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1、13 32.22.2 函数的和、差、积、商的导数函数的和、差、积、商的导数学习目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数知识点一 和、差的导数已知f(x)x，g(x) .1 x思考 1 f(x)，g(x)的导数分别是什么？思考 2 试求Q(x)x ，H(x)x 的导数1 x1 x梳理 和、差的导数f(x)g(x)f(x)g(x)知识点二 积、商的导数已知f(x)x2，g(x)sin x，(x)3.思考 1 试求f(x)，g(x)，(x)思考 2 求H(x)x2sin x，M(x)，Q(x)3sin x的导数sin x
2、 x22梳理 (1)积的导数f(x)g(x)_；Cf(x)_.(2)商的导数_(g(x)0)fx gx(3)注意：f(x)g(x)f(x)g(x)，.fx gxfx gx类型一 导数运算法则的应用例 1 求下列函数的导数：(1)f(x)ax3bx2c；(2)f(x)xln x2x；1 3(3)f(x)；(4)f(x)x2ex.x1 x1反思与感悟 (1)解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分(2)对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变换)，然后求导这样可以减少运算量，优化解题过程(3)利用导数法则求导的原则
3、是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导跟踪训练 1 求下列函数的导数：(1)y；(2)y；2x33xx1x xx21 x233(3)y(x1)(x3)(x5)；(4)yxsin x.2 cos x类型二 导数运算法则的综合应用命题角度 1 利用导数求函数解析式例 2 (1)已知函数f(x)2xf(1)，试比较f(e)与f(1)的大小关系；ln x x(2)设f(x)(axb)sin x(cxd)cos x，试确定常数a，b，c，d，使得f(x)xcos x.反思与感悟 (1)中确定函数f(x)的解析式，需要求出f(1)，注意f(1)是常数(2)中利用待定系数
4、法可确定a，b，c，d的值完成(1)(2)问的前提是熟练应用导数的运算法则跟踪训练 2 已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2exf(1)3ln x，则f(1)_.命题角度 2 与切线有关的问题例 3 已知函数f(x)ax2bx3(a0)，其导函数f(x)2x8.(1)求a，b的值；(2)设函数g(x)exsin xf(x)，求曲线g(x)在x0 处的切线方程4反思与感悟 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确(3)分清已
5、知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点跟踪训练 3 (1)设曲线y在点(，2)处的切线与直线xay10 垂直，则2cos x sin x 2a_.(2)设函数f(x)g(x)x2，曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y2x1，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为_1函数y(1)(1)的导数等于_xx2函数y的导数是_cos x 1x3曲线y在点(1，1)处的切线方程为_x x24已知函数f(x)的导函数为f(x)，若f(x)f()sin xcos x，则f() 3 3_.5设曲线y在点(3,2)处的切线与直线axy10 垂直，则a_.x1 x1求
6、函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题提醒：完成作业 第 3 章 3.2 3.2.25答案精析答案精析问题导学知识点一思考 1 f(x)1，g(x).1 x2思考 2 y(xx)(x )1 xx1 xx，x xxx1.y x1 xxx当 x0 时，11.1 xxx1 x2Q(x)1.1 x2同理，H(x)1.1 x2知识点二思考 1 f(x)2x，g(x
7、)cos x，(x)0.思考 2 H(x)2xsin xx2cos x，M(x)sin xx2sin xx2 x22，x2cos x2xsin x x4xcos x2sin x x3Q(x)3cos x.梳理 (1)f(x)g(x)f(x)g(x) Cf(x) (2)fxgxfxgx g2x题型探究例 1 解 (1)f(x)(ax3bx2c)1 3(ax3)(bx2)cax22bx.1 3(2)f(x)(xln x2x)(xln x)(2x)xln xx(ln x)2xln 26ln x12xln 2.(3)方法一 f(x)()x1 x1x1x1x1x1 x12.x1x1 x122 x12方法
8、二 f(x)x1 x1x12 x11，2 x1f(x)(1)()2 x12 x1.02x1 x122 x12(4)f(x)(x2ex)(x2)exx2(ex)2xexx2exex(2xx2)跟踪训练 1 解 (1)y2x3 23x1 2x1x3 2，y3x1 2x3 2x2x5 2.3 23 2(2)方法一 yx21x23x21x23 x232.2xx232xx21 x2324x x232方法二 yx21 x23x232 x231，2 x23y(1)()2 x232 x232x232x23 x232.4x x232(3)方法一 y(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)
9、(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)(2x4)(x5)(x1)(x3)3x218x23.方法二 y(x1)(x3)(x5)(x24x3)(x5)x39x223x15，7y(x39x223x15)3x218x23.(4)y(xsin x)()2 cos xxsin xx(sin x)2cos x2cos x cos x2sin xxcos x.2sin x cos2x例 2 解 (1)由题意得f(x)2f(1)，1ln x x2令x1，得f(1)2f(1)，1ln 1 1即f(1)1.所以f(x)2x，ln x x得f(e)2e 2e，ln e e1 ef(1)2，由f(e)f(1) 2e2
10、0，1 e得f(e)f(1)(2)由已知f(x)(axb)sin x(cxd)cos x(axb)sin x(cxd)cos x(axb)sin x(axb)(sin x)(cxd)cos x(cxd)(cos x)asin x(axb)cos xccos x(cxd)sin x(acxd)sin x(axbc)cos x.又f(x)xcos x，Error!即Error!解得ad1，bc0.跟踪训练 2 3 12e例 3 解 (1)因为f(x)ax2bx3(a0)，所以f(x)2axb，又f(x)2x8，所以a1，b8.(2)由(1)可知，g(x)exsin xx28x3，所以g(x)exsin xexcos x2x8，所以g(0)e0sin 0e0cos 02087，8又g(0)3，所以g(x)在x0 处的切线方程为y37(x0)，即 7xy30.跟踪训练 3 (1)1 (2)4当堂训练11 2.cos xsin xxsin x 1x23y2x1 4. 5.23
