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1、- 1 -椭圆标准方程考点分析及例题讲解椭圆标准方程考点分析及例题讲解考点：考点：1.椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于_ _常数常数_(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这_两个定点两个定点_叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的_焦距焦距_ _思考探究定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？提示：当常数等于|F1F2|时，点的轨迹是线段F1F2；当常数小于|F1F2|时，不表示任何图形2椭圆的标准方程思维聚焦思维聚焦1、椭圆定义的理解：设两定点F1、F2，点到F1、F2的距离之和为 2a(1)当
2、2a|F1F2|时，点的轨迹是椭圆(2)当 2a|F1F2|时，点的轨迹是以F1、F2为端点的线段(3)当 2ab0)或1(ab0)；x2 a2y2 b2y2 a2x2 b2在不能确定焦点位置的情况下也可设mx2ny21(m0，n0 且mn)；(3)找关系：依据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组；焦点在焦点在x x轴上轴上焦点在焦点在y y轴上轴上标准方标准方程程_(_(a a b b0)0)_(_(a a b b0)0)焦点焦点_ _焦距焦距| |F F1 1F F2 2| |_a a，b b，c c的关系的关系_- 2 -(4)得方程：解方程组，将a，b，c或m，n代入所设方程即
3、为所求.考点一、椭圆的定义考点一、椭圆的定义例 1、如图所示，已知经过椭圆1 的右焦点F2的直线AB垂直于x轴，交椭圆x2 25y2 16于A、B两点，F1是椭圆的左焦点(1)求AF1B的周长；(2)如果AB不垂直于x轴，AF1B的周长有变化吗？为什么？分析：因为A、B在椭圆上，所以由椭圆的定义可知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，故|AF1|BF1|AF2|BF2|AF1|BF1|AB|4a为常数解：(1)如上图，由题意知，A、B在椭圆1 上，故有x2 25y2 16|AF2|AF1|2a10，|BF1|BF2|2a2510，|AF2|BF2|AB，ABF1的周长|AF1|BF
4、1|AB|AF1|BF1|AF2|BF2|(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)2a2a4a4520.AF1B的周长为 20.(2)如果AB不垂直于x轴，AF1B的周长仍为 20 不变，因为|AF1|BF1|AB|AF1|BF1|AF2|BF2|(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)4a，与AB和x轴是否垂直无关点拨：本题充分利用了椭圆的定义来解决三角形周长的问题变式训练变式训练1.平面内，若点M到定点F1(0，1)、F2(0,1)的距离之和为 2，则点M的轨迹为( )A椭圆 B直线F1F2 C线段F1F2 D直线F1F2的垂直平分线解析：|MF1|MF2|2|F1F2|，所以点M
5、的轨迹为线段F1F2.2.下列说法中，正确的是( C )- 3 -A平面内与两个定点F1、F2的距离和等于常数的点的轨迹是椭圆B与两个定点F1、F2的距离和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹是椭圆C方程1(ac0)表示焦点在x轴上的椭圆x2 a2y2 a2c2D方程1(a0，b0)表示焦点在y轴上的椭圆x2 a2y2 b2解析：依据方程的结构特点B 中没强调平面内3.设定点F1(0，3)，F2(0,3)，动点P(x，y)满足条件|PF1|PF2|a(a0)，则动点P的轨迹是( )A椭圆 B线段 C椭圆、线段或不存在 D不存在答案 C解析 当a|F1F2|6 时，动点P的轨迹为椭圆；当a|F
6、1F2|6 时，动点P的轨迹为线段；当a0 且a为常数)；命题乙：P点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：乙甲且甲乙，甲是乙的必要不充分条件5.椭圆1 的焦点为F1、F2，AB是椭圆过焦点F1的弦，则ABF2的周长是( )x2 9y2 25A20 B12 C10 D6解析：AB过F1，由椭圆定义知Error!|AB|AF2|BF2|4a20.6.已知F1、F2为椭圆1 的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点若x2 25y2 9|F2A|F2B|12，则|AB|_.解析：|AB|F1A|F1B|(2a|F2A|)(2
7、a|F2B|)4a(|F2A|F2B|)20128.7.(2010新课标全国)设F1，F2分别是椭圆E：x21(0|PA|，|PF2|PA|AF2|，当且仅当P、A、F2三点共线时，|PF2|PA|AF2|.所以当P、A、F2三点共线时，|PF1|PA|有最小值为 6.22考点二、椭圆的标准方程考点二、椭圆的标准方程例 1、求经过两点P1( ， )，P2(0， )的椭圆的标准方程1 31 31 2分析：求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量” ，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可解 解法一：当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为1(a
