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1、第第 5 5 讲讲 空间直角坐标系空间直角坐标系知识梳理知识梳理1.右手直角坐标系右手直角坐标系的建立规则：轴、轴、轴互相垂直，分别指向右手的拇指、食指、xyz中指；已知点的坐标作点的方法与步骤（路径法）：),(zyxP沿轴正方向（时）或负方向（时）移动个单位，再沿轴正方向x0x0x| xy（时）或负方向（时）移动个单位，最后沿轴正方向（时）或负方0y0y| yx0z向（时）移动个单位，即可作出点0z| z已知点的位置求坐标的方法：过作三个平面分别与轴、轴、轴垂直于，点在轴、轴、轴的PxyzCBA,CBA,xyz坐标分别是，则就是点的坐标cba,),(cbaP2、在轴上的点分别可以表示为，x)
2、, 0 , 0(),0 , 0(),0 , 0 ,(cba在坐标平面，内的点分别可以表示为;xOyxOzyOz), 0(), 0 ,(),0 ,(cbcaba3、点关于轴的对称点的坐标为),(cbaPx),(cba点关于轴的对称点的坐标为；),(cbaPy),(cba点关于轴的对称点的坐标为；),(cbaPz),(cba 点关于坐标平面的对称点为；),(cbaPxOy),(cba点关于坐标平面的对称点为；),(cbaPxOz),(cba 点关于坐标平面的对称点为；),(cbaPyOz),(cba点关于原点的对称点。),(cbaP),(cba4. 已知空间两点，则线段的中点坐标为),(),(22
3、2111zyxQzyxPPQ)2,2,2(212121zzyyxx5空间两点间的距离公式已知空间两点，),(),(222111zyxQzyxP则两点的距离为 ，2 212 212 21)()()(|zzyyxxPQ特殊地,点到原点的距离为;),(zyxAO222|zyxAO5 5以为球心,为半径的球面方程为),(000zyxCr22 02 02 0)()()(rzzyyxx特殊地,以原点为球心,为半径的球面方程为r2222rzyx重难点突破重难点突破 重点:了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系表示点的位置，会推导和使用空间两点间 的距离公式 难点:借助空间想象和通过与平面直角坐标系的类比，认
4、识空间点的对称及坐标间的关系 重难点: 在空间直角坐标系中，点的位置关系及空间两点间的距离公式的使用 1借助空间几何模型进行想象，理解空间点的位置关系及坐标关系问题 1：点到轴的距离为 ),(cbaPy解析借助长方体来思考，以点为长方体对角线的两个顶点，点到轴的距PO,),(cbaPy离为长方体一条面对角线的长度，其值为22ca 2将平面直角坐标系类比到空间直角坐标系问题 2：对于任意实数，求的最小值, ,x y z222222(1)(2)(1)xyzxyzR解析在空间直角坐标系中，表示空间点222222(1)(2)(1)xyzxyz到点的距离与到点的距离之和，它的最小值就是点与点( , ,
5、)x y z(0,0,0)( 1,2,1)(0,0,0)之间的线段长，所以的最小值为( 1,2,1)222222(1)(2)(1)xyzxyz。63利用空间两点间的距离公式，可以解决的几类问题 (1)判断两条相交直线是否垂直 (2)判断空间三点是否共线 (3)得到一些简单的空间轨迹方程热点考点题型探析热点考点题型探析 考点考点 1:1: 空间直角坐标系空间直角坐标系 题型 1: 认识空间直角坐标系例 1 （1）在空间直角坐标系中，表示 （ ） yaA轴上的点 B过轴的平面 yyC垂直于轴的平面 D平行于轴的直线yy（2）在空间直角坐标系中，方程表示xy A在坐标平面中，1，3 象限的平分线 B
6、平行于轴的一条直线 xOyzC经过轴的一个平面 D平行于轴的一个平面zz【解题思路】认识空间直角坐标系,可以类比平面直角坐标系,如在平面直角坐标系坐标系中, 方程表示所有横坐标为 1 的点的集合1x解析（1）表示所有在轴上的投影是点的点的集合，所以表示经过yay)0 , 0(aya点且垂直于轴的平面 )0 , 0(ay（2）方程表示在任何一个垂直于轴的一个平面内，1，3 象限的平分线组成的集合xy z【名师指引】(1)类比平面直角坐标系,可以帮助我们认识空间直角坐标系(2)要从满足某些特殊条件的点的坐标特征去思考问题。如：经过点且垂直于轴的平面上的点都可表示为)0 , 0 ,(ax),(zya
