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1、椭圆椭圆知识点总结知识点总结椭圆的定义椭圆的定义：平面内一动点到两个定点、的距离之和等于常数 ,P1F2F)2(2121FFaPFPF这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.P注意：注意：若，则动点的轨迹为线段；)(2121FFPFPFP21FF若，则动点的轨迹无图形.)(2121FFPFPFP椭圆的标准方程椭圆的标准方程1当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；x12222 by ax)0( ba222bac2当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；y12222 bx ay)0( ba222bac注意：注意：（1）只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建
2、立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；(2）在椭圆的两种标准方程中，都有和；)0( ba222bac(3) 椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；x)0 ,(c)0 ,( c当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，y), 0(c), 0(c椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质: :椭圆：的简单几何性质12222 by ax)0( ba1.1.对称性对称性：对于椭圆标准方程：12222 by ax)0( ba以轴、轴为对称轴的轴对称图形；以原点为对称中心的中心对称图形xy2 2.范围范围：椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标axby满足，。axby3.3.
3、顶点顶点：椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别12222 by ax)0( ba为 ， )0 ,(1aA )0 ,(2aA), 0(1bB), 0(2bB线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，,。21AA21BBaAA221bBB221和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。ab4.4.离心率离心率：椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作。eac ace22因为，所以的取值范围是。越接近 1，则就越接近，)0( cae) 10( eeca从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于 0，就越接近 0，从而越接22cabecb近于，这时椭圆就
4、越接近于圆。 当且仅当时，这时两个焦点重合，图形aba 0c变为圆，方程为。ayx22注意：注意： 椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：12222 by ax（1）；)2(21aPFPFePMPFPMPF2211)2(221caPMPM（2）；)(21aBFBF)(21cOFOF22 21baBABA（3）；caFAFA2211caFAFA1221caPFca15,通径：通径：（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦） ，通径长为.ab226,设为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，当三点不在同一直线上时，21FF、P21FFP、构成了一个三角形焦点三角形焦点三角形. 21FFP、两种椭圆标准方程的区别和联
5、系：椭圆 与 的区别和联系12222 by ax12222 bx ay)0( ba标准方程12222 by ax)0( ba 12222 bx ay)0( ba图形焦点，)0 ,(1cF )0 ,(2cF，), 0(1cF), 0(2cF焦距cFF221cFF221范围，axby，bxay对称性关于轴、轴和原点对称xy顶点，)0 ,( a), 0(b，), 0(a)0 ,( b轴长长轴长=，短轴长= a2b2离心率) 10(eace准线方程cax2 cay2 性质焦半径，01exaPF02exaPF，01eyaPF02eyaPF注意：注意：椭圆，的相同点：形状、大小都相同；12222 by a
6、x12222 bx ay)0( ba参数间的关系都有和，；)0( ba) 10(eace222cba不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。规律方法规律方法：1 1，求椭圆方程的常用方法求椭圆方程的常用方法 （1）待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；cba,（2）定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。2 2，共焦点的椭圆标准方程形式上的差异，共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则 c 相同。与椭圆共焦点的椭圆方程可设为12222 by ax)0(
7、 ba，此类问题常用待定系数法求解。12222 mby max)(2bm3 3，方程，方程是表示椭圆的条件是表示椭圆的条件均不为零）CBACByAx,(22方程可化为，即，所以只有同号，CByAx22122 CBy CAx122 BCyACxCBA,且时，方程表示椭圆。BA 当时，椭圆的焦点在轴上；BC ACx当时，椭圆的焦点在轴上。BC ACy4 4，焦点三角形，焦点三角形（为椭圆上的点）有关的计算问题为椭圆上的点）有关的计算问题 21FPFP令; ; 212211,PFFrPFrPF常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算解题。（此处信息量较大）si
