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1、第第 4 4 讲讲 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系知识梳理知识梳理1.判断直线与圆的位置关系有两种方法：几何法：通过圆心到直线的距离与半径的大小比较来判断，设圆心到直线的距离为，圆d半径为，若直线与圆相离，则；若直线与圆相切，则；若直线与圆相交，则rrd rd 代数法：通过直线与圆的方程联立的方程组的解的个数来判断，即通过判别式来判rd 断，若，则直线与圆相离；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相交0002.两圆的的位置关系(1)设两圆半径分别为，圆心距为 d12,r r若两圆相外离，则 ，公切线条数为 4rRd若两圆相外切,则，公切线条数为 3rRd若两圆相交，则，公切线条数为 2rR
2、drR 若两圆内切，则，公切线条数为 1rRd若两圆内含，则，公切线条数为 0rRdOsJ(2) 设两圆，若两圆0:11122 1FyExDyxC0:22222 2FyExDyxC相交，则两圆的公共弦所在的直线方程是0)()()(212121FFyEExDD3. 相切问题的解法：利用圆心到切线的距离等于半径列方程求解利用圆心、切点连线的斜率与切线的斜率的乘积为-1利用直线与圆的方程联立的方程组的解只有一个，即来求解。0特殊地,已知切点,圆的切线方程为,),(00yxP222ryx2 00ryyxx圆的切线方程为222)()(rbyax2 00)()(rbybyaxax4.圆系方程以点为圆心的圆
3、系方程为),(00yxC)0()()(22 02 0rryyxx过圆和直线的交点的圆系方程为0:22FEyDxyxC0:cbyaxlFEyDxyx220)(cbyax过两圆，的交点的圆0:11122 1FyExDyxC0:22222 2FyExDyxC系方程为（不表示圆）11122FyExDyx0)(22222FyExDyx2C重难点突破重难点突破重点重点: :根据给定的方程判定直线与圆、圆与圆的位置关系；利用直线和圆、圆与圆的位置关系的充要条件解决一些简单的问题； 难点难点:借助数形结合,利用圆的几何性质,将题目所给条件转化为圆心到直线的距离、两圆的 连心线或半径的和与差 重难点重难点:将方
4、程的理论与圆的几何性质相结合,并加以运用 1、把握直线与圆的位置关系的三种常见题型： 相切求切线 相交求距离 相离求圆上动点到直线距离的最大（小）值；问题 1：直线与圆相切，则实数等于 30xym22220xyxm【解析】圆心为，半径为，或)0 , 1 (3332|3|mm332、解决直线与圆的位置关系问题用到的思想方法有： 数形结合，善于观察图形，充分运用平面几何知识，寻找解题途径 等价转化，如把切线长的最值问题转化为圆外的点到圆心的距离问题，把公切线的条数问 题转化为两圆的位置关系问题，把弦长问题转化为弦心距问题等 待定系数法，还要合理运用“设而不求” ，简化运算过程 3、圆与圆的位置关系
5、转化为圆心距与两圆半径之和或半径之差的关系 公共弦满足的条件是：连心线垂直平分公共弦热点考点题型探析热点考点题型探析考点考点 1 1 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 题型题型 1:1: 判断直线与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系例 1 （2011 北京海淀一模）设m0，则直线（x+y）+1+m=0 与圆x2+y2=m的位置关系2为 A.相切 B.相交 C.相切或相离 D.相交或相切解析圆心到直线的距离为d=，圆半径为.21mmdr=（m2+1）=（1）20，21mm21m21m直线与圆的位置关系是相切或相离.所以选 C 【名师指引】判断直线与圆的位置关系的两种方法(代数法、几何法)中，
6、几何法更简便 题型题型 2:2:求解求解圆的切线、弦长问题圆的切线、弦长问题例 2 已知圆,是轴上的动点,、分别切圆于两1)2(:22 yxMQxQAQBMBA, 点(1)若点的坐标为（1，0） ，求切线、的方程QQAQB(2)求四边形的面积的最小值QAMB(3)若，求直线的方程324ABMQ【解题思路解题思路】(2)用一个变量表示四边形的面积(3)从图形中观察点满足的条件QAMBQ解析：（1）设过点的圆的切线方程为，则圆心到切线的距离为 1，QM1 myxM或 0，切线、的方程分别为和341 1| 12|2 m mmQAQB0343yx1x（2），AQMA 3112222MOMQMAMQQA
7、QAMASMAQB（3）设与交于点，则ABMQPMQMBABMP,，在中，31)322(12MPMBQRtMQMPMB2即MQ3113MQ设，则)0 ,(xQ)0 ,5(,5, 9222Qxx直线的方程为或MQ05252yx05252yx【名师指引名师指引】转化是本题的关键，如：第 2 问把切线长转化为圆外一点到圆心的距离；第 3问把弦长转化为圆心到弦所在直线的距离，再利用射影定理转化为圆外一点到圆心的距离。Q弦长、切线长问题经常要这种转化 例 3 已知圆C：（x1）2（y2）225，直线l：（2m+1）x+（m+1）y7m4 （mR R）. （1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点