7、题型 2: 空间中点坐标公式与点的对称问题例 2 点关于轴的对称点为，点关于平面的对称点为，则的坐),(cbaPz1P1PxOy2P2P标为 【解题思路】类比平面直角坐标系中的对称关系，得到空间直角坐标系中的对称关系解析因点和关于轴对称, 所以点和的竖坐标相同,且在平面的射影关于原P1PzP1PxOy点对称,故点的坐标为,1P),(cba 又因点和关于平面对称, 所以点坐标为 1P2PxOy2P),(cba【名师指引】解决空间点的对称问题,一要借助空间想象,二要从它们在坐标平面的射影找关系,如借助空间想象,在例 2 中可以直接得出点为点关于原点的对称点,故坐标为2P),(cbaP),(cba【
8、新题导练】1已知正四棱柱的顶点坐标分别为，1111ABCDA B C D(0,0,0), (2,0,0),(0,2,0)ABD，则的坐标为 。1(0,0,5)A1C解析正四棱柱过点 A 的三条棱恰好是坐标轴，1111ABCDA B C Dgkpdx的坐标为（2，2，5）1C2平行四边形的两个顶点的的坐标为，对角线的交点为ABCD) 3, 2 , 3(),3 , 1 , 1(BA，则顶点 C 的坐标为 , 顶点 D 的坐标为 )4 , 0 , 1 (M解析由已知得线段的中点为,线段的中点也是,由中点坐标公式易得ACMBDM，)5 , 1, 3( C)11, 2, 1(D3已知，记到轴的距离为，到
9、轴的距离为，到轴的距离为(4,3, 1)MMxaMybMz，则（ ）cA B C Dabccbacabbca解析借助长方体来思考, 、分别是三条面对角线的长度。abc，选 C5,17,10cba考点考点 2 2：空间两点间的距离公式：空间两点间的距离公式 题型：利用空间两点间的距离公式解决有关问题题型：利用空间两点间的距离公式解决有关问题例 3 如图：已知点，对于轴正半轴上任意一点，在轴上是否存在一点(1,1,0)AOzPOy，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。BPAABB【解题思路】转化为距离问题，即证明222PBABPA解析设 ，), 0 , 0(cP)0 , 0(bB
10、对于轴正半轴上任意一点，假设在轴上存在一点，OzPOyB使得恒成立，PAAB则222PBABPA222222222)0()0()00()00()1 ()01()0() 10() 10(cbbc即，解得：22) 1(3bb2b所以存在这样的点，当点为时，恒成立BB(0,2,0)PAAB【名师指引】在空间直角坐标系中，利用距离可以证明垂直问题。此外，用距离还可以解决 空间三点共线问题和求简单的点的轨迹。 【新题导练】4已知，当两点间距离取得最小值时，的值为 ( ,5,21), (1,2,2)A xxxBxx,A Bx（ ） A19 B C D8 78 719 14XAYBOZP解析75)78(14
11、191214)33()23() 1(|22222xxxxxxAB当时，取得最小值x8 7| AB5 （2011 年湛江模拟一）已知球面，与点，则222(1)(2)(3)9xyz( 3,2,5)A 球面上的点与点距离的最大值与最小值分别是 。A解析球心，球面上的点与点距离的最大值与最小值分别是 9 和 36),3 , 2, 1 (ACCA6已知三点，是否存在实数，使 A、B、C 共线？若存在，( 1,1,2), (1,2, 1),( ,0,3)ABC aa求出的值；若不存在，说明理由。a解析 ，222( 1 1)(12)(21)14AB ，2222( 1)(10)(23)(1)2ACaa ，2222(1)(20)( 13)(1)20BCaa 因为，所以，若三点共线，有或，BCAB, ,A B CBCACABACBCAB若，整理得：，此方程无解；BCACAB2518190aa若，整理得：，此方程也无解。ACBCAB2518190aa所以不存在实数，使 A、B、C 共线。a
