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1、1第第 2 2 章章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程1椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质椭圆双曲线抛物线几何条件与两个定点的距离的和等于常数与两个定点的距离的差的绝对值等于常数与一个定点和一条定直线的距离相等标准方程1x2 a2y2 b2(ab0)1x2 a2y2 b2(a0，b0)y22px(p0)图形顶点坐标(a,0)(0，b)(a,0)(0,0)对称轴x轴，长轴长 2a；y轴，短轴长 2bx轴，实轴长 2a；y轴，虚轴长 2bx轴焦点坐标(c,0)ca2b2(c,0)ca2b2( ，0)p 22离心率01，ec ae1准线xa2 cxa2 cxp 2渐近线yxb a2.曲线与方
2、程(1)曲线与方程：如果曲线C上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：曲线上点的坐标都是这个方程的解；以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么，这条曲线叫做方程的曲线，这个方程叫做曲线的方程(2)圆锥曲线的共同特征：圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比是定值e；当 01 时，圆锥曲线是双曲线；当e1 时，圆锥曲线是抛物线3直线与圆锥曲线的位置关系直线和圆锥曲线的位置关系有三种：相离、相切、相交设直线l的方程为AxByC0，与圆锥曲线D的方程联立Error!可得(消去y)ax2bxc0(*)(1)当a0 时，若关于x的方程(*)的判别式0，则直线与圆锥曲线有两个不同交点
3、；若0，b0)的左，右焦点分别为F1，F2，若P为双曲线上一点，且x2 a2y2 b2PF12PF2，则双曲线离心率的取值范围为_答案 (1,3解析 如图所示，由PF12PF2知P在双曲线的右支上，则PF1PF22a，3又PF12PF2，PF14a，PF22a，在F1PF2中，由余弦定理得cosF1PF2PF2 1PF2 2F1F2 2 2PF1PF2 ，16a24a24c2 24a2a5 4c2 4a25 4e2 401，解得 10)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F是它的焦点，若AF，BF，CF成等差数列，则下列说法正确的是_x1，x2，x3成等差数列y1，y
4、2，y3成等差数列x1，x3，x2成等差数列y1，y3，y2成等差数列答案 解析 如图，过A，B，C分别作准线的垂线，垂足分别为A，B，C，由抛物线定义知：AFAA，BFBB，CFCC.2BFAFCF，2BBAACC.又AAx1 ，BBx2 ，CCx3 ，p 2p 2p 22(x2 )x1 x3 2x2x1x3.p 2p 2p 22分类讨论思想分类讨论思想是指当所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果得到整个问题的结果如曲线方程中含有的参数的取值范围不同，对应的曲线也不同，这时要讨论字母的取值范围，有时焦点位置也要
5、讨论，直线的斜率是否存在也需要讨论例 2 如果双曲线的两条渐近线的方程为yx，求此双曲线的离心率3 44解 当双曲线的焦点在x轴上时，由已知可得 ，b a3 4c2a2b2，e221，(c a)a2b2 a2b2 a225 16双曲线的离心率e ；5 4同理，当焦点在y轴上时，可求得离心率e .5 3故双曲线的离心率为 或 .5 45 3跟踪训练 2 求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，且过点P(2，6)；(2)椭圆过点P(3,0)，且e.63解 (1)设椭圆的标准方程为1 或1(ab0)x2 a2y2 b2y2 a2x2 b2由已知得a2b.椭圆过点P(2，6
6、)，1 或1.4 a236 b236 a24 b2由得a2148，b237 或a252，b213.故所求椭圆的标准方程为1 或1.x2 148y2 37y2 52x2 13(2)当焦点在x轴上时，椭圆过点P(3,0)，a3.又 ，c.c a636b2a2c23.此时椭圆的标准方程为1.x2 9y2 3当焦点在y轴上时，椭圆过点P(3,0)，b3.又 ，a227.c a63a2b2a63此时椭圆的标准方程为1.y2 27x2 9故所求椭圆的标准方程为1 或1.x2 9y2 3y2 27x2 93函数与方程思想圆锥曲线中的许多问题，若能运用函数与方程的思想去分析，则往往能较快地找到解题的突破口用函
7、数思想解决圆锥曲线中的有关定值、最值问题，最值问题是高中数学中常见5的问题，在圆锥曲线问题中也不例外，而函数思想是解决最值问题最有利的武器我们通常可用建立目标函数的方法解有关圆锥曲线的最值问题方程思想是从分析问题的数量关系入手，通过联想与类比，将问题中的条件转化为方程或方程组，然后通过解方程或方程组使问题获解，方程思想是高中数学中最基本、最重要的思想方法之一，在高考中占有非常重要的地位在求圆锥曲线方程、直线与圆锥曲线的位置关系的问题中经常利用方程或方程组来解决例 3 已知椭圆ax2by21(a0，b0 且ab)与直线xy10 相交于A，B两点，C是AB的中点，若AB2，OC的斜率为，求椭圆的方