8、； （2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.解析（1）解法 1：l的方程（x+y4）+m（2x+y7）=0.2x+y7=0， x=3， x+y4=0， y=1， 即l恒过定点A（3，1）.圆心C（1，2） ，AC5（半径） ，5点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.解法 2：圆心到直线 的距离，l 265| 13|2 mmmd0265)34(522 2mmmd，所以直线l恒与圆C相交于两点rd55mR，得（2）弦长最小时，lAC，由kAC，21l的方程为 2xy5=0. 【名师指引】明确几点： （1）动直线斜率不定，可能经过某定点 （2）直线与圆恒有公共点直线经过的定点在圆内，此结论
9、可推广到圆锥曲线 （3）过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦 题型题型 3:3: 圆上的点到直线的距离问题圆上的点到直线的距离问题 例 4 已知圆和直线，222)5()3( :ryxC0234: yxl（1）若圆上有且只有 4 个点到直线l的的距离等于 1，求半径的取值范围；Cr（2）若圆上有且只有 3 个点到直线l的的距离等于 1，求半径的取值范围；Cr（3）若圆上有且只有 2 个点到直线l的的距离等于 1，求半径的取值范围；Cr【解题思路】解法 1 采用转化为直线与圆的交点个数来解决；解法 2 从劣弧的点到直线l的 最大距离作为观察点入手解法 1：与直线平行且距离为 1 的
10、直线为和0234: yxl0334:1 yxl，圆心到直线的的距离为,圆心到直线的的距离为,0734:2 yxlC1l61dC2l42d（1）圆上有且只有 4 个点到直线l的的距离等于 1C664rrr且（2）圆上有且只有 3 个点到直线l的的距离等于 1C664rrr且（3）圆上有且只有 2 个点到直线l的的距离等于 1C6464rrr且解法 2：设圆心到直线l的距离为，则Cd5d（1）圆上有且只有 4 个点到直线l的的距离等于 1，C61rdr（2）圆上有且只有 3 个点到直线l的的距离等于 1，C61rdr（3）圆上有且只有 2 个点到直线l的的距离等于 1C6411rdr【名师指引】将
11、圆上到直线l的距离等于 1 的点的个数转化为两条直线与圆的交点个数,是 一种简明的处理方法，对解决这类问题特别有效 【新题导练】 1. (山东省威海市 2010 年普通高中毕业年级教学质量检测)在下列直线中，是圆的切线的是（ ）0323222yxyxAx=0By=0Cx=yDx=y解析 B. 圆心为，半径为 1，切线为 y=0) 1 , 3(2. (10 山东省临沂市期中考)的),2(01sin12222Zkkyxyx与直线位置关系是（ ） A相离 B相切 C相交 D不能确定解析 A. 圆心到直线的距离为,直线与圆相离rd 221sin123. 已知直线与圆，则上各点到 的距离的最大值:40l
12、 xy22:112CxyCl与最小值之差为_解析: 距离的最大值与最小值之差为22r24、(山东省德州市 2011 届高中三年级教学质量检测)已知向量若与的夹角为，则直m(2cos,2sin),n(3cos,3sin),mn60线与圆的位置关系是 D021sincosyx221(cos)(sin)2xyA相交但不过圆心 B相交过圆心 C相切 D相离解析 D. ，21)cos(60cos|0nmnm圆心到直线的距离为)sin,(cos021sincosyx，故直线与圆相离rd221|21)cos(|5. (广东省普宁市华侨中学 2011 届高三第三次练兵考试)直线被圆截得的弦长为_。122()1
13、12xt t yt 为参数224xy【解析】. 14直线为，圆心到直线的距离，弦长的一半为10xy 12 22d ，得弦长为222142()22146.(2010 届广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校联考)若函数的图像在处的切线l与圆相离，则点与圆的位1( )axf xeb 0x 22:1C xy( , )P a b置关系是 （ ） A在圆外 B在圆内 C在圆上 D不能确定解析 B. ，切线l的方程为axebaxf)( baf)0( bxbay1即，圆心到切线l的距离为，点在圆01byax1112222 ba bad( , )P a b内 7.已知圆 M：（xcos）2（ysin）
14、21，直线l：ykx， 下面四个命题： 对任意实数 k 与，直线l和圆 M 相切； 对任意实数 k 与，直线l和圆 M 有公共点； 对任意实数，必存在实数 k，使得直线l与和圆 M 相切 对任意实数 k，必存在实数，使得直线 l 与和圆 M 相切 其中真命题的代号是_（写出所有真命题的代号） 解析 圆心坐标为（cos，sin）d 222|kcossin |1k |sin|1k1k（） |sin|1（）8. 已知M（x0，y0）是圆x2+y2=r2（r0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=r2与此圆有何 种位置关系?解析:圆心O（0，0）到直线x0x+y0y=r2的距离为d=. 2 02 02yxrP（x0，y0）在圆内，r，故直线和圆相离.9. 已知圆和点,若点在圆上且的面积为36)5()3(22yx)2, 1()2 , 2(BACABC,则满足条件的点的个数是25CA.1 B.2 C.3
