《2016届《步步高》高考数学大一轮总复习（人教新课标文科）配套文档 9.4 椭圆 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016届《步步高》高考数学大一轮总复习（人教新课标文科）配套文档 9.4 椭圆 （16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系1判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系dr相离(2)代数法：Error!Error!判别式b24ac知识拓展圆的切线方程常用结论(1)过圆 x2y2r2上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为 x0xy0yr2.(2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)过圆 x2y2r2外一点 M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 x0xy0yr2.2圆与圆的位置关系设圆 O1：(xa1)2
2、(yb1)2r (r10)，2 1圆 O2：(xa2)2(yb2)2r (r20).2 2方法位置关系几何法：圆心距 d 与 r1，r2的关系代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况外离dr1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|0，所以不论 k 为何实数，直线 l 和圆 C 总有两个交点(2)解 设直线与圆交于 A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则直线 l 被圆 C 截得的弦长|AB|x1x2|1k222 ，84k11k21k2114k31k2令 t，则 tk24k(t3)0，4k31k2当 t0 时，k ，当 t0 时，因为 kR，34所以 164t(t3)0，解得1t4，
3、且 t0，故 t的最大值为 4，此时|AB|最小为 2.4k31k27方法二 (1)证明 圆心 C(1，1)到直线 l 的距离 d，圆 C 的半径|k2|1k2R2，R2d212，而在 S11k24k8 中，3k24k41k211k24k81k2(4)241180 对 kR 恒成立，所以 R2d20，即 d1，1a2b2a2b2所以点 P 在圆外(2)圆心为(2，1)，半径 r2.圆心到直线的距离 d，|22 13|143 55所以弦长为 22 .r2d2223 5522 555题型二 圆的切线问题例 2 (1)过点 P(2,4)引圆(x1)2(y1)21 的切线，则切线方程为_；(2)已知圆
4、 C：(x1)2(y2)210，求满足下列条件的圆的切线方程与直线 l1：xy40 平行；与直线 l2：x2y40 垂直；过切点 A(4，1)思维点拨 用待定系数法，先设出切线方程，再求系数(1)答案 x2 或 4x3y40解析 当直线的斜率不存在时，直线方程为 x2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为 y4k(x2)，即 kxy42k0，直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，即 d1，|k142k|k212|3k|k21解得 k ，43所求切线方程为 xy42 0，4343即 4x3y40.(2)解 设切线方程为 xyb0，则，b12，
5、|12b|2105切线方程为 xy120；5设切线方程为 2xym0，则，m5，|22m|5102切线方程为 2xy50；2kAC ，211413过切点 A(4，1)的切线斜率为3，过切点 A(4，1)的切线方程为 y13(x4)，即 3xy110.思维升华 求圆的切线方程的常用方法：(1)设出切线方程，由几何性质确定参数值(2)过圆外一点(x0，y0)求切线，既可采用几何法也可采用代数法几何方法：当斜率存在时，设为 k，切线方程为 yy0k(xx0)，由圆心到直线的距离等于半径求解代数方法：当斜率存在时，设切线方程为 yy0k(xx0)，即 ykxkx0y0，代入圆方程，得一个关于 x 的一
6、元二次方程，由 0，求得 k，切线方程即可求出(2013江苏)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(0,3)，直线 l：y2x4.设圆 C 的半径为 1，圆心在 l 上(1)若圆心 C 也在直线 yx1 上，过点 A 作圆 C 的切线，求切线的方程；(2)若圆 C 上存在点 M，使|MA|2|MO|，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围解 (1)由题设，圆心 C 是直线 y2x4 和 yx1 的交点，解得点 C(3,2)，于是切线的斜率必存在设过 A(0,3)的圆 C 的切线方程为 ykx3，由题意，得1，解得 k0 或 ，|3k1|k2134故所求切线方程为 y3 或 3x4y120.
