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1、1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.,1.数学归纳法的适证对象 数学归纳法是用来证明关于 命题的一种方法，若 n0是起始值，则n0是 .,正整数,最小正整数,使命题成立的,2.数学归纳法的步骤 用数学归纳法证明命题时，其步骤如下： (1)当n 时，验证命题成立； (2)假设n 时命题成立，推证当n 时 命题也成立，从而推出对所有的 命题成立.,k1,n0(n0N+),k(kn0，kN+),nn0，nN+,思考探究 (1)数学归纳法的两个步骤的作用分别是什么？,提示：数学归纳法中两个步骤体现了递推思想，第一步是递推基础，也叫归纳奠基，第二步是递推的依据，也叫归纳
2、递推两者缺一不可,(2)归纳推理与数学归纳法有什么区别与联系？,提示：归纳推理是合情推理的一种方式，得到的结论不一定正确，不可以作为数学证明的方法，数学归纳法是科学的方法，可以用来证明与正整数n有关的问题，但在某些与正整数有关的问题中，往往先用归纳推理得到结论后，再用数学归纳法来证明,1.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为 n(n3) 条时，第一步检验n等于 ( ) A.1 B.2 C.3 D.0,解析：因为n3，所以，第一步应检验n3.,答案：C,2.用数学归纳法证明1aa2an1 (a1)， 在验证n1时，等式左端计算所得的项是 ( ) A.1 B.1a C.1aa2 D.1aa2a3
3、,解析：因为当n1时，an1a2，所以验证n1时， 等式左端计算所得的项是1aa2.,答案：C,3.利用数学归纳法证明“(n1)(n2)(nn) 2n13(2n1)，nN+”时，从“nk”变到 “nk1”时，左边应增乘的因式是 ( ) A.2k1 B.2(2k1) C. D.,解析：当nk(kN+)时，左式为(k1)(k2)(kk)； 当nk1时，左式为(k11)(k12)(k1k1)(k1k)(k1k1)， 则左边应增乘的式子是 2(2k1).,答案：B,4.用数学归纳法证明： ， 第一步应验证左式是 ， 右式是 .,解析：令n1则左式为1 ，右式为 .,答案：,5.记凸k边形的内角和为f(
4、k)，则凸k1边形的内角和 f(k1)f(k) .,解析：由凸k边形变为凸k1边形时，增加了一个三角形，故f(k1)f(k).,答案：,1.用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式问题，关键 在于弄清等式两边的构成规律：等式的两边各有多少项， 由nk到nk1时，等式的两边会增加多少项，增加 怎样的项；难点在于寻求等式中nk和nk1时之间 的联系.,2.用数学归纳法证明与正整数有关的等式时，通常采用的 步骤为： (1)找出f(k1)与f(k)的递推关系； (2)把归纳假设f(k)g(k)代入； (3)作恒等变形把f(k1)化为g(k1).,特别警示 运用数学归纳法需注意以下几点：nn0时，n0的取
5、值；两个步骤，缺一不可；证nk1成立时必须用上归纳假设.,对于nN+，用数学归纳法证明： 1n2(n1)3(n2)(n1)2n1 n(n1) (n2).,思路点拨,课堂笔记 证明：设f(n)1n2(n1)3(n2)(n1)2n1. (1)当n1时，左边1，右边1，左边右边，等式成立； (2)假设当nk时等式成立，即1k2(k1)3(k2)(k1)2k1 k(k1)(k2)， 则当nk1时，,f(k1)1(k1)2(k1)13(k1)2(k1)23(k1)12(k1)1 f(k)123k(k1) k(k1)(k2) (k1)(k11) (k1)(k2)(k3). nk1时等式也成立. 由(1)(
6、2)可知，当nN+时等式都成立.,用数学归纳法证明与正整数有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小.对第二类形式往往先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，再用数学归纳法证明.,特别警示 如果在数学归纳法证题的过程中，没有运用归纳假设，不论形式上多么相似，也不能称此证明方法为数学归纳法.,已知数列an，an0，a10， 1 . 求证：当nN+时，anan1.,思路点拨,课堂笔记 (用数学归纳法证明) (1)当n1时，因为a2是方程x2x10的正根， 所以a1a2. (2)假设当nk(
