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1、1,计算方法电子教案,中南大学 数学科学学院 应用数学与应用软件系,2,第五章 非线性方程的数值解法1 引言2 二分法3 迭代法4 牛顿-雷扶生方法 5 正割法 6 迭代法的收敛阶和Aitken加速方法,3,引 言代数方程求根问题是一个古老的数学问题，早在16世纪就找到了三次、四次方程的求根公式。但直到19世纪才证明 次的一般代数方程式不能用代数公式求解。因此需要研究用数值方法求得满足一定精度的代数方程式的近似解。在工程和科学技术中许多问题常常归结为求解非线性方程式问题，例如在控制系统的设计领域，研究人口增长率等。例1 关于真实气体的状态方程（Van der waals方程）为其中，P是气体压
2、力，V是气体提及，T是绝对温度，R是气体常数。如果已知某气体的温度T及压力P，那么求体积V的方程为：,(1.1),(1.2),4,或本章将介绍这种类型方程的近似解的数值方法。设有一非线性方程其中 为实变量 的非线性函数。 定义 1 （1）如果有 使 ，则称 为方程（1.3）的根，或称为函数 的零点。（2）当 为多项式时，即方程为称 为 n 次代数方程。当 包含指数函数或三角函数等特殊函数时，称 为超越方程。（3）如果 ，其中 ，m 为正整数，则称 为 的 m 重根。当 m=1时称 为的单根。,(1.3),5,先叙述两个基本定理。 定理 1 （代数基本定理）设 为具有复系数的 n 次代数方程，则
3、 于复数域上恰有 n 个根（r 重根计算 r 个）。如果 为实系数代数方程，则复数根成对出现，即当 是 的复根，则亦是 的根。定理2 （1）设 于 上连续：（2）且 ，则存在有 使 即 于 内存在实的零点。设有非线性，实系数方程问题是：需要求出方程的所有实根（或复根）。,6,求方程 式近似根，一般说有这样两个问题。 （1）根的分离。找出有根的区间（或平面区域），使得在一些较小的区间（平面区域）只有一个根（或一对共轭根），这样可获得方程各根的近似值。 最简单的方法就是绘出 图形，方程 的实根就是曲 线 与 轴交点的横坐标；也可采用搜索的方法来确定根的范围 ，即从某 出发，选取步长 ，如果有则于
4、内必有 的实根（由定理2知）。其中（2）近似根的精确化。用求方程根的数值方法，使求得的近似根精确化，直到具有足够的精度。 搜索方法框图（图5-1）： 在 内搜索方程 所有实根。取 ，步长为 ， 为一大数。 。,7,输入,8,注 当 于 连续时，输出区间 内一定有实根， 若 于 某点 分为两支曲线且 时 或 ， 当 时 或 时，输出的区间 内可能没 有实根，这种情况与 2 二分法结合使用即可知此区间有无实根。 代表判断 框。例 2 用搜索法确定下述方法在 实根范围。解 取 。输出：有根区间为（3.3，3. 4）且区间（3.6，3.7）内无实根 。,9,2 二 分 法设有非线性方程 其中， 为 上
5、连续函数且设 （不妨设方程（2.1）于 内仅有一个实根。求方程（2.1）实根 的二分法过程，就是将含根区间 逐步分半，检查函数符号的变化，以便确定含根的充分小区间。,图 5-2,（2.1）,10,二分法叙述如下；记 （图5-2） 第一步分半计算（k=1）:将 分半，计算中点 及 ，如果 则根一定在区间 内，否则根一定在区间 内 （若 ，则 ）。于是得到长度缩小一半的含根区间 ，即第k步分半计算：重复上述过程，设已完成第1步， ，第k-1步分半计算得到含根区间且满足；（1） 即 ；（2） ；现在进行第k步分半计算；（3）计算 且有,11,（2.2),（4）确定新的含根区间 ，即如果 ，则根一定在
6、 内，否则根一定在区间 且有总之，由上述二分法得到一序列 ，由（2.2），则有可用二分法求方程 实根 的近似值到任意指定的精度。事实上，设 为给定精度要求，试确定分半次数 k使由 两边取对数，即得,12,例3 用二分法求 于 内一个实根，且要求精度到小数后第3位（即要求 ）。显然 ， 。 解 由 ，由公式（2. 3）可确定所需分半次数 。计算结果如下表(表 5-1)。,（2.3）,13,表 5-1,14,二分法优点是简单，且对 只要求连续即可。可用二分法求出 于 内全部实根。但二分法不能求复数及偶数重根。二分法框图（图5-3）： 二分法： 设有方程 ，其中 于 连续，且满足条件（且设于 内只有
7、一个实根）。 （1）计算（2）如果 或 则输出（3）如果 则 否则其中 表示给定的最大分半次数，当 或 时分半终止， 为一大数。,15,输入,计算,输出 : “function approaching infinity for x=”;x,否,是,或,否,图5-3,输出 分半 次还没有到达精度要求信息,输出,stop,是,是,否,否,16, 3 迭 代 法迭代法是一种逐次逼近法。它是求解代数方法，超越方程及方程组的一种基本方法，但存在收敛性及收敛快慢问题。为了用迭代法求非线性方程 的近似值，首先需要将此方程转化为等价的方程 显然，将 转化为等价方程（3.1）的方法是很多的。 例4 方程 可用不
8、同方法转化为等价方程（a）（b）定义2 （迭代法）设方程为（1） 选取方程的一个初始近似 ，且按下述逐次代入法，构造一近似解序列；,（3.1）,17,(3.2),这种方法称为迭代法（或称为单点迭代法）。 称为迭代函数。（2） 如果由迭代法产生的序列 有极限存在，即 ，则称 为收敛或称迭代过程（3.2）收敛。否则称 不收敛。设 为连续函数，且有 ，则有 即 为方 程（3.1）的解（称 为函数的不动点）。事实上，由迭代过程（3.2）两边取极限，则有,18,显然在由方程 转化为等价的方程 时，选择不同的迭 代函数 就会产生不同的序列 （即使初始值 选择一样），且这些序列的收敛情况也不会相同。 例 5 对例4中方程，考查用迭代法求根（a）（b）,表 5-2,19,由计算看出，选取的两个迭代函数 分别构造序列 收敛情况不一样（初始值都为1.0)，在(a)种情况 收敛且 。在(b)种情况出现计算 无定义。因此，对于用迭代法求方程 近似根需要研究下述问题：（1）如何选取迭代函数 使迭代过程 收敛。（2）若 收敛较慢时，怎样加速 收敛。迭代法的几何意义：从几何上解释，求方程 根的问题，是求曲线 与 直线 交点的横坐标 。当迭代函数 的导数 在根 处满足下述几种条件时，从几何上来考查迭代过程 的收敛情况如图5-4。从曲线 上一点 出发，沿着平行于 x 轴方,
