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1、2.1 逻辑代数中的几个概念 2.2 逻辑代数的基本运算 2.3 逻辑代数的基本定理及规则 2.4 逻辑函数的性质 2.5 逻辑函数的化简,第二章 逻辑代数基础,第二章 逻辑代数基础,Fundamentals of Boolean Algebra,布尔代数 Boolean algebra： 用一种数学运算的代数系统描述人的逻辑思维规律和推理过程。 逻辑代数 Switching algebra： 将布尔代数的一些基本前提和定理应用于继电器的分析与描述，称为二值布尔代数，或开关代数。继电器是当时最常用的数字逻辑元件，继电器的接触状态（打开或闭合）用 0 或 1表示。,逻辑代数是二值逻辑运算中的基本
2、数学工具 逻辑代数广泛应用于数字系统的分析和设计,第二章 逻辑代数基础,Fundamentals of Boolean Algebra,逻辑代数是二值逻辑运算中的基本数学工具 逻辑代数广泛应用于数字系统的分析和设计,在现代逻辑分析技术中，逻辑值对应于各种广泛的物理条件：电压的高或低、灯光的明或暗、电容器的充电或放电、熔丝的断开或接通，等等。 下表给出了不同的计算机逻辑和存储技术中表示位值的物理状态。,不同的计算机逻辑和存储技术中表示位值的物理状态,2.1 逻辑代数中的几个概念,1. 逻辑状态 Logic State：当事物的某些特性表现为两种互不相容的状态，即某一时刻必出现且仅出现一种状态一种
3、状态是另一种状态的反状态则用符号0、1分别表示这两种状态，称逻辑状态。 即：0 状态 (0state) 和 1 状态 (1state)一般，0状态逻辑条件的假或无效，1状态逻辑条件的真或有效。(两种状态无大小之分),2. 逻辑变量 Logic Value ：,用于表示事物状态的逻辑状态随逻辑条件的变化而变化，取值“0” 或“1” 。,4. 逻辑电平 Logic Voltage： 在二值逻辑电路(开关电路)中，将物理器件的物理量离散为两种电平：高电平（用 H 表示）、低电平（用 L 表示） 抽象化的高、低电平忽略其物理量值的实际含义，实际上它们是代表着一定范围的物理量。参见下页。 在高、低电平之
4、间有一逻辑不确定区，称为“噪音区”。若电平稳定于噪音区称为逻辑模糊，这在逻辑电路中不允许。,3. 逻辑常量 Logic Constant ：逻辑状态保持不变，取值“0” 或“1”。,表21不同工艺器件定义的逻辑电平,图2-1 脉冲的逻辑电平表示,5. 逻辑约定 Logic Assumpsit：,规定 逻辑电平（表示物理器件的输入、输出物理量）与 逻辑状态（表示物理器件的逻辑功能）之间的 关系，即逻辑规定（约定）。 这一规定过程称为逻辑化过程。确定了逻辑规定（约定）后，各种物理量都转化为逻辑状态含义，因而可用逻辑变量表示，进而就可用各种数学或逻辑方法对电子电路进行分析和表达。一旦完成了逻辑化工作
5、，不再考虑逻辑电路输入输出端的实际电平值，而是假设电路直接按照逻辑信号的0和1进行操作。 逻辑约定有两种：正逻辑规定（约定）和 负逻辑规定（约定），如下：,正逻辑规定（约定）,负逻辑规定（约定）,逻辑电路Logic Circuit： 由实现逻辑变量之间逻辑关系的物理器件所构成的 电路称为逻辑电路，即二值逻辑电路。,6. 逻辑代数 Logic Algebra ：用代数形式表现逻辑变量之间的因果关系。用代数运算对这些逻辑变量进行逻辑推理。因此，逻辑代数是一个集合：逻辑变量集、常量0和1、“与”、“或”和“非”三种逻辑运算。运算顺序是：“非”最高，“与”次之，“或”最低。,7. 逻辑函数 Logic
6、 Function：,输入逻辑变量 A1，A2， , An；输出逻辑变量F； 记为：F = f (A1，A2， , An )，关系如下图所示：,F = f (A1, A2, , An) 输入变量（自变量）取值0、1； 输出变量（逻辑函数值）取值0、1.,8. 逻辑函数的表示法 Representation：主要有四种, 真值表（穷举法） Truth Table,真值表例,表达式例：F = A B, 逻辑表达式 Algebraic Forms of Switching Functions, 卡诺图 Karnaugh MAP （文氏图 Venn Diagrams）, 时间图 （信号波形图 ） Ti
7、ming,Venn图,2.2 逻辑代数的基本运算,A,B,F,A,B,F,2.3 逻辑代数的基本定理及规则,2.3.1 布尔代数的基本公理 Basic Postulates,公理是基本的假设，是客观存在，无需证明。可以用真值表验证等式成立，当然等式两边还具有相同的卡诺图，体现了表达式的多样性。运算的优先顺序：括号，非，与，或。,01 律 0 and 1 elements for and operators A + 0 = A A 1 = AA + 1 = 1 A 0 = 0,Commutativity of the and operations,交换律 A B = B A A B = B A,
