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1、E-mail:,数 学 建 模,第三章 矩阵代数,一、矩阵的建立,矩阵的创建可以通过以下几种形式创建：（1）以直接列出元素形式输入（2）通过语句和函数产生（3）从外部文件装入,1、直接输入矩阵, 矩阵每行的元素必须用逗号或空格分开； 在矩阵中，采用分号或者回车表明每一行的结束； 整个矩阵必须包含在方括号中,例1 A=1,2,3;4,4,4;5,4,6 B=1,2,34,5,67,8,9,注1 矩阵中的元素可以是数字或者表达式,但表达式中不可以包含未知的变量。,例2 A=-1,3+4*5,sqrt(2);B=A;2,3,4,2、由函数创建和修改矩阵,a= 产生一个空矩阵，当对一项操作无结果时，返
2、回空矩阵，空矩阵的大小为零.,zeros(m，n) 产生一个m行、n列的零矩阵,b=zeros(2,3),ones(m，n) 产生一个m行、n列的元素全为1的矩阵,c=ones(2,3),eye(m，n) 产生一个m行、n列的单位矩阵,e=eye(3,3),rand(m，n) 产生一个m行、n列在0，1上均匀分布的随机数矩阵。,rand(4,5),建立三角矩阵:t r i u ( A ) 生成一个和A大小相同的上三角矩阵。该矩阵的主对角线及以上元素取自A中相应元素，其余元素都为零。t r i l ( A ) 生成一个和A大小相同的下三角矩阵。该矩阵的主对角线及以下元素取自A中相应元素，其余元素
3、都为零。,diag(A),若A是矩阵，则 diag(A)为A的主对角线向量;若A是向量，diag(A)产生以A为主对角线的对角矩阵.,3. 矩阵的修改, 直接修改可用键找到所要修改的矩阵，用键移 动到要修改的矩阵元素上即可修改。 指令修改可以用A(,)= 来修改。,例如 a=1 2 0;3 0 5;7 8 9 a =1 2 03 0 57 8 9 a(3,3)=0 a =1 2 03 0 57 8 0,矩阵的旋转,fliplr(A) 左右旋转,flipud(A) 上下旋转,rot90(A) 逆时针旋转 90 度； rot90(A,k) 逆时针旋转 k90 度,3、矩阵中元素的操作,（1）矩阵A
4、的第r行：A（r，：）,a=1 2 3;4 5 6;7 8 9; a1=a(2,:),（2）矩阵A的第r列：A（：，r）,a2=a(:,2),（3）依次提取矩阵A的每一列，将A拉伸为一个列向量： A（：）,a3=a(:),（4）取矩阵A的第i1i2行、第j1j2列构成新矩阵:A(i1:i2, j1:j2),a4=a(1:2,2:3),（5）删除A的第i1i2行，构成新矩阵:A(i1:i2，：)= ,a(1:2,:)= ,（6）删除A的第j1j2列，构成新矩阵:A(：， j1:j2)= ,a(:,1)= ,3、矩阵的运算,1、矩阵的加减运算：矩阵加减法：A+B，AB,注：矩阵与标量可相加减,例如
5、：A=1,2,3;2,4,3;3,3,1;k=6;A-k,2、矩阵的乘法运算：矩阵乘法：A*B,3、矩阵的除法运算：,（1）方阵的求逆指令：Binv（A）,（2）方阵的行列式的值:det(A),（3）特征值和特征向量：,V，D=eigA：产生一个对角元是特征值的对角阵D和一个行向量是特征值对应特征向量的满次矩阵，满足XV=VD,（4）rank(A)： 矩阵的秩,（5）null(A)： AX=0的基础解系,（6）orth(A)： 求A的列向量空间的正交规范基,矩阵的除法(左除和右除),左除“ ”：求矩阵方程AX=B的解；（ A 、B的行要保持一致）解为 X=AB；,(1)当A为方阵且可逆时有X=
6、AB=inv(A)*B；,(2)当A不为方阵，AX=B存在唯一解：X=AB；,(3)当A不为方阵，AX=B存在无穷多解，AB将给出一个具有最多零元素的特解；,(4)当A不为方阵，AX=B无解，AB将给出近似解；,例1 求矩阵方程： 设A、B满足关系式：AB2B+A,求B。 其中A=3 0 1; 1 1 0; 0 1 4。 解 有(A-2E)BA程序 ： A=3 0 1; 1 1 0;0 1 4; B=inv(A-2*eye(3)*A B=(A-2*eye(3)A,A=1 2 1;3 -2 1;B=1;4;X=AB,A=1 2;-2 -4;0 0; B=1;-2;0; X=AB,右除“ / ”：
7、 求矩阵方程XA=B的解 （A 、B的列要保持一致）解为 X=B/A ，当A为方阵且可逆时有X=B/A=B*inv(A),线性方程组的通解（无穷解）,方法一：利用rref画为最简形。 方法二：（1）利用除法求出一个特解。（2）利用null求出对应的齐次方程组的基础解系。,a=1 1 1 1 1;2 3 1 1 -3;1 0 2 2 6;4 5 3 3 -1;b=2;0;6;4; rank(a),rank(a,b); rref(a,b),a=1 1 1 1 1;2 3 1 1 -3;1 0 2 2 6;4 5 3 3 -1;b=2;0;6;4;x0=ab,x=null(a),数据的简单分析,1.当数据为矩阵时，命令对列进行计算，即把每一列数据当成同一变量的不同观察值。 常用的命令：max(求最大)、min(求最小)、mean(求平均值)、sum(求和)、std(求标准差)、cumsum(求累积和)、median(求中值)、sort(升序排列)、sortrows(行升序排列)等等。,例4 观察：生成一个36的随机数矩阵，并将其各列排序、求各列的最大值与各列元素之和。 解：程序 A=rand(3,6) Asort=sort(A) Amax=max(A) Asum=sum(A)观察结果,
