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1、11 14.14.1 曲边梯形面积与定积分曲边梯形面积与定积分( (一一) )明目标、知重点 1.了解“以直代曲” 、 “以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积及变力所做的功1曲边梯形的面积(1)曲边梯形：曲线与平行于y轴的直线和x轴所围成的图形称为曲边梯形(如图所示)(2)求曲边梯形面积的方法把区间a，b分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲” ，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图所示)(3)求曲边梯形面积的步骤：分割，近似代替，求和，取极限2曲边三角形或曲
2、边梯形的面积：S(xi)x，克服弹簧的拉力的变力所做limnn1 i0f的功：W(xi)x.limnn1 i0f情境导学任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算如图所示的平面图形，是由直线xa，xb(ab)，y0 和曲线yf(x)所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？2探究点一 求曲边梯形的面积思考 1 如何计算下列两图形的面积？答 直接利用梯形面积公式求解转化为三角形和梯形求解思考 2 如图，为求由抛物线yx2与直线x1，y0 所围成的平面图形的面积S，图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？答 已知图
3、形是由直线x1，y0 和曲线yx2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段思考 3 能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤)答 (如图)可以通过把区间0,1分成许多小区间，将曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲” ，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值进行求和，就得到曲边梯形面积的近似值，随着拆分越来越细，近似程度会越来越好3求曲边梯形的面积可以通过分割、近似代替、求和、取极限四个步骤完成思考 4 在“近似代替”中，如果认为函数f(x)x2在区间，
4、(i1,2，n)上i1 ni n的值近似地等于右端点 处的函数值f( )，用这种方法能求出S的值吗？若能求出，这个i ni n值也是 吗？取任意i， 处的函数值f(i)作为近似值，情况又怎样？其原理1 3i1 ni n是什么？答 都能求出S .我们解决此类问题的原理是“近似代替”和“以直代曲” ，在极限状态1 3下，小曲边梯形可以看做小矩形例 1 求由直线x0，x1，y0 和曲线yx2所围成的图形的面积解 (1)分割将区间0,1等分为n个小区间：0， ， ， ， ， ， ，1，1 n1 n2 n2 n3 ni1 ni nn1 n每个小区间的长度为 x .i ni1 n1 n过各分点作x轴的垂线
5、，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作S1，S2，Sn.(2)近似代替在区间， (i1,2，n)上，以的函数值2作为高，小区间的长度i1 ni ni1 n(i1 n)x 作为底边的小矩形的面积作为第i个小曲边梯形的面积，即1 nSi()2 .i1 n1 n(3)求和曲边梯形的面积近似值为SSi()2n i1n i1i1 n1 n0 ( )2 ( )2 ()21 n1 n1 n2 n1 nn1 n1 n41222(n1)21 n3 (1 )(1)1 31 n1 2n(4)取极限曲边梯形的面积为S (1 )(1) .limn1 31 n1 2n1 3反思与感悟 求曲边梯形的思想及步骤：
6、(1)思想：以直代曲、逼近；(2)步骤：分割近似代替求和取极限；(3)关键：近似代替；(4)结果：分割越细，面积越精确跟踪训练 1 求由抛物线yx2与直线y4 所围成的曲边梯形的面积解 yx2为偶函数，图象关于y轴对称，所求曲边梯形的面积应为抛物线yx2(x0)与直线x0，y4 所围图形面积S阴影的 2 倍，下面求S阴影由Error!，得交点为(2,4)，如图所示，先求由直线x0，x2，y0 和曲线yx2围成的曲边梯形的面积(1)分割将区间0,2 n等分，则 x ， 取i.2 n2i1 n(2)近似代替求和Sn2n i12i1 n2 n122232(n1)28 n3 (1 )(1)8 31 n
7、1 2n(3)取极限SSn (1 )(1) .limnlimn8 31 n1 2n8 3所求平面图形的面积为S阴影24 .8 316 352S阴影，32 3即抛物线yx2与直线y4 所围成的图形面积为.32 3探究点二 求变力做功思考 求变速运动的路程问题解法和曲边梯形的面积有什么联系？答 求变速直线运动的路程问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，仍然利用以直代曲的思想，将变速直线运动问题转化为匀速直线运动问题，求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限例 2 如图，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置e m 处，求克服弹力所做的功解 在弹性限度内，拉伸(压缩)弹簧所需的力与弹簧拉伸(压缩)的长度
8、成正比，即F(x)kx(N)，其中k为比例系数将0，en等分，记 x ，分点依次为e nx00，x1 ，x2，xn1，xne.e n2e nn1e n当n很大时，在分段xi，xi1所用的力约为kxi，所做的功 Wikxixkxi.e n则从 0 到e所做的总功W近似地等于Wixixn1 i0n1 i0kn1 i0kie ne n012(n1)ke2 n2.ke2 n2nn1 2ke2 2(11 n)弹簧从平衡位置拉长到e处所做的功为：WWi.limnn1 i0ke2 2答 克服弹力所做的功为 J.ke2 2反思与感悟 以“不变代变”的方法，把变力做功问题转化为求常力做功问题跟踪训练 2 有一辆
9、汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t)3t22(单位：km/h)，那么该汽车在 0t2(单位：h)这段时间内行驶的路程S(单位：km)是多少？6解 (1)分割在时间区间0,2上等间隔地插入n1 个分点，将它分成n个小区间，记第i个小区间为，(i1,2，n)，其长度为 t .每个时间段上行驶2i1 n2i n2i n2i1 n2 n的路程记为 Si(i1,2，n)，则显然有SSi.n i1(2)近似代替取i(i1,2，n)于是2i nSiSiv()t3()222i n2i n2 n (i1,2，n)24i2 n34 n(3)求和SnSi( )(1222n2)4n i1n i124i
10、2 n34 n24 n3424 n3nn12n1 68(1 )(1)4.1 n1 2n从而得到S的近似值SSn.(4)取极限SSn8(1 )(1)48412.limnlimn1 n1 2n所以这段时间内行驶的路程为 12 km.1把区间1,3 n等分，所得n个小区间的长度均为( )A. B. C. D.1 n2 n3 n1 2n答案 B解析 区间1,3的长度为 2，故n等分后，每个小区间的长度均为 .2 n2函数f(x)x2在区间上( )i1 n，inAf(x)的值变化很小Bf(x)的值变化很大7Cf(x)的值不变化D当n很大时，f(x)的值变化很小答案 D解析 当n很大，即 x很小时，在区间
11、， 上，可以认为f(x)x2的值变化很小，i1 ni n近似地等于一个常数3在“近似代替”中，函数f(x)在区间xi，xi1上的近似值等于( )A只能是左端点的函数值f(xi)B只能是右端点的函数值f(xi1)C可以是该区间内任一点的函数值f(i)(ixi，xi1)D以上答案均正确答案 C4求由曲线yx2与直线x1，x2，y0 所围成的平面图形面积时，把区间 5 等分，1 2则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是_答案 1.02解析 将区间 5 等分所得的小区间为1， ， ， ， ， ， ， ， ，2，6 56 57 57 58 58 59 59 5于是所求平面图形的面积近似等于(1)1.02.1 1036 2549 2564 2581 251 10255 25呈重点、现规律求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤：(1)分割：n等分区间a，b；(2)近似代替：取点ixi1，xi；(3)求和：(i)；n1 i0fba n(4)取极限：s(i).“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，limnn1 i0fba n为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点)