8、n212121rrSFPF将有关线段，有关角 ()结合起来，建立2121,FFrr21PFF21PFF21BFF，之间的关系. 的最大值为；21rr 21rr maxSbc5 5，椭圆的扁圆程度与离心率的关系，椭圆的扁圆程度与离心率的关系离心率，因为，即。) 10(eace222bac0 ca) 10()(12eabe显然：当越小时，越大，椭圆形状越扁；当越大，越小，ab) 10( eeab) 10( ee椭圆形状越趋近于圆。6 6，点与椭圆的位置关系：，点与椭圆的位置关系：（1）点在椭圆外；00(,)P xy22 00 221xy ab（2）点在椭圆上1；00(,)P xy22 0 22 0
9、 by ax（3）点在椭圆内00(,)P xy22 00 221xy ab7 7，直线与椭圆的位置关系：直线与椭圆的位置关系：若直线与圆锥曲线相交于两点，将ykxb12222 by ax)0( ba),(),(2111yxByxA直线方程联立曲线方程可得：0)(2)(22222222bmamkxaxbka)(4)2(22222222bkabmamka（1）相交：直线与椭圆相交；0 （2）相切：直线与椭圆相切； 0 （3）相离：直线与椭圆相离； 0 8 8，椭圆的切线方程，椭圆的切线方程(1)椭圆上一点处的切线方程是.12222 by ax)0( ba00(,)P xy120 20byy axx
10、（2）过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是12222 by ax)0( ba00(,)P xy120 20byy axx9 9，弦长公式：，弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点，ykxb12222 by ax)0( ba),(),(2111yxByxA则；AB2 121kxx21211yyk若弦所在直线方程设为，则ABxkyb。AB2 121kyy.11212xxk注意：要注意两种直线方程的应用时的优缺点（详细介绍韦达定理在圆锥曲线中的应用）1010，中点弦问题常用，中点弦问题常用“韦达定理韦达定理”或或“点差法点差法”求解求解抓住两点：中点坐标，弦所在直线斜率设交点坐标为，线段的中点为，则
11、由),(11yxA),(22yxBAB),(00yxM，将两式相减122 1 22 1by ax122 2 22 2by ax22121 22121)()( byyyy axxxx)()(2122122121 yyaxxb xxyy （1）斜率问题：；)()(212212yyaxxbkAB（2）弦中点轨迹问题时：，即；020202022121 22 yaxb yaxb xxyy0202yaxbkAB（3）要注意：；00 xykOM（4）直线的方程:；AB)(0 02020xxyaxbyy（5）线段的垂直平分线方程：AB).(0 02020xxxbyayy椭圆的几何性质练习椭圆的几何性质练习一，
12、椭圆的几何性质的简单运用一，椭圆的几何性质的简单运用1，已知椭圆的离心率，求的值及椭圆的长轴和短轴)0()3(22mmymx23em的长，焦点坐标，顶点坐标。2，求与椭圆有相同的焦距，且离心率为的椭圆的标准方程。369422 yx553，在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为xOyC21,FFx。过的直线 交于两点，且的周长为 16，求的方程。221FlCBA,2ABFC二，求椭圆的离心率二，求椭圆的离心率1，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，是椭圆的上顶点，是椭圆的右顶点，21,FFxAB是椭圆上的一点，且轴，,求此椭圆的离心率。PxPF 1ABPF /22，已知椭圆的左
13、焦点是椭圆的两个顶点，)0( 12222 baby ax), 0(),0 ,(),0 ,(bBaAcF若到直线的距离为，求椭圆的离心率。1FABb773，已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，FCBBFCD且，求的离心率。FDBF2C4，设椭圆上存在一点，它到椭圆中心和长轴一个端点的连线互相垂直，求椭圆离心率P 的取值范围。三，直线与椭圆的位置关系三，直线与椭圆的位置关系1，椭圆的离心率为，且椭圆与直线相交于，)0( 12222 baby ax 23082 yxQP,且，求椭圆的方程。10PQ2，直线 过点与椭圆相交于两点，若为中点，试求直线l) 1 , 1 (P1342
14、2 yxBA,PAB的方程。l3，已知椭圆的标准方程为，试确定的取值范围，使得对于直线C13422 yxm，椭圆上有不同两点关于直线 对称。mxyl 4:Cl四，椭圆中的最值问题四，椭圆中的最值问题1，已知椭圆，直线，椭圆上是否存在一点，它到直线 的192522 yx04054: yxll距离最小？最小距离是多少？2，点分别是椭圆长轴的左右端点，点是椭圆的右焦点，点在椭圆BA,1203622 yxFP上，且位于轴上方，x.PFPA （1）求点的坐标；P（2）设是椭圆长轴上的一点，到直线的距离等于，求椭圆上点到MABMAPMB点的距离的最小值。Md五，椭圆两种定义的应用五，椭圆两种定义的应用1，
15、在直线上任取一点，过且以椭圆的焦点为焦点作椭04: yxlMM1121622 yx圆，问在何处时，所作椭圆长轴最短，并求此椭圆方程。M2，已知椭圆内有一点是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点，使13422 yxFP),1, 1 ( M最小。MFMP2六，综合问题六，综合问题1，过点作直线 交椭圆于两点，当得面积最大时，求)2 , 0(Pl12:22 yxCBA,AOB直线 的方程。l2，已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，斜率为 1 且过椭圆右焦点的直线交OxF椭圆于两点，与共线。BA,OBOA) 1, 3( a（1）求椭圆的离心率；（2）设为椭圆上任意一点，且。求证：为M),(ROBOAOM22定值。3，椭圆的两个焦点为为是椭圆上一点，满足)0( 12222 baby axMcFcF),0 ,(),0 ,(21. 021M
