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1、第七课 多自由度系统的运动方程,2018年10月20日,单自由度系统回顾,单自由度系统运动方程的建模 牛顿第二定律（向量方法），达朗伯原理 能量方法d(U+T)=0 虚位移原理（虚功原理） 单自由度系统固有频率计算方法 根据运动方程 能量方法Umax=Tmax 单位加速度法 初始条件下系统的运动方程,单自由度系统回顾,等效质量与等效刚度计算 等效质量动能等效 等效刚度势能等效 阻尼自由振动 三种阻尼类型（粘性，库伦，结构） 阻尼比与临界阻尼，振动方程的解，初始条件下的响应 对数衰减率测定系统阻尼 粘性阻尼与库伦阻尼的衰减特征,单自由度系统回顾,简谐强迫振动 简谐强迫振动的解，复指数法 频响函数
2、与频响特性曲线 品质因数与半功率带，半功率带法测量阻尼 旋转失衡与基础振动引起的简谐强迫振动方程、频响函数 积极隔振与消极隔振原理 位移传感器与加速度传感器的频响特性,单自由度系统回顾,周期强迫振动与非周期强迫振动 傅立叶级数，正弦、余弦激励函数的响应，线性叠加原理 脉冲函数与脉冲响应 卷积积分 频响函数、脉冲响应函数与传递函数之间的关系,本章主要内容,3.1 多自由度系统的运动方程 3.2 频率方程、振型与正则坐标 3.3 多自由度系统的振动响应 3.4 多自由度系统的数值计算方法,3.1 多自由度系统的运动方程,牛顿第二定律矢量建模方法 影响系数法 刚度影响系数法 柔度影响系数法 Lagr
3、ange方程方法 约束、自由度与广义坐标 Lagrange方程建模方法,牛顿第二定律建模,这种用矩阵写出的运动微分方程与单自由度系统的运动微分方程非常相似。 象例题中在各个离散质量上建立的坐标系为描述系统的物理坐标系，在此坐标下的系统质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵为系统的物理参数。 多自由度系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵一般均是对称矩阵。,根据上式得到列系统的运动微分方程的一种简单的方法： 先求出系统的动能、势能和能量耗散函数，然后利用上式求出系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，最终求出系统的运动微分方程。 这样的优点是，由于系统的动能、势能和能量耗散函数是标量，可以不考虑力的方向。,3.1
4、 多自由度系统的运动方程,牛顿第二定律矢量建模方法 影响系数法 刚度影响系数法 柔度影响系数法 Lagrange方程方法 约束、自由度与广义坐标 Lagrange方程建模方法,影响系数法,影响系数法,现分析求出图所示的三自由度系统的刚度矩阵。,画出各物块的受力图根据平衡条件，有,首先令,在此条件下系统保持平衡，按定义需加于三物块的力,刚度影响系数 作用力方程,画出受力图，则有,同理，令,画出受力图，有,最后令,因此刚度矩阵为,刚度矩阵一般是对称的。 实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即,柔度影响系数 位移方程,当受到F1作用后，第一个弹簧的变形为 ，第二和第三个弹簧的变形为零。,首先施
5、加单位力,这时三物块所产生的静位移分别是,所以三物块的位移都是,现分析求出图所示的三自由度系统的柔度影响系数。,第三个弹簧不受力，故其变形为零。因此有,令,第一和第二弹簧均受单位拉力，其变形分别为,再令,可得到,系统的柔度矩阵为,柔度矩阵一般也是对称的。 实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即,系统的柔度矩阵为,对于图所示的系统，也可用柔度影响系数来建立其运动微分方程。,系统运动时，质量的惯性力使弹簧产生变形,应用叠加原理可得到,写成矩阵形式,位移方程,是非奇异的，即 的逆矩阵存在,与作用力方程比较,即当刚度矩阵是非奇异时，刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵； 当刚度矩阵是奇异时，不存在逆矩阵
6、即无柔度矩阵。此时系统的平衡位置有无限多或者说它有刚体运动。如图示系统具有刚体运动，柔度矩阵不存在。,柔度矩阵与刚度矩阵之间的关系,3.1 多自由度系统的运动方程,牛顿第二定律矢量建模方法 影响系数法 刚度影响系数法 柔度影响系数法 Lagrange方程方法 约束、自由度与广义坐标 Lagrange方程建模方法,约束、自由度与广义坐标,约束、自由度与广义坐标,约束、自由度与广义坐标,约束、自由度与广义坐标,Lagrange方程,拉格朗日方程提供了解决有限自由度完整系统运动的一个普遍 的简单而又统一的方法。,虚位移qi是任意的，而且qi彼此独立的。著名的拉格朗日方程,保守系统,非保守系统,解：取
7、刚体质心O点偏离平衡位置的x、y和 刚体绕质心的转角为广义坐标，即,例题 图示的刚体由四根拉伸弹簧支承，被限制在图示平面内运动。图示位置为平衡位置。且质量为m，转动惯量IO。试导出微幅运动微分方程。,并且四根弹簧端点的坐标分别为,系统的动能为,系统的势能为,计算拉格朗日方程中各项导数,拉格朗日方程,代入拉格朗日方程，得系统运动微分方程为,Lagrange方程建模练习,不考虑阻尼和外激振力，建立如下二自由度系统的运动微分方程：,Lagranges equations for a nonconservative system,Example,Using Lagranges equations to
8、 derive the differential equations governing the motion of the nonconservative system of the following figure, using x and as generalized coordinates.,Example,练习,练习1: 试写出图所示刚体AB的刚度矩阵并建立系统的运动微分方程。,解：刚体AB在图面内的位置可以由其质心C的坐标yC(以水平位置O为坐标原点，且水平运动不计)和绕C的转角 确定。,图为 时的受力图， 分别表示保持系统在该位置平衡，应加在C点的力和力偶矩,由刚体AB的平衡条件
9、得到,图为 时的受力图， 分别表示保持系统在该位置平衡，应加在铅直平面内的力偶矩和加在C点的力。,由平衡条件得,刚度矩阵,图为 取任意值时，刚体AB作平面运动的受力图，根据达朗贝尔原理，可写出系统的运动微分方程,整理后得到,练习2 试求图示悬臂梁的柔度影响系数，并建立其位移方程。(梁的弯曲刚度为EI，其质量不计),解：取y1 、 y2为广义坐标，根据柔度影响系数的定义， 表示在m1处施加单位力(沿y1方向)并在m1处产生的位移。,表示在m2处施加单位力(沿y2方向)并在m2处产生的位移。有,按材料力学的挠度公式，则有,表示在m2处施加单位力在m1处产生的位移等于在m1处施加单位力在m1处产生的位移。有,柔度矩阵为,得系统的位移方程,作业,1.课本p98：建立图T-4.4所示系统的运动微分方程；2.课本p99：建立图T-4.5所示系统的运动微分方程。,
