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1、运用均值定理求最值的：运用均值定理求最值的：几点注意和常用方法与技巧几点注意和常用方法与技巧著名的平均值不等式,“2121 21nnn naaanaaaRaaa则若仅当时等号成立”是一个应用广泛的不等式，许多外形naaa21), 2(Nnn与它截然相异的函数式，常常也能利用它巧妙地求出最值。且运用均值定理求最值是历年 来高考的热点内容。因此必须掌握用重要不等式求函数的最值。 一、重视运用过程中的三个条件：“正数、取等、定值” 。 （1）注意“正数” 。例 1、求函数的值域 。xxy4误解：（仅当时取等号） ，所以值域为。4424xxxx2x, 4这里错误在于使用均值定理时忽略了条件：abba2
2、Rba,正确解法：；)2(4424,0)(时取等号当时当xxxxxxa44)2(4)4)(2)4()(0,0)(xxxxxxxxxb时取等号当而时当所以函数的值域是。44yyy或（2）注意“取等”例 2、设，求函数的最小值。Rx213xxy误解：拿到很容易想到用均值定理，所以有。3 min3322232312312,yxxxxxxyRx这里的错误是没有考虑等号成立的条件。显然要，这样的不存在，212xxxx故导致错误。此题用均值定理，需要拆项，同时要等号成立，需要配一个系数，正确解法：。时取等号）233221 23(18231 23 2331 23 23 xx xxx xxxy所以。2183,
3、3183min3 yx例 3、的最大值求且有设byaxyxbaRyxba, 6, 3,2222误解：) 1 (29)(21 2,222222222 yxbabyaxyxbxbaax所以的最大值为。byax 29这里（1）取等号的条件是仅当；由条件知这是不可能的，所以不可byax ,能取到上述的最大值。正确解法：仅当222222222)()(,2byaxyxbaaybxxbya时取等，所以。bxay 时取等仅当 6323632222yxbabxaybyax如取23)( , 3,26maxbyaxyxba（3）注意“定值”例 4、已知。的最大值求yxRyxyx2, 12误解：，12),(27)2(
4、)3(3 32yxyxyxyxxyx又时取等当。271,312yxyx时以上过程只能说明当。但没有任何理由说明这种似271 312yxyx时,2712yx是而非的错误解法，关键在于运用重要不等式放缩后的式子不是定值，致使得不出正确的 结果。 正确解法：，272)322(41)34(41441,332yxyxxyxxyxRyx所以仅当。272,61,32, 12,42最大值为时取等号所以而yxyxyxyx二、常用处理方法和技巧 （1）拆项例 5、求函数的最小值。)0(322xxxy解：，xxxy23 2322时取等号）xxxxx232(3623 23 23232332（目标求和的最值，所以凑积凑
5、积为定值，因此拆拆为相同两项，同时使得含变量的因子为相同两项，同时使得含变量的因子x3的次数和为零）的次数和为零）x所以仅当。3 min3 3623 26y，（2）裂项例 6、设，求函数的最小值。1x1)2)(5( xxxy解取等）141(9514) 1(251411 1) 1(4) 1( xxxxxxxxxy先尽可能的让分子变量项和分母相同（常用于分子所含变量因子的次数比分母的含变量因 子的次数大或相等时） ，然后裂项转化为求和的最值，进而凑积凑积为定值。即使得含变量的因即使得含变量的因子子的次数和为零，同时取到等号的次数和为零，同时取到等号1x 所以仅当。9,1minyx时（3）添项例 7
6、、求函数的最小值。22 2163xxy解216)2(3 638)216)(2(326216)2(322 22 22取等xxxxxxy（求和的最值，尽可凑积凑积为定值，因此添加 6，再减法 6，即使得含变量的因子，即使得含变量的因子的次数和为零，同时取到等号）的次数和为零，同时取到等号） 。22x所以当。638,2334minyx例 8、若.的最小值。yxyxyx则且, 191, 0, 0解： 时取等）yx xy yx xy yx xy yxyxyx9(169210991)91)(所以求变量出现在分子，已知条件变量在分母，为此添上 1（即乘 1 即乘） ，yx91变为求和的最值，因此凑积凑积为定
7、值，即使得含变量的因子，即使得含变量的因子的次数和为零，同时取到等号的次数和为零，同时取到等号xy。所以仅当时的最小值为 16。 1241919yxyxyx xyyx 4、放入根号内例 9、求函数的最大值。) 10(122xxxy解932)3122(4)1 (224)1 (13222222 2422 xxxxxxxxxxy（仅当时取等号）22 12xx（把变量都放在同一条件下既根号里，求积的最值，凑和凑和为定值，因此配变量配变量次数次数x 相同且系数和为零，且取到等号）相同且系数和为零，且取到等号）因此仅当。932,36maxyx例 10、已知求函数的最大值。, 20 x)4(62xxy解：)
