《线性代数课件第二章第二节矩阵的运算》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数课件第二章第二节矩阵的运算（67页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节 矩阵的运算,一、矩阵的加法,1. 定义,设A = ( aij )mn , B = ( bij )mn ，,则矩阵C = ( cij ) mn= ( aij + bij ) mn .,称为矩阵A 与B的和，记作C = A+B.,两矩阵的和=对应元素求和,两矩阵同型时,才可以求和,如:,加法的运算规律,设A,B,C,O都是mn 矩阵，则,(1) A + B = B + A,(2) ( A + B ) + C = A + ( B + C ),(3) A + O = O + A = A,交换律,结合律,二、 矩阵的减法,(1) 负矩阵,设A = ( aij ) mn ,则称,( aij ) m
2、n为A的负矩阵，简记A,显然,A+ (A)= O ,(A) = A,(2) 减法,设A = ( aij ) mn , B = ( bij ) mn,AB = A + (B ) = ( aij bij ) mn,三、数与矩阵的乘法,1、定义,记为 A，即,设是常数，A = ( aij ) mn ，,则矩阵,( aij ) mn称为数 与矩阵 A 的乘积，,数与矩阵相乘=矩阵的每一个元素都与数相乘,2.性质,设A、B为m n矩阵，、为常数,(1) () A = (A) = (A );,(2) (A + B) =A +B;,(3) ( +)A=A+ A;,矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运
3、算.,例1,解：,2)已知 且A+2X=B，求X.,练 习,答 案,1) 解：,答 案,2) 解：,四、矩阵乘法,1. 定义,并把此乘积记作,注意 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.,Cij=A的第i行与B的第j列元素乘积之和,AB无意义; BA有意义.,+,+,+,第 j 列,第 i 行,=,例2,解：,例3,解：,解：,66页,练 习,例4 设矩阵,求乘积AB 和 BA.,解：,注：AB BA，即矩阵乘法不满足交换律。,练 习,试证： (1) AB = O ； (2) AC = AD,证：,67页 6,故 AC AD.,解：,更正,练 习,用yi来表示xi,从
4、yi到xi的线性变换,从xi到yi的线性变换,用xi来表示yi,解：,从yi到xi的线性变换,从zi到yi的线性变换,从zi到xi的线性变换,复 习,试证： (1) AB = O ； (2) AC = AD,证：,故 AC AD.,两个非零矩阵的乘积有可能是零矩阵,矩阵乘法的运算规律,（其中 为数）;,单位矩阵左乘矩阵A、右乘矩阵A的结果仍是原矩阵A,单位矩阵在乘法中相似于1在乘法中的作用,例如,比较：,在数的乘法中，若 ab = 0 a = 0 或 b = 0,两个非零矩阵乘积可能为O.,在数的乘法中，若 ac = ad，且 a 0 c = d(消去律成立),(消去律不成立),设A和B均为n
5、阶方阵，且满足AB=O，则必有（ ）. （A）A=O或B=O （B）A+B=O（C）|A|=O或|B|=O （D）|A|+|B|=O,思 考,如果AB=BA,则称A,B是可交换的.,一般而言，,例5,设某化工厂第一季度各厂的生产情况以及各产品成本和出产价如下表所示：,问：各厂第一季度各厂生产的各种产品的总产品成本和总出产价为多少？,C = AB,各厂各种产品的产量,各种产品的成本价及出厂价,解：,例6 （交通网络模型） 右图示明了d 国家三个城市，e 国三个城市，f 国两个城市相互间之道路.,在 d 国家和 e 国家间城市通路情况可用下列形式表示：,在 e 国和 f 国间城市通路情况可用下列形
6、式表示：,其中：0, 1 指城市间的通路数,求：d 国家和 f 国家城市通路形式？,解：,d 国家和e 国家的通路形式,e 国家和f 国家的通路形式,e 国家和f 国家的通路形式,)方阵的幂:,若A是 阶矩阵，则 为A的 次幂，即并且,例7 证明,证：,练 习 题 (1)设A，B均是n阶方阵,且 试证 :B2=E.,练 习 题 (1)设A，B均是n阶方阵,且 试证 :B2=E.,证：,解,例8,解：,67页 8,练 习 题,解：,五、矩阵的转置,将矩阵A mn的行换成同序数的列，列换成同序数的行所得的 nm 矩阵称为A的转置矩阵，记作 AT 。,例如：,则,1. 定义,2、转置矩阵的运算性质,
7、例8,解：,练 习,解：,对称矩阵,(1) 若方阵A满足AT = A，即 aji = aij，则称A为对称矩阵。,对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.,(2) 若方阵A满足AT = A,即 aji =aij，则称A为反对称矩阵。这时 aii = 0 ( i = 1, 2, n),反对称阵的对角线上的元素全为0.,例9,证：,67页 8,例10,证：,解：,66页,解：,2、设为3维列向量，T是的转置，若,1、设,B为三阶非零矩阵，且AB=O，则t=_。,3、,复 习,证：,于是得，AAT 为反对称阵.,于是，A+AT为对称阵.,七、矩阵的行列式,定义,若 |A| 0，则称方阵 A 是非奇异
8、(非退化)的，否则，称 A 是奇异(退化)的。,性质：,(2) | A | = n | A |，,(3) | A B | = | A | | B |= | B A |,(1) | AT | = | A |,| A m | = | A | m,| A 1 A 2 A m | = | A 1| | A 2 | | A m |,推广：,例如：,有,而,矩阵,（伴随矩阵的）定义,对应元素代数余子式的转置矩阵,解：,练 习,例11,证：,同一行元素乘以相同行元素代数余子式之和为|A|,同一行元素乘以不同行元素代数余子式之和为0,解：,练 习,作业：习题二 5、6、7、8、9、10,2、设为3维列向量，T是的转置，若,1、设,B为三阶非零矩阵，且AB=0，则t=_。,3、,
