( , )x y简即可，对于第二问，注意考查的是圆与直线的位置关系，通过圆心到直线的距离与半径 比较大小即可判断。解：（1）设，则， ( , )M x y2222)2(2)8(yxyx整理得，即动点 M 的轨迹 C 的方程为. 2216xy2216xy（2）由，消去并化简得 51622kxyyxy0910)1 (22kxxkpDNdt因为直线与轨迹 C 没有交点，所以 5 kxy0)1 (3610022kk即，解得09162k43 43k【变式】：已知圆与轴交于两
10、点，是该圆的内接三角形，y0,2 ,0,4ABAPB，求圆的方程。60APB 【点评】：这里变式中给出的角是圆周角，可以转化为圆心角，仍然可转化为半径、半弦、 弦心距之间的关系，只是更具一般性。例 3 已知点在圆上。, x y22231xy（1）求的最大值和最小值；xy（2）求的最大值和最小值。y x(3)求的范围22yx 【教学处理】指导学生从最值问题的常规方法角度独立思考，指名回答，教师点评并板书 解题过程。 【引导分析与精讲建议】 第（1）小题可以提出以下问题： 问题 1：二元表达式的最值问题可以尝试消元，转化为函数问题，本题可以实施吗？ 问题 2：二元表达式的最值问题还可以转化为线性规
11、划问题，本题如何实施？ 问题 3：问题化归：设，与圆的方程联立方程组，利用方程组有解的条件，建立xyt 不等关系，求最值。 问题 4： 能不能从几何意义的角度思考：具有什么几何意义？第（2）小题应该以第xy （1）小题的探究为基础，对方法的选择进行探讨，可以尝试提出以下问题： （1）若尝试第（1）问的方法（1） ，建立函数，如何求解？ （2）模仿第（1）问的方法（3） ，构建不等关系如何实施？（3）从表达式的几何意义，从图形入手，怎么求的取值范围？y xy x 【变式】：已知实数满足, x y2246120xyxy求：（1）的取值范围； 2246xyxy（2）的取值范围3xy【点评】：二元函数
12、的值域的主要解法是消元转化为一元函数的值域问题，但为了简化运 算，也要适时从数形结合的角度思考，充分挖掘表达式的几何意义。五、当堂反馈五、当堂反馈1、直线平分圆的周长，则_。03 yx012222ayaxyxa【分析与点评】直线平分圆的周长，即直线过圆心，解得。03 yx),(aa23a2、已知点在圆上，点关于直线的对称) 1 , 2(P02:22byaxyxCP01 yx点也在圆上，则圆的圆心坐标为_，半径为_. CC 【分析与点评】点关于直线的对称点也在圆上，说明直线P01 yxC过圆心，解得，且点在圆上，代入解得，所以圆01 yx) 1 ,2(a0a) 1 , 2(P3b心坐标为，半径为
13、。) 1 , 0(2h3若方程2222460xyaxayaa表示圆心在第四象限的圆，则实数a的范围为 .【分析与点评】试题分析：由方程可得2222460xyaxayaa，因为圆心在第四象限，则有，解得222()(2 )xayaaa( , 2 )aa200aaa .01a 答案： 01a4、已知圆,点 ,点是上任意一点，则4)4(:22 yxC)0 , 2(),0 , 2(BA ),(yxPC的值域为_.22PBPA 【分析与点评】由平行四边形性质知作图2222228)2(21OPOPABPBPA可见的最大值是6，最小值是2，所以22PBPA 的值域为.OP80,16六、解题反思 1、待定系数法是求圆的方程的主要方法，求圆的方程关键是建立方程，求基本量 a，b，r 或 D，E，F。 2、要注意选择适当的方程形式，探究合理的运算路径。 3、在解题过程中一定要有“图”的意识，要充分挖掘图形的几何性质，帮助简化运算。 4、以圆为背景的二元函数的值域问题，要充分考虑圆在解题中的桥梁作用，要研究目标函 数的几何意义，化归为斜率或距离。