7、(2)因为圆心在直线 y2x4 上，所以圆 C 的方程为(xa)2y2(a2)21.设点 M(x，y)，因为|MA|2|MO|，所以2 ，化简得x2y32x2y2x2y22y30，即 x2(y1)24，所以点 M 在以 D(0，1)为圆心，2 为半径的圆上由题意，点 M(x，y)在圆 C 上，所以圆 C 与圆 D 有公共点，则|21|CD|21，即 13.a22a32由 5a212a80，得 aR；由 5a212a0，得 0a.125所以点 C 的横坐标 a 的取值范围为.0，125题型三 圆与圆的位置关系例 3 (1)已知两圆 C1：x2y22x10y240，C2：x2y22x2y80，则两
8、圆公共弦所在的直线方程是_(2)两圆 x2y26x6y480 与 x2y24x8y440 公切线的条数是_(3)已知O 的方程是 x2y220，O的方程是 x2y28x100，若由动点 P 向O和O所引的切线长相等，则动点 P 的轨迹方程是_答案 (1)x2y40 (2)2 (3)x32解析 (1)两圆的方程相减得：x2y40.(2)两圆圆心距 d0，N(x，y)|(x1)2(y)2a2，a0，且2a2x23MN，求 a 的最大值和最小值(1)答案 D解析 圆 C1：x2y22y0 的圆心为：C1(0,1)，半径 r11，圆 C2：x2y22x60 的圆心为：C2(，0)，半径 r23，33|
9、C1C2|2，又 r1r24，r2r12， 321|C1C2|r2r12，圆 C1与 C2内切(2)解 M(x，y)|y，a0，即(x，y)|x2y22a2，y0，表示以原点 O 为圆心，2a2x2半径等于a 的半圆(位于横轴或横轴以上的部分)2N(x，y)|(x1)2(y)2a2，a0，表示以 O(1，)为圆心，半径等于 a 的一个圆33再由 MN，可得半圆和圆有交点，故半圆和圆相交或相切当半圆和圆相外切时，由|OO|2aa，2求得 a22；2当半圆和圆相内切时，由|OO|2aa，2求得 a22，2故 a 的取值范围是22,22，a 的最大值为 22，最小值为 22.2222高考中与圆交汇问
10、题的求解一、与圆有关的最值问题典例：(1)(2014江西)在平面直角坐标系中，A，B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2xy40 相切，则圆 C 面积的最小值为( )A. B. 4534C(62) D. 554(2)(2014北京)已知圆 C：(x3)2(y4)21 和两点 A(m,0)，B(m，0)(m0)，若圆 C 上存在点 P，使得APB90，则 m 的最大值为( )A7 B6 C5 D4思维点拨 (1)原点 O 在圆上，当切点与 O 连线过圆心时，半径最小(2)以 AB 为直径的圆与圆 C 有交点解析 (1)AOB90，点 O 在圆 C 上设直线
11、2xy40 与圆 C 相切于点 D，则点 C 与点 O 间的距离等于它到直线 2xy40 的距离，点 C 在以 O 为焦点，以直线 2xy40 为准线的抛物线上，当且仅当 O，C，D 共线时，圆的直径最小为|OD|.又|OD|，|2 004|545圆 C 的最小半径为，25圆 C 面积的最小值为 ()2 .2545(2)根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心 C 的坐标为(3,4)，半径 r1，且|AB|2m.因为APB90，连接 OP，易知|OP| |AB|m.12要求 m 的最大值，即求圆 C 上的点 P 到原点 O 的最大距离因为|OC|5，所以|OP|max|OC|r6，3242即 m
12、 的最大值为 6.答案 (1)A (2)B温馨提醒 与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化如本例(1)中，将面积问题转化为了点到直线的距离；(2)中，将参数范围转化为了两圆位置关系问题熟练掌握圆的几何性质是解决问题的根本二、圆与不等式的交汇问题典例：(3)设 m，nR，若直线(m1)x(n1)y20 与圆(x1)2(y1)21 相切，则mn 的取值范围是( )A1，133B(，11，)33C22，2222D(，2222，)22(4)(2014安徽)过点 P(，1)的直线 l 与圆
13、 x2y21 有公共点，则直线 l 的倾斜角的取值3范围是( )A. B.(0，6(0，3C. D.0，60，3思维点拨 圆与不等式的交汇实质上反映了圆的独特性质，即圆内点、圆外点的性质，直线与圆相交、相离的性质，圆与圆的相交、相离的性质等，这些问题反映在代数上就是不等式的形式解析 (3)根据圆心到直线的距离是 1 得到 m，n 的关系，再用基本不等式求解圆心(1,1)到直线(m1)x(n1)y20 的距离为1，|mn|m12n12所以 mn1mn (mn)2，14所以 mn22或 mn22.22(4)设过点 P 的直线方程为 yk(x)1，则由直线和圆有公共点知1.3| 3k1|1k2解得
14、0k.故直线 l 的倾斜角的取值范围是0， 33答案 (3)D (4)D温馨提醒 直线与圆位置关系的考查，一般是已知位置关系求参数值，基本不等式的考查，一般是给出参数关系，利用基本不等式求最值或范围而典例(3)却以直线与圆的位置关系给出参数之间的数量关系，利用基本不等式转化，结合换元法把关系转化为一元二次不等式，从而求得 mn 的取值范围，这一交汇命题新颖独特，考查知识全面，难度中等，需要注意各知识点应熟练掌握才能逐一化解方法与技巧1直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合， “代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的2求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程注意：斜率不存在的情形3圆的弦长的常用求法(1)几何法：求圆的半径为 r，弦心距为 d，弦长为 l，则2r2d2；(l2)(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：|AB|x1x2|1k2.1