8、b0)，x2 a2y2 b2依题意知Error!解得Error!a2 b0)y2 a2x2 b2由题意得Error!解得Error!故所求椭圆的标准方程为1.y2 1 4x2 1 5解法二：设所求椭圆的方程为Ax2By21(A0，B0，AB)由题意，得Error!解得Error!所求的椭圆方程为 5x24y21.点拨：- 5 -(1)确定曲线的方程时，若能明确方程的形式，则可设出曲线方程，建立含参数的等式，求出参数的值，再代入所设方程(2)由于椭圆Ax2By21(A0，B0，AB)包含焦点在x轴上(AB)两类情况，因此解法二的处理避免了分类讨论，达到了简化运算的目的变式训练变式训练 1.椭圆
9、2x23y212 的两焦点之间的距离是( )A2B. C. D2101022答案 D解析 椭圆方程 2x23y212 可化为：1，a26，b24，c2642，2c2.x2 6y2 422.椭圆 5x2ky25 的一个焦点是(0,2)，那么k的值为( )A1 B1 C. D55答案 B解析 椭圆方程 5x2ky25 可化为：x21，y2 5 k又焦点是(0,2)，a2 ，b21，c2 14，k1.5 k5 k3.已知方程1 表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是( )x2 25my2 m9A98答案 B解析 由题意得Error!，解得 8n，x2 ny2 m椭圆的焦点在y轴上，排除 B、D，又
10、nm，无意义，排除 A，故选 C.mn5.椭圆的两焦点为(2,0)和(2,0)且椭圆过点( ， )，则方程为( )5 23 2A.1 B.1 C.1 D.1y2 8x2 4y2 4x2 8y2 10x2 6x2 10y2 6解析：由题意知c24，又焦点在x轴上，设1，把( ， )代入得a210.x2 a2y2 a245 23 26.椭圆 25x216y21 的焦点坐标为( )- 6 -A(3,0) B( ，0) C(，0) D(0，)1 33 203 20解析：椭圆方程可化为1.x2 1 25y2 1 167.已知椭圆过点P和点Q，则此椭圆的标准方程是( ) 4,533 ,54A.x21 B.
11、y21 或x21 C.y21 D以上都不对y2 25x2 25y2 25x2 25答案 A解析 设椭圆方程为：Ax2By21(A0，B0)由题意得Error!，解得Error!8.当 30 且k30.(1)若 9kk3，即 3b0)x2 a2y2 b2由已知条件得Error!，解得Error!.所以所求椭圆的标准方程为1.x2 8y2 4若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0)y2 a2x2 b2由已知条件得Error!，解得Error!.即a24，b28，则a2b0 矛盾，舍去综上，所求椭圆的标准方程为1.x2 8y2 4方法二 设椭圆的一般方程为Ax2By21(A0，B0，AB)将两
12、点(2，)，(1，)代入，2142得Error!，解得Error!，所以所求椭圆的标准方程为1.x2 8y2 410. (福建高考福建高考) )已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，求椭圆C的标准方程- 7 -解：解法一 依题意，可设椭圆C的方程为1(ab0)，且可知左焦点为F(2,0)x2 a2y2 b2从而有Error!，解得Error!.又a2b2c2，所以b212，故椭圆C的标准方程为1.x2 16y2 12解法二 依题意，可设椭圆C的方程为1(ab0)，则Error!，x2 a2y2 b2解得b212 或b23(舍去)，从而a216.所以椭圆C的标准方程为1.x2
13、 16y2 12考点三、椭圆的焦点三角形问题考点三、椭圆的焦点三角形问题例 1、如图所示，点P是椭圆1 上的一点，F1和F2是焦点，且F1PF230，y2 5x2 4求F1PF2的面积分析：由题目可获取以下主要信息：(1)椭圆方程为1；(2)F1，F2是焦点，P是椭圆上一点且F1PF230.y2 5x2 4解答本题可先利用a，b，c三者关系求出|F1F2|，再利用定义及余弦定理求出|PF1|、|PF2|，最后求出.12F PFSA解：在椭圆1 中，a，b2，c1.y2 5x2 45a2b2又P在椭圆上，|PF1|PF2|2a25由余弦定理知：|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos3
14、0|F1F2|2(2c)24式两边平方，得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|20，得(2)|PF1|PF2|16，|PF1|PF2|16(2)，33 |PF1|PF2|sin3084. 1 2PF FSA1 23- 8 -点拨：椭圆的焦点三角形问题，常常运用正弦定理与余弦定理将三角形中的边与角联系起来，所以具有相当高的综合性在焦点三角形中，常用的结论有：(1)|PF1|PF2|2a；(2)若F1PF2，则|PF1|PF2|，Sb2tan，|yP|tan.b2cos22 12F PFA 2b2 c 2变式训练变式训练 1.若ABC的两个焦点坐标为A(4,0)、B(4,0)，ABC的周长为 18，则顶点C的轨迹方程为( )A.1 B.1(y0) C.1(y0) D.1(y0)x2 25y2
