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1、第第 3 3 讲讲 圆的方程圆的方程知识梳理知识梳理1. 圆的标准方程与一般方程圆的标准方程为，其中圆心为,半径为 r；222)()(rbyax),(ba圆的一般方程为，圆心坐标，半径为220xyDxEyF(,)22DE。方程表示圆的充要条件是2422FED2240DEF2.以为直径端点的圆方程为),(),(2211yxByxA、0)()(2121yyyyxxxx3. 若圆与轴相切，则;若圆与轴222)()(rbyaxxrb |222)()(rbyaxy相切，则ra |4. 若圆关于轴对称，则； 220xyDxEyFx0E若圆关于轴对称，则；220xyDxEyFy0D若圆关于轴对称，则； 22
2、0xyDxEyFxy ED 5、点与圆的位置关系：),(00yxM022FEyDxyx在圆内M0002 02 0FEyDxyx在圆上 M0002 02 0FEyDxyx在圆外M0002 02 0FEyDxyx重难点突破重难点突破 重点重点: : 掌握确定圆的几何要素, 掌握圆的标准方程和圆的一般方程, 难点难点: :根据已知条件,求圆的方程重难点重难点: :围绕圆的几何性质进行合理转化,运用方程思想列出关于参数：(或rba、 )得到方程组,进而求出圆的方程FED、 1.充分利用圆的几何性质解题 圆上的动点到已知直线（或点）的距离的最大值和最小值，转化为圆心到已知直线（或点） 的距离来处理问题
3、1：已知圆和点，点 P 在圆上，求面积1)3()4( :22yxC)0 , 1 (),0 , 1(BA PAB的最小值点拔:圆心(4,3)到直线的距离为,P 到直线的距离的最小值为01: yxAB2AB，求面积的最小值为12 PAB222) 12(2212.运用转化的思想处理圆的对称问题问题 2:圆关于直线对称，则 222)()(rbyax0722yxba点拨：圆关于直线 对称的实质是圆心在直线 上，因此可将圆心坐标代入直线方程解ClCl 决解析：270722baba问题 3:圆关于直线的对称圆的方程为 122 yx01 yx点拨：两圆和关于直线 对称，可以转化为点对称问题（即圆心和关于直线
4、对称CClCCl且半径相等） ，也可以用相关点法来处理，后一种方法更有推广价值解析：方法 1：原点关于直线的对称点为（1，1） ，所以圆关于直线01 yx122 yx的对称圆的方程为01 yx1) 1() 1(22yx方法 2：设是圆上一动点，它关于直线的对称点为) , ( yxP122 yx01 yx，),(yxP则 1) 1(012 2xxyyyyxx xyyx 11在圆， ) , ( yxP122 yx1)1 ()1 (22yx圆关于直线的对称圆的方程为122 yx01 yx1) 1() 1(22yx热点考点题型探析热点考点题型探析考点考点 1 1 圆的方程圆的方程 题型题型 1:1:
5、对圆的方程的认识对圆的方程的认识例 1 设方程 x2+y22(m+3)x+2(14m2)y+16m4+9=0。 （1）当且仅当 m 在什么范围内，该方程表示一个圆。 （2）当 m 在以上范围内变化时，求半径最大的圆的方程。 （3）求圆心的轨迹方程解析（1）由得：，2240DEF22244(3)4(1 4)4(169)0mmm化简得：，解得：。27610mm 117m所以当时，该方程表示一个圆。117m（2）r=,当 时，224 2DEF2761mm3 7m max4 7 7r（3）设圆心，则，消去得),(yxC 1432mymxm1)3(42xy117m4720x所求的轨迹方程为) 1(41)
6、3(2yx)4720( x【名师指引名师指引】 （1 1）已知圆的一般方程,要能熟练求出圆心坐标、半径及掌握方程表示圆的条 件；（2）第 3 问求圆心的轨迹方程，使用了参数法，即把 x,y 都表示成 m 的函数，消去参 数可得到方程，用此法要注意变量 x,y 的范围题型题型 2:2: 求圆的方程求圆的方程例 2（1）求经过点 A(5,2),B(3,2),圆心在直线 2x-y-3=0 上的圆的方程；（2）求以 O(0,0),A(2,0),B(0,4)为顶点的三角形 OAB 外接圆的方程。 【解题思路解题思路】根据条件，列方程组求参数解析（1）设圆心,则有),(baC 2222)2()3()2()
7、5(032bababa 54 ba，所求圆的方程为10r半径10)5()4(22yx（2）采用一般式，设圆的方程为，将三个已知点的坐标代入220xyDxEyF得，解得： 01440420FEFDF042FED故所求圆的方程为04222yxyx【名师指引】(1)求圆的方程必须满足三个独立条件方可求解，选择方程的形式，合理列出 方程组是关键，(2)当条件与圆心、半径有关时常选择标准方程，当条件是圆经过三个点时， 常选用一般方程 【新题导练】1.若，方程表示的圆的个数为（ ）.43, 1 , 0 , 2a0122222aaayaxyxA、0 个 B、1 个 C、2 个 D、3 个解析:B得，满足条件