7、kN*，k1)时， 0akak1， 因为,( ak21)( ak11) (ak2ak1)(ak2ak11)0， 所以ak1ak2， 即当nk1时，anan1也成立. 根据(1)和(2)，可知anan1对任何nN+都成立.,把题设条件中的“an0”改为“当n2时，an1”，其余条件不变，求证：当nN+时，an1an.,证明：(1)当n1时，因为a2是x2x10的负根，所以a1a2. (2)假设当nk(kN+，k1)时，ak1ak，, (ak2ak1)(ak2ak11)， ak10， 又ak2ak111(1)11， ak2ak10，ak2ak1， 即当nk1时，命题成立. 由(1)(2)可知，当n
8、N+时，an1an.,用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k1个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，在实在分析不出来的情况下，将nk1和nk分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧.,用数学归纳法证明：平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点.则这n个圆将平面分成n2n2个部分.,思路点拨,课堂笔记 (1)当n1时，一个圆把平面分成两部分.12122，命题成立； (2)假设当nk(kN+)时命题成立，即k个圆把平面分成k2k2个部分. 当nk
9、1时，这k1个圆中的k个圆把平面分成了k2k2个部分，第k1个圆被前k个圆分成2k条弧，每条弧把它所在的部分分成了两部分，这时共增加了2k个部分，即k1个圆把平面分成(k2k2)2k(k1)2(k1)2个部分，这说明当nk1时命题也成立. 由(1)(2)知，对一切nN+，命题都成立.,以数列问题为载体,考查用数学归纳法证明现成问题的结论是高考对本节内容的常规考法.2009年陕西高考则以数列问题为载体,考查了“观察归纳猜想证明”的思维模式，是一个新的考查方向.,考题印证 (2009陕西高考)(12分)已知数列xn满足x1 ，xn1 ，nN+. (1)猜想数列x2n的单调性，并证明你的结论； (2
10、)证明：|xn1xn| ( )n1.,【解】 (1)由x1 及xn1 得x2 ，x4 ，x6 . 由x2x4x6猜想：数列x2n是递减数列.2分 下面用数学归纳法证明： 当n1时，已证命题成立.3分,假设当nk时命题成立，即x2kx2k2， 易知xk0，那么 x2k2x2k4 0， 5分 即x2(k1)x2(k1)2. 也就是说，当nk1时命题也成立.,结合和知，命题成立.6分,(2)证明：当n1时，|xn1xn|x2x1| ，结论成立； 当n2时，易知0xn11， 1xn12，xn ， (1xn)(1xn1)(1 )(1xn1) 2xn1 ，8分,|xn1xn| | |xnxn1|( )2|
11、xn1xn2| ( )n1|x2x1| ( )n1.11分 综上：nN+时，|xn1xn| ( )n1.12分,自主体验 已知点Pn(an，bn)满足an1anbn1，bn1 (nN)且点P1的坐标为(1，1) (1)求过点P1，P2的直线的方程； (2)试用数学归纳法证明：对于nN，点Pn都在(1)中的直线l上,解：(1)由题意得a11，b11. b2 ，a21 ， P2( )， 直线l的方程为 ，即2xy1.,(2)证明：当n1时，2a1b121(1)1成立 假设nk(kN，k1)时，2akbk1成立， 则2ak1bk12akbk1bk1 (2ak1) 1， 当nk1时，命题也成立 由知，
12、对nN，都有2anbn1，即点Pn在直线l上,1.如果命题p(n)对nk成立，则它对nk2也成立.若p(n) 对n2也成立，则下列结论正确的是 ( ) A.p(n)对所有正整数n都成立 B.p(n)对所有正偶数n都成立 C.p(n)对所有正奇数n都成立 D.p(n)对所有自然数n都成立,解析：由题意nk成立，则nk2也成立，又n2时成立，则p(n)对所有正偶数都成立.,答案：B,2.设f(n) ，nN+，那么f(n1) f(n) ( ) A. B. C. D.,解析：用数学归纳法证明有关问题时，分清等式两边的构成情况是解题的关键.显然，当自变量取n时，等式的左边是n项和的形式.,答案：D,3.下列代数式(其中kN+)能被9整除的是 ( ) A.667k B.27k1 C.2(27k1) D.3(27k),解析：本题考查用数学归纳法证明整除性问题. (1)当k1时，显然只有3(27k)能被9整除. (2)假设当kn(nN+)时，命题成立，即3(27n) 能被9整除，那么3(27n1)21(27n)36. 这就是说，kn1时命题也成立.,