8、程222解 方法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差，得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0.A，B为直线xy10 上的点，1.y1y2 x1x2由已知得kOC，代入式可得ba.y1y2 x1x2222直线xy10 的斜率k1.又AB|x2x1|x2x1|2，1k222|x2x1|2.联立ax2by21 与xy10 可得(ab)x22bxb10.且由已知得x1，x2是方程(ab)x22bxb10 的两根，x1x2，x1x2，2b abb1 ab4(x2x1)2(x1x2)24x1x224.(2b ab)b1 ab将ba代入式，解得a ，b.21 323
9、所求椭圆的方程是y21.x2 323方法二 由Error!得(ab)x22bxb10.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，2b abb1 ab且直线AB的斜率k1，ABk21x1x22k21x1x224x1x2.24b24abb1ab6AB2，22，2 4b24abb1ab21.ababab设C(x，y)，则x，y1x.x1x2 2b aba abOC的斜率为，22 ，将其代入式得，a ，b.a b221 323所求椭圆的方程为y21.x2 323跟踪训练 3 若双曲线1(a0)的离心率为 ，则a_.x2 a2y2 165 3答案 3解析 由离心率公式，有2(a0)，a
10、216 a2(5 3)得a3.4化归与转化思想将所研究的对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想方法称之为化归与转化思想一般将有待解决的问题进行转化，使之成为大家熟悉的或容易解决的问题模式转化与化归思想在圆锥曲线中经常应用，如把直线与圆锥曲线的位置关系问题转化为方程组的解的个数问题，把求参数的取值范围问题转化为解不等式(组)问题，把陌生的问题转化为熟悉的问题，需要注意转化的等价性例 4 已知点A(4，2)，F为抛物线y28x的焦点，点M在抛物线上移动，当MAMF取最小值时，点M的坐标为_答案 ( ，2)1 2解析 过点M作准线l的垂线，垂足为E，由抛物线定义知MFME.当点M在抛物线上
11、移动时，MFMA的值在变化，显然M移到M，AMOx时，A，M，E共线，此时MEMA最小，把y2 代入y28x，得x ，1 2M( ，2)1 27跟踪训练 4 已知向量a a(x，y)，b b(1,0)，且(a ab b)(a ab b)333(1)求点Q(x，y)的轨迹C的方程；(2)设曲线C与直线ykxm相交于不同的两点M、N，又点A(0，1)，当AMAN时，求实数m的取值范围解 (1)由题意得，a ab b(x，y)，a ab b(x，y)，333333(a ab b)(a ab b)，(a ab b)(a ab b)0，3333即(x)(x)yy0，3333化简得y21，x2 3点Q的轨
12、迹C的方程为y21.x2 3(2)由Error!得(3k21)x26mkx3(m21)0，由于直线与椭圆有两个不同的交点，0，即m2m2，解得 00，解得m ，2m1 31 2故m的取值范围是.(1 2，2)()当k0 时，AMAN，APMN，m23k21 即为m21，解得1m1.综上，当k0 时，m的取值范围是，(1 2，2)当k0 时，m的取值范围是(1,1)81.圆锥曲线的定义是圆锥曲线问题的根本，利用圆锥曲线的定义解题是考查圆锥曲线的一个重要命题点2圆锥曲线的标准方程是用代数方法研究圆锥曲线的几何性质的基础，对圆锥曲线标准方程的考查方式有两种：一是在解答题中作为试题的入口进行考查；二是
13、在填空题中结合圆锥曲线的简单几何性质进行考查3虽然考纲中没有直接要求关于直线与圆锥曲线相结合的知识，但直线与圆锥曲线是密不可分的，如双曲线的渐近线、抛物线的准线，圆锥曲线的对称轴等都是直线考试不但不回避直线与圆锥曲线，而且在试题中进行重点考查，考查方式既可以是填空题，也可以是解答题4考纲对曲线与方程的要求是“了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系” ，考试对曲线与方程的考查主要体现在以利用圆锥曲线的定义、待定系数法、直接法和代入法等方法求圆锥曲线的方程5对圆锥曲线的考查是综合性的，这种综合性体现在圆锥曲线、直线、圆、平面向量、不等式等知识的相互交汇，对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，一般以椭圆或者抛物线为依托，全面考查圆锥曲线与方程的求法、直线与圆锥曲线的位置关系，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用