8、的只有一个，方程0) 12(4)2(222aaaa322aa表示的圆的个数为 1.0122222aaayaxyx2. ( 广州六中 2010-2011 学年度高三期中考试) 若圆的圆心到直线04222yxyx的距离为,则 a 的值为（ ）0ayx22A-2 或 2BC2 或 0D-2 或 023 21或解析: C 圆的圆心为（1，2） ，或 204222yxyx022 2| 1|aa3.与两坐标轴都相切，且过点（2，1）的圆的方程为 解析 或1) 1() 1(22yx25)5()5(22yx4. .动点 P 到点 A(8,0)的距离是到点 B(2,0)的距离的 2 倍，那么点的轨迹方程为（ ）
9、A. B. C. D. 3222 yx1622 yx16) 1(22yx16) 1(22 yx解析B设，则，化简得),(yxP)2(422yx22)8(yx1622 yx考点考点 2 2 圆的几何性质圆的几何性质 题型 1：运用圆的几何性质解题例 3 一圆与y轴相切，圆心在直线x3y=0 上，且直线y=x截圆所得弦长为 2，求此7圆的方程. 【解题思路】因题目条件与圆心、半径关系密切，选择圆的标准方程，与弦长有关的问题， 一般要利用弦心距、半径、半弦长构成的“特征三角形”解析：因圆与y轴相切，且圆心在直线x3y=0 上，故设圆方程为 （x3b）2+（yb）2=9b2.又因为直线y=x截圆得弦长
10、为 2，7则有（）2+（）2=9b2， 2|3|bb 7解得b=1.故所求圆方程为 （x3）2+（y1）2=9 或（x+3）2+（y+1）2=9. 【名师指引】在求圆的方程时，应当注意以下几点： （1）确定用圆的标准方程还是一般方程； （2）运用圆的几何性质（如本例的相切、弦长等）建立方程求得a、b、r或D、E、F； （3）在待定系数法的应用上，列式要尽量减少未知量的个数. 例 4 已知O的半径为 3，直线l与O相切，一动圆与l相切，并与O相交的公共弦 恰为O的直径，求动圆圆心的轨迹方程. 【解题思路】问题中的几何性质十分突出，如何利用切线、直径、垂直、圆心这些几何性质是关键，动圆圆心满足的条
11、件是关注的焦点解析取过O点且与l平行的直线为x轴，过O点且垂直于l的直线为y轴，建立直角坐 标EZ系. 设动圆圆心为M（x，y） ， O与M的公共弦为AB，M与l切于点C，则|MA|=|MC|.ABCMO xylAB为O的直径，HaqkMO垂直平分AB于O. 由勾股定理得|MA|2=|MO|2+|AO|2=x2+y2+9，而|MC|=|y+3|，=|y+3|.922 yx化简得x2=6y，这就是动圆圆心的轨迹方程. 【名师指引】求轨迹的步骤是“建系，设点，列式，化简” ，建系的原则是特殊化（把图形 放在最特殊的位置上） ，这类问题一般需要通过对图形的观察、分析、转化，找出一个关于 动点的等量关
12、系。 【新题导练】5.已知圆的方程为.是该圆过点（3，5）的 11 条弦的长，08622yxyx1121,aaa若数列是等差数列,则 数列的公差的最大值为 1121,aaa1121,aaa解析 106410圆心坐标为（3，4） ，半径为 5，圆的弦长的最小值和最大值分别是和 10，C64数列的公差的最大值为1121,aaa106410考点考点: : 与圆有关的最值与圆有关的最值 题型：求与圆有关的最值题型：求与圆有关的最值例 4 已知圆，求（1）的最大值（2）的最大值与最小值（3）1)2(22yx22yx xy的最小值yx2【解题思路】根据所求式子的几何意义求解或转化为函数的最值解析（1）表示
13、圆上的点到原点的距离的平方22yx ),(yxP因圆心到点的距离为 2，的最大值为 3，从而的最大值为 9),(yxP| PO22yx 方法 2：设，则sin,cos2yx9cos45sin)cos2(2222yx（2）表示圆上的点与原点连线的斜率，所以的最大值与最小值是直线与圆xy),(yxPxyPO相切时的斜率，设直线的方程为，POkxy 由得，的最大值与最小值分别为和1 1|2|2 kk 33kxy33 33（3）设，sin,cos2yx则52)cos(52sin2cos22yx解法 2：设，则，tyx 2tyx 2代入圆的方程并化简得：034)2(4522ttyty，解得：0)34(20)2(1622ttt5252t【名师指引】 （1）与圆有关的最值的求法有：几何法、函数法、判别式法 （2）用几何法时，要见“数”想“形” ，即所求式子的几何意义 （3）用函数法时，常用三角换元 【新题导练】6已知满足,则的最小值为 yx,122 yx12 xy解析 43表示圆上的点与点连线的斜率，所以的最小值是直线与圆相12 xy),(yxP)2 , 1 (Q12 xyPQ切时的斜率，设直线的方程为，即PO) 1(2xky02kykx由得，的最大值与最小值分别为 1 1|2|2 kk 43k12 xy 43
