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1、11.4.21.4.2 微积分基本定理微积分基本定理( (一一) )明目标、知重点 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分1微积分基本定理如果F(x)f(x)，且f(x)在a，b上可积，则 f(x)dxF(b)F(a)，其中F(x)叫做b af(x)的一个原函数2定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图(1)，则 f(x)dxS上b a(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图(2)，则 f(x)dxS下b a(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图(3)，则
2、 f(x)dxS上S下，b a若S上S下，则 f(x)dx0.b a情境导学从前面的学习中可以发现，虽然被积函数f(x)x3非常简单，但直接用定积分的定义计算x3dx的值却比较麻烦有没有更加简便、有效的方法求定积分？另外，我们已经学习了1 0两个重要的概念导数和定积分，这两个概念之间有没有内在的联系？我们能否利用这种联系求定积分？探究点一 微积分基本定理2思考 1 如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是yy(t)，并且y(t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t)y(t)设这个物体在时间段a，b内的位移为s，你能分别用y(t)，v(t)表示s吗？答 由物体的运动规律
3、是yy(t)知：sy(b)y(a)，通过求定积分的几何意义，可得sv(t)dty(t)dt，b ab a所以 v(t)dty(t)dty(b)y(a)其中v(t)y(t)b ab a小结 (1)如果f(x)在区间a，b上可积，且F(x)f(x)，则 f(x)dxF(b)b aF(a)这个结论叫做微积分基本定理(2)运用微积分基本定理求定积分 f(x)dx很方便，其关键是准确写出满足F(x)f(x)b a的F(x)思考 2 对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使F(x)f(x)？若不唯一，会影响微积分基本定理的唯一性吗？答 不唯一，根据导数的性质，若F(x)f(x)，则对任意实数
4、c，F(x)cF(x)cf(x)不影响，因为 f(x)dxF(b)cF(a)cF(b)F(a)b a例 1 计算下列定积分：(1)dx；(2) (2x)dx；(3)(cos xex)dx.2 11 x3 11 x20解 (1)因为(ln x) ，1 x所以 dxln x| ln 2ln 1ln 2.2 11 x2 1(2)因为(x2)2x，( )，1 x1 x23所以 (2x)dx 2xdxdx3 11 x23 13 11 x2x2| | (91)( 1).3 11 x3 11 322 3(3)(cos xex)dxcos xdxexdx000sin x|ex|1.001 e反思与感悟 求简单
5、的定积分关键注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限跟踪训练 1 计算下列定积分：(1) (x1)5dx；2 1 32 02sincosdxxx ；(3)dx.2 11 xx1解 (1)因为(x1)5，1 6x16所以 (x1)5dxError!2 12 1 (21)6 (11)6 .1 61 61 6(2)因为sin3xcos x，(1 4sin4x)所以32 0sincosdxxx Error!2 0 sin4 sin40 .1 4 21 41 4(3)令f
6、(x) ，1 xx11 x1 x1取F(x)ln xln(x1)ln ，x x1则F(x) .1 x1 x14所以dx ( )dx2 11 xx12 11 x1 x1Error!ln .2 14 3探究点二 分段函数的定积分例 2 已知函数f(x)Error!先画出函数图象，再求这个函数在0,4上的定积分解 图象如图4242 0022( )sin1(1)f x dxdxdxxdx2242 02 21( cos )()2xxxx 1(2)(40)7. 2 2反思与感悟 求分段函数的定积分，分段标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原分段函数的分段情况即可；对于含绝对值的函数，可转化为分段函数跟踪
7、训练 2 设f(x)Error!求 f(x)dx.11解 f(x)dxx2dx (cos x1)dx11011 0x3|(sin xx)| sin 1 .1 3011 02 3探究点三 定积分的应用例 3 计算下列定积分：sin xdx，sin xdx，sin xdx.由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形 0220的面积表示所发现的结论解 因为(cos x)sin x，所以 sin xdx(cos x)| 0 0(cos )(cos 0)2；sin xdx(cos x)|22(cos 2)(cos )2；5sin xdx(cos x)|2020(cos 2)(cos 0)0.可以发现，定
8、积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是 0：定积分的值与曲边梯形面积之间的关系：(1)位于x轴上方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分；(2)位于x轴下方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分的相反数；(3)定积分的值就是位于x轴上方曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积反思与感悟 求平面图形面积的步骤：(1)画函数的图象，联立方程组求出曲线的交点坐标(2)将曲边形的面积转化为曲边梯形的面积(3)确定被积函数和积分区间，计算定积分，求出面积跟踪训练 3 求曲线ysin x与直线x，x ，y0 所围图形的面积(如图所示) 25 4解 所求面积为S |sin x|dx5 4 20sin xdxsi
9、n xdx sin xdx 2 05 412(1)4.22221定积分 (2xex)dx的值为( )1 0Ae2 Be1Ce De1答案 C解析 (2xex)dx(x2ex)| e.故选 C.1 01 02若 (2x )dx3ln 2，则a的值是( )a11 xA5 B4 C3 D26答案 D解析 (2x )dx 2xdxdxa11 xa1a11 xx2| ln x| a21ln aa1a13ln 2，解得a2.3 (x2x)dx_.2 02 3答案 4 3解析 (x2x)dxx2dxxdx2 02 32 02 02 3| | .x3 3 2 0x2 3 2 08 34 34 34已知f(x)
10、Error!，计算 f(x)dx. 0解 2 002( )( )( )f x dxf x dxf x dx2 02(42 )cos,xdxdx 取F1(x)2x22x，则F1(x)4x2；取F2(x)sin x，则F2(x)cos x.所以2222 00221(42 )cos(22)sin1,2xdxdxxxx 即 f(x)dx 21. 01 2呈重点、现规律1求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性” ，分段积分再求和(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分2由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取 0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数
