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1、第四章第四章 解三角形解三角形第第 1 1 讲讲 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理 知 识 梳理 内角和定理：在ABC 中，ABC；sin()ABsinC；cos()ABcosCcos2ABsin2C面积公式:1sin2ABCSabC1sin2bcA=1sin2caB3正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.形式一：RCc Bb Aa2sinsinsin(解三角形的重要工具)形式二：CRcBRbARasin2sin2sin2(边角转化的重要工具)4.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦 的积的两倍形式一：2222cosabcbcA
2、2222cosbcacaB(解三角形的重要工具)2222coscababC形式二：cos A bcacb 2222； cosB cabac 2222； cosC=abcba 2222 重 难 点 突 破 1.重点：熟练掌握正弦定理、余弦定理和面积公式，利用内角和定理实现三内角之间的转换， 解题时应注意四大定理的正用、逆用和变形用 2.难点：根据已知条件,确定边角转换. 3.重难点：通过正弦定理和余弦定理将已知条件中的角化为边或边化为角后,再实施三角变换 的转化过程以及解三角形中的分类讨论问题. (1) 已知两边和其中一对角,.求另一边的对角时要注意分类讨论问题 1: 在ABC中，A、B 的对边
3、分别是ab、，且A=30 2 2 4, a, b，那么满足条件的ABC（ ）A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定 点拨：在解三角形中涉及到对边对角问题一般用正弦定理，由正弦值定角的原则是大边对大角。由sinsinab AB 得sin4sin302sin22 2bABa ，又,baBA故有两解答案 B. 在解三角形时要注意充分利用平面几何的性质 问题 2: 已知圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形 ABCD 的面积 点拨 :如图连结 BD，则有四边形 ABCD 的面积头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/ 头
4、 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头头 头 S=SABD+SCDB=21ABADsinA+21BCCDsinCA+C=180，sinA=sinC故 S=21(ABAD+BCCD)sinA=21(24+64)sinA=16sinA由余弦定理，在ABD 中，BD2=AB2+AD22ABADcosA=2016cosA 在CDB 中，BD2=CB2+CD22CBCDcosC=5248cosC2016cosA=5248cosC，cosC=cosA，64cosA=32，cosA=21，又 0A180，A=120故 S=16sin120=83头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头ht
5、tp:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 热 点 考 点 题 型 探 析考点 1: 运用正、余弦定理求角或边 题型 1.求三角形中的某些元素例 1 (2010 年广州市海珠区高三上期综练二)已知：A、B、C 是ABC的内角，cba,分别是其对边长，向量1cos, 3Am， 1 ,2cosAn，nm .（）求角 A 的大小；（）若,33cos, 2Ba 求b的长.【解题思路】已知对边求对角，直接用正弦定理。解析:() 1cos, 3Am=1cos, 3A1 分BADOC 1 ,2cosAn=1 ,sin A2 分nm 01cossin3AA4 分21 6sin A 6 分,66
6、,65 66,0AAA 7 分3 A .8 分()在ABC中，3A ，2a，33cosB36 311cos1sin2BB 9 分由正弦定理知：,sinsinBb Aa 10 分ABabsinsin =32423362 .b32412 分【名师指引】已知两边和其中一边的对角（如 a、b、A） ，应用正弦定理求 B，由 A+B+C = 求 C，要注意解可能有多种情况【新题导练】 1.在ABC 中，a1，b，B60，求 c.7解析：由余弦定理得 ()212c22ccos60，7c2c60， 解得 c13，c22(舍去).c3.2若在ABC 中，060 ,1,3,ABCAbS求ABC 外接圆的半径 R
7、. 解析: 2113sin3,4,13,13222ABCSbcAccaa132 39392,sin333 2aRRA题型 2 判断三角形形状 例 3在ABC 中，bcosAacosB，试判断三角形的形状. 【解题思路】判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形：（1）一个方向是边，走代 数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；（2）另一个方向是角，走三角变形之路.通常 是运用正弦定理 解析：方法 1：利用余弦定理将角化为边.bcosAacosB 22222222bcaacbbabcac222222bcaacb22abab故此三角形是等腰三角形. 方法 2：利用正弦定理将边转化为角.bcosAa
