1,第14章 电路方程的矩阵形式,14-1 割集 14-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 14-3 结点电压方程的矩阵形式 14-4 状态方程,2,,,复习: 电路的图,一. 图的基本概念,无 向 图,有 向 图,G={支路，节点},箭头为支路电压和电流的参考方向（关联）,1. 连通图,图G的任意两节点间至少有一条路经时称G为连通图图分：连通图与不连通图从图G的一个节点出发沿着一些支路连续移动到达 另一节点所经过的支路构成路经2. 路经,4,3. 回路,(1)连通； (2)每个节点关联支路数恰好为2回路,不是回路,回路L是连通图G的一个子图具有下述性质,5,树不唯一,树支：属于树T 的支路,连支：属于G而不属于T的支路,4 . 树 (Tree),树T是连通图G的一个子图，具有下述性质：,(1)连通； (2)包含G的所有节点； (3)不包含回路16个,6,,显然，有n结点和b条支路的连通图，任取一个树 则：树支数 bt= n-1、连支数 bl=b-(n-1),单连支回路（在树的基础上，每加一连支，即得一回路共b-(n-1)个单连支回路，必为一组独立基本回路）,树支数 4： （2、3、6、7）,连支数 3： （1、4、5）,特点：1、所有的支路都出现了；2、两两之间必有不同的支路。
7,,定义: 割集,(1) 把Q 中全部支路移去，将图分成两个分离部分；,(2)保留Q 中的一条支路，其余都移去， G还是连通的Q1: { 2 , 5 , 4 , 6 },割集Q是连通图G中一个支路的集合，具有下述性质：,8,,,,,,,Q4: { 1 , 5 , 2 },Q3: { 1 , 5 , 4},Q2: { 2 , 3 , 6 },单树支割集（基本割集）,Q3: { 1 , 5 ,3 , 6 },Q2: { 3 , 5 , 4},Q1: { 2 , 3 , 6 },9,三个分离部分,保留4支路，图不连通的10,,,,基本回路,基本割集,{1，2，3，4},{1，4，5},{1，2，6},{3，4，5},{2，3，6},{1，5，3，6},,,,基本回路和基本割集关系,对同一个树,1. 由某个树支bt确定的基本割集应包含那些连支，每个这种连支构成的单连支回路中包含该树支bt 11,,,,,,,,,,,,,,,2. 由某个连支bl确定的单连支回路应包含那些树支，每个这种树支所构成的基本割集中含有bl 12,14-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵,一.关联矩阵A,用矩阵形式描述节点和支路的关联性质,aij = 1 有向支路 j 背离 i 节点,aij= -1 有向支路 j 指向 i 节点,aij =0 i节点与 j 支路无关,关联矩阵,Aa={aij}n b,13,1 0 0 -1 0 1,-1 -1 0 0 1 0,0 1 1 0 0 -1,0 0 -1 1 -1 0,,1 -1 0 0,0 -1 1 0,0 0 1 -1,-1 0 0 1,0 1 0 -1,1 0 -1 0,设④为参考节点,称A为降阶关联矩阵 (n-1)b ， 表征独立节点与支路的关联性质,14,设:,支路电压,支路电流,节点电压,15,矩阵形式的KCL,Ai =,,,,,,,,,,,,A i = 0,16,矩阵形式KVL,17,二. 基本回路矩阵B,2. 支路排列顺序为先连(树)支后树(连)支。
1 支路j与回路i关联，方向一致,-1 支路j 与回路i关联，方向相反,0 支路j 不在回路i中,约定： 1. 回路电流的参考方向取连支电流方向用矩阵形式描述基本回路和支路的关联性质,B = { b i j } l b,18,选 4、5、6为树，连支顺序为1、2、31 -1 0 1 0 0,1 -1 1 0 1 0,= [ Bt 1 ],设,矩阵形式的KVL,0 1 -1 0 0 1,B u = 0,19,B u = 0 可写成,Bt ut + ul = 0,ul = - Btut,用树支电压表示连支电压,连支电压,树支电压,矩阵形式的KVL的另一种形式,20,B=[ Bt 1 ],用连支电流表示树支电流,BT il = i,矩阵形式的KCL,KCL的另一种形式,21,三. 基本割集矩阵Q,约定 (1) 割集方向与树支方向相同 (2)支路排列顺序先树(连)支, 后连(树)支1 j支路与割集i方向一致,-1 j支路与割集i方向相反,0 j 支路不在割集i中,用矩阵形式描述基本割集和支路的关联性质,Q = { q i j } n-1 b,22,1 0 0 -1 -1 0,0 1 0 1 1 -1,C1:{1,2,4} C2:{1,2,3,5} C3:{2,3,6},设,ut=[ u4 u5 u6 ]T,矩阵形式的KCL：,0 0 1 0 -1 1,Qi =0,23,回路矩阵表示时,用连支电流表示树支电流,矩阵形式的KCL的另一种形式,Qi =0 可写成,回路矩阵和割集矩阵的关系,24,矩阵形式的KVL,用树支电压表示连支电压,QTut=u,KVL的另一种形式,25,Q,Qi=0,QTut=u,小结：,ul = - Btut,A,B,Ai=0,BTil=i,ATun=u,Bu=0,26,14-3 结点电压方程的矩阵形式,电路分析依据：,KCL A i =0,KVL u=ATun,元件特性方程,规定每个支路必须有一个阻抗,27,k支路电压、电流关系：,设,Z=diag[Z1 Z2 Zb ],Y=diag[Y1 Y2 Yb ],Z=Y -1,28,支路电压的矩阵方程,,29,由KCL A i =0,由KVL u=ATun,节点导纳阵,得节点电压方程,由此求得支路电压和电流,,,30,例,1. 画有向图,2.,3.,31,4.,5.,6.,得,32,具有VCCS的节点分析,,考虑b条支路,33,,gkj,34,35,其中,-g,节点方程,36,,一、 基本概念,状态变量 x：,分析动态过程的独立变量。
14-4 状态变量法,电路中：一般选电容的电压及电感的电流作状态变量,37,,,可见：当 t = t1 时 uC ， iL 和输入e为已知，就可确定t1及t1以后任何时刻系统的响应问题是t1时刻的状态量要求出来38,,二. 状态方程,求解状态变量的方程,,,设 uC , iL 为状态变量,列微分方程,39,一般形式,\ nn,\ nr,,,,特点,(1) 联立一阶微分方程组,(2) 左端为状态变量的一阶导数,(3) 右端仅含状态变量和输入量,40,三. 输出方程,特点 (1)代数方程 (2)用状态变量和输入量表示输出量,一般形式,[y]=[C][x]+[D][u],,,41,四. 归纳几点,(1) 状态变量和储能元件有联系，状态变量的个数等于 独立的储能元件个数3) 状态变量的选择不唯一2)一般选择uC和 iL为状态变量选uC和duC /dt为状态变量,42,令 x1 =uC , x2 =duC /dt,即,则,,,,43,,五、 状态方程的列写,1. 直观法（简单电路）,选 uC , i1 , i2为状态变量,例1,,,44,,,45,2. 特有树法（复杂电路）,,,树支：包含所有电压源支路、电容支路 连支：包含所有电流源支路、电感支路,对含单电容树支的结点列KCL 对含单电感连支的回路列KVL 如有必要，消去非状态变量,条件: 电路中不存在仅由电容和电压源支路构成的回路和仅由电感和电流源支路构成的割集。
46,选 u1 , u2 , i3 , i4为状态变量,,,,消去非状态量 i5 , i6,i5= (u2-u1)/R5,i6 = i4 -i3,,,,47,,,,。