8、4)(4(218)4(360, 20222222xxxxxyyx,Rx取等）223222 42(33323)4()4(218xxxxx（求积的最值，凑和凑和为定值，因此首先配变量配变量次数相同次数相同,故把变量放到根号内使次数故把变量放到根号内使次数x 升高，再配次数相同和系数和为零，且取到等号）升高，再配次数相同和系数和为零，且取到等号）因此仅当.3332,332maxyx5、分之变量常数化例、11 设求函数的最大值。4332xxy解：由题22324 223 43 43xxx xxxxy 而,Rx取等号）23224 2(34 2234 22xx xxx xxx（分子变量因子次数比分母的大且变
9、量因子不为零，可同时除以分子所含变量因子化 为前面形式解） ，所以仅当。1, 2maxyx6、取倒数例 12、已知，求的最小值。134, yxRyxyx2解：时取等）yxyxx yxxyx32(3241)3322(121322 12113 2 （已知变量出现在分母，所求为变量积且出现在分子，故取倒数再如前面一样求解）因此仅当324)( ,9613432max2 yxyxyxyx练习：做学生用书的怎样最值的相应的例题和练习题，简略答案为： 例 1、 （1）用椭圆的参数方程可把面积表示为角的函数即，2, 1)4sin(2cossin),cos(sin2cossin415tS令,302302135)
10、2, 1(245)2(2152SttS（2） 、打开绝对值要对变量的取值分类：， )21(43)21( 1 )(43)21()(,)(2min2aaaa xfaxxfaxa )21( 1)21(43)(43)21()(,)(2min2aaaa xfaxxfaxb综上：.43)(,21, 1)(,21 21;43)(,21min2 minminaxfaaxfaaxfa例 2、 （1）用图形或添加辅助角或用万能公式进而可解得。.254 yy（3）由题，然后两边平方再用判别式可得解为。682442aaaS623例 3、 （1）。 （2）这里均值定理取不到，故而用单调性0 ,17),0)(2(302r
11、rry求解得。465,83, 2minyhr测式（1）1、 B 用二次函数性质可解得 。2、C 最大利润415)sin(。60)401(10401100000)8050()40()50(1000002 2 xxxxx3、 元后平方即可得解 。4、用二次函数性质求解。 22,21 5511miny5、 面积最大仅当半径最大，.642 maxrS6、 （1）， （2）2)11(, 01max22xxaxax 414( 22 xxa用单调性得。25a7、22)2(22),22(244)(2attyttaxfxxxxxx则令；2,24log, 22)(2 min2222ayaaxataaaty即ayx
12、ta42, 0, 2, 2min即例 4、 （1）因为，51 1001221001tx ty yx tz yxtzyx仅当时取等号。100.10, 1tzyx因为1422,142,222xyxyxyyxxyyx所以，所以。2818)( ,221,242maxxyyx（2）设直线方程然后用弦长公式及点到直线的距离公式可得25 25)1 (42)5)(1 (2)5(122bbbbbbbS01:281(28325 251 4max3 yxSbbbb 直线为时仅当例 5、 （1）找 A 的对称点即可得交点（2，2） ，（2）用椭圆的第二定义得，过 A 作 AN 垂直 L 于 N，即PMPAPBPA 2
13、可得最小值为 5。例 6、由题，令xxxa41342)0(cos22x所以。5)43cos(310 35aarctga例 7、利用椭圆的参数方程，并利用平面几何知识知只需求的最值，MA而,33 3212 331 ,32121 ,328)32(sin32ABMAMA测式（2）1、 （1）由已知；242242, 0322 yxyxyx（2）。10)lg1lg1 (5lg1lg12lg1lg12bababay2、设选择 D) 1( 1 11) 1,(),1,(1 22tttsBCABssCttB3、 （1）， （2）， （3）638miny31maxy243222223 2xctgtgxtgxy4、 （1）令11,45)2(sin41,23,2)2 , 0(2,sec22uutgyx（2）由题知222,2, 1222abccbabc5、，iMyyyyxM3,20),22(41244)(2226、用参数方程可解)9781 ,97272(),9714(2113)sin(97141321PS7、 参数方程),30(454)54(cos5222aaaPA当时无最小值，当。, 1530a2, 131cos,59 531minaaPAa，时结束
