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1、2018/10/20,四，乘数加速模型,2018/10/20,主要内容,引言 国民收入的凯恩斯静态模型 塞缪尔森模型 数学准备二阶差分方程 模型的求解与应用,2018/10/20,引言,扩大消费会促进投资，从而进一步促进国民收入的提高。 如何定量地刻画这一过程是宏观经济学中的一个重要问题。 诺贝尔经济学奖1970年获奖者塞谬尔森（P.A Samuelson） 建立了一个十分简单的乘数加速模型，并可以化为一个 二阶线性差分方程。通过求解这一差分方程可以解释经济增 长中的一些重要现象。 塞谬尔森是当代对数理经济学最有贡献的经济学家，“新凯 恩斯主义经济学”的领袖。他坚持认为数学对于理解整个经 济学
2、是本质的。他建立了众多的经济学的数学模型，大大提 高了经济科学的分析水平和方法论水平。本例中介绍的乘数 加速模型就是其中的一个典范。,2018/10/20,国民收入的凯恩斯静态模型,令Y表示国民收入，C表示总消费，I表示投资，那么应有：,其中 为最低消费，它是由储蓄等支持的。c 称为“边际消费”，反映了消费随收入增加而增加的倾向。另外总支出 分为消费和投资两部分之和，即：,由总收入等于总支出 即解得：,2018/10/20,国民收入的凯恩斯静态模型,由于 c 越接近1，国民收入越大。这解释了扩大消费可以促进 国民收入的增加，这种效应称为乘数效应。,设 G为政府的支出（如投资基本建设等）则：,此
3、时可解得：,其中,为国民收入增加,2018/10/20,国民收入的凯恩斯静态模型,显然，政府的支出G 拉动了国民收入增加超过了G。称为乘数，乘数越大，政府的干预能力越大。,2018/10/20,塞缪尔森模型,塞缪尔森将凯恩斯模型推广到动态的情形（t年）,可以建立如下学模型：,-国民收入，消费,-投资,前两个方程是凯恩斯静态方程的推广,-自发性投资,-诱发性投资,2018/10/20,塞缪尔森模型,由上述三个方程的第一、第二式即得：,由二、三式可得：,代入上一式略加整理,这是一个线性二阶差分方程模型。,2018/10/20,线性二阶常系数差分方程,考察如下线性二阶常系数差分方程,相应的齐次差分方
4、程,性质1 若 是原方程的一个解， 是相应齐次方程的一个解，则 也是原方程的解。,2018/10/20,线性二阶常系数差分方程,性质2 若 是齐次方程的两个解，则 也是齐次方程的解。,线性二阶常系数差分方程的求解 齐次方程,求它的形如,的解，将其代入方程得,称为差分方程的特征方程。,2018/10/20,线性二阶常系数差分方程,情形1：,，方程有两个实根,从而对任意常数,，,是齐次方程的解，称为通解。,2018/10/20,线性二阶常系数差分方程,情形2：,方程只有一个实根,因此,是齐次差分方程的解。不难验证,也是齐次差分方程的解,，从而,是齐次方程的通解。,2018/10/20,线性二阶常系
5、数差分方程,情形3：,，特征方程有一对共轭复根,可将其改写为：,其中,2018/10/20,线性二阶常系数差分方程,取 为任意共轭复数，则,为两个任意实数，从而：,为齐次方程的通解。,2018/10/20,线性二阶常系数差分方程,现再求非齐次差分方程,的一个特解。若,，那么：,就是原方程的一个特解。 原方程的通解，即为齐次方程的通解，和该特解之和。,2018/10/20,线性二阶常系数差分方程（例）,菲波纳契数与方程,2018/10/20,线性二阶常系数差分方程（例）,将解代入,2018/10/20,塞缪尔森模型的解及其经济应用,对塞缪尔森模型,先来求其次方程的通解，它的特征方程为：,其判别式
6、为：,2018/10/20,塞缪尔森模型的解及其经济应用,(a)当,时，,，特征方程有两个实根：,方程通解为,，又因为非齐次方程的特解为,，塞缪尔森模型的通解为：,对应的齐次,2018/10/20,塞缪尔森模型的解及其经济应用,其中,是任意常数。注意到由韦达定理，,，因此有,，又因为,，有：,所以只可能有以下两种情况：,（即,），当,，即国民收入是无限增长的；,即,当,称,是有阻尼的振荡并收敛于,。,2018/10/20,塞缪尔森模型的解及其经济应用,(b)当,时，,，此时特征方程有重根：,模型的通解为：,其中,是任意常数。,（即,），当,2018/10/20,塞缪尔森模型的解及其经济应用,（即,），当,即,是振荡型发散的。,时，,，此时特征方程有一对共轭复根,其中：,(c)当,令,2018/10/20,塞缪尔森模型的解及其经济应用,模型的通解为：,其中,是任意常数。,即,时，当,即,是有阻尼的单调递减振荡，最终收敛于,，它刻画了经济的。,（即,）时，,是振荡的，且不收敛。,（即,）时，当,，,。,2018/10/20,模型的改进,若引进第t年政府的支出为,，且假设其增长规律为：,则可将塞缪尔森模型修改为如下希克斯（Hichs）模型：,其中,为适当的常数。,