8、cosB 又 b2RsinB，a2RsinA 2RsinBcosA2RsinAcosB sinAcosBcosAsinB0 sin（AB）0 0A，B，AB AB0，即 AB 故三角形是等腰三角形. 【名师指引】判断三角形形状时一般从角入手，利用三角形内角和定理，实施关于三角形内 角的一些变形公式. 【新题导练】 3.在ABC 中，若 2cosBsinAsinC，则ABC 的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形 解析：2sinAcosBsin（AB）sin（AB）又2sinAcosBsinC，sin（AB）0，AB4. 在ABC 中，若 ，则ABC
9、的形状是.( )cosA cosBb aA.等腰直角三角形B.直角三角形 C.等腰或直角三角形D.等边三角形解析：由已知 及正弦定理得cosA cosBb acosA cosBsinB sinAsin2A=sin2B2A2B 或 2A2B，即 AB 或 AB，2故ABC 为等腰三角形或直角三角形.选 C考点 2: 三角形中的三角变换 题型:利用正、余弦定理和三角函数的恒等变换,进行边角互换,结合三角函数的图象与性质进 行化简求值.例 1（10 重庆） 设ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a,b,c，且 A=60，c=3b.求：（）a c的值；（）cotB +cot C 的值.【解题思路】
10、求a c的值需要消去角和; b三角求值问题一般先考虑寻找角之间的关系解析：（）由余弦定理得2222 cosabcbA 2221117()2,3329ccc ccAA A故7.3a c（）解法一：cotcotBCcossincossin sinsinBCCB BCsin()sin,sinsinsinsinBCA BCBCQixj由正弦定理和（）的结论得2 27 sin121414 39.1sinsinsin933 33cAa BCA bcc c故14 3cotcot.9BC解法二：由余弦定理及（）的结论有222 22271()93cos2723cccacbBacc c AA 5.2 7故2253
11、sin1 cos1.282 7BB同理可得222 22271 199cos,2712 7233cccabcCabcc AA213 3sin1 cos1.282 7CC从而coscos5114 3cotcot33.sinsin399BCBCBC【名师指引】在解三角形的背景下一般见“切割就化弦” 【新题导练】5三角形的三内角, ,A B C所对边的长分别为, ,a b c，设向量),(abacm，),(cban, 若nm/,求角 B 的大小； 解析:nm/， cab baac 222abacc 1222 acbca21cosB ， 3B6在 RtABC 中，C=90,且A，B，C 所对的边 a,b
12、,c 满足 a+b=cx，求实数 x 的取值 范围.解析sinsinsincossinabABxAAcC2sin4A，又0,2Asinsinsin442A，即1,2x考点 3 与三角形的面积相关的题 题型 1:已知条件求面积例 1: (广州执信中学 11 届高三上学期期中考试)在ABC中，5cos13A ，3cos5B （）求sinC的值；（）设5BC ，求ABC的面积 【解题思路】求角 C 的三角函数值可考虑用内角和定理;求三角形的面积直接用面积公式.解析：（）由5cos13A ，得12sin13A ，由3cos5B ，得4sin5B 又ABC所以16sinsin()sincoscossin
13、65CABABAB （）由正弦定理得45sin135 12sin3 13BCBACA SsP所以ABC的面积1sin2SBCACC1131652365 8 3 【名师指引】本题主要考查三角变换、余弦定理、三角形面积、解三角形等基础知识，考查 运算求解能力. 题型 2:已知面积求线段长或角b例 2 (广东省惠州市 2011 届第二调研考试）在ABC中，5cos13B ，4cos5C 、求sin A的值；、设ABC的面积33 2ABCS，求BC的长【解题思路】已知面积求边长或高,可考虑等积法.解析：、由5cos13B ，得12sin13B ，由4cos5C ，得3sin5C 所以33sinsin()sincoscossin65ABCBCBC 、由33 2ABCS得133sin22ABACA ，由知33sin65A ，故65ABAC，又sin20 sin13ABBACABC ，故2206513AB ，13 2AB 所以sin11 sin2ABABCC 【名师指引】在处理解三角形的相关问题时,逆向思维也是必不可少的. 【新题导练】7.在三角形ABC中，2 52,cos425BaC ，求三角形ABC的面积S。【解析】 由题意，得3cos5BB， 为锐角，54sinB ， 1027 43sin)sin(sin