8、结合律 A(BC) = (AB)C A ( B C ) = ( A B ) C,Distributivity of the and operations 分配律 AB C = (AB)( AC)“或”对“与”的分配A (BC) = A BA C “与”对“或”的分配,A B C,(A+B) (A+C),B C,A+BC,A+B,A+C,0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1,00010001,00011111,00111111,01011111,00011111,可以用同样的方法证明 A (B+C) = A B+ A C 成立。,由此证明
9、 A+BC = (A+B)(A+C) 成立。,例：证明 分配律 AB C = (AB)( AC) 成立。 用真值表证明，如下：,互补律 Complement A + A = 1 A A = 0,可以把互补律看作如下命题： 若 XA，YA，则有 X + Y = 1 X Y = 0,可以证明，其逆命题也成立： 若 X + Y = 1 X Y = 0 ，则有 XA，YA。,重叠律 Idempotency A + A = A A A = A,2.3.2 逻辑代数的基本定理 Fundamental Theorems,右边 = A + 1 B （01律）,例 ：证明 A + A B = A + B ，可以
10、用公理来证明。,吸收律 Absorption,A B + A B = A ( A + B )( A + B ) = A,= 左边 证明成立,反演律 DeMorgans Theorem (摩根定理),= 1 （01律）,= 0 B + 0 A (互补律),= 0 + 0 (01律),= 0 (基本运算),或运算结果的非，相当于各变量非的与运算。 与运算结果的非，相当于各变量非的或运算。 摩根定理证明了变量进行“与”和“或”运算时的互补效应。 摩根定理的作用：进行逻辑函数化简和逻辑变换。,N变量的摩根定理：,（此定理证明见代入规则。）,包含律 Consensus (也称多余项定理),= 右边 证明
11、成立,若对两个逻辑表达式，其逻辑变量的各种相同取 值组合对应的表达式值都相同，则称这两个逻辑表达 式相等。 f (A,B,C) = g (A,B,C),2.3.3 逻辑代数的基本规则 Basic Formulas,1. 逻辑相等：,A B C,g (A,B,C) = (A+B) (A+C),f (A,B,C) = A+B C,0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1,00011111,00011111,2. 代入规则：,又 逻辑函数 h 取值也是仅有 0 或 1,已知 f ( x1 , x2 , , xi , , xn ) = g ( x1
12、 , x2 , , xi , , xn ),有任意逻辑函数 h ，令： xi = h,则 f ( x1 , x2 , , h , , xn ) = g ( x1 , x2 , ,h , , xn ) 依然成立。,证明： xi 取值(只有) 0 或 1，使等式成立, 代入规则成立。,令 X = A2 + Y 代入,令 Y = A3 + Z 代入,依次类推，则推出 N 变量的摩根定理。,证明N变量的摩根定理：,用代入规则证明N变量的摩根定理，如下：,N变量的摩根定理：,3. 反演规则(香农定理) Shannons expansion theorem,摩根定理给出了求反函数（互补函数）的方法，但并未
13、能对互补函数之间的关系作出完善的说明。对此，香农定理作了推广。,A1 + A2 + + An = A1 A2 An,A1 A2 An = A1 + A2 + + An,摩根定理的应用：,这是反演律和代入规则的推广使用，是对互补函数的完善说明。,如应用反演律及代入规则解上例，可得：,反演规则(香农定理) Shannons expansion theorem,*注意运算的先后顺序保持不变，必要时要加括号以保证运 算顺序不变,反演律 (摩根定理),01 律 (a) A + 0 = A (b) A 1 = A(a) A + 1 = 1 (b) A 0 = 0,分配律 (a) AB C = (AB)( AC) (b) A (BC) = A BA C,4. 对偶规则 Dual expansion theorem,例如前述的各种所有公理和由其导出的定理，其对偶式都成立：,已知原函数 f ( x1 , x2 , , xn, 0 , 1, +, ),则对偶函数 f ( x1 , x2 , , xn , 0 , 1, +, ) = f ( x1 , x2 , , xn , 1 , 0, , + ) （“非”号不变）,对偶规则：1. （f ) = f,2. 若 f1 = f2 ，则 f1 = f2 ,3. 若 f = f ，则称 f 为自对偶函数。比如 f =A，f = A 等。,
