《2016届《步步高》高考数学大一轮总复习（人教新课标文科）配套文档 8.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016届《步步高》高考数学大一轮总复习（人教新课标文科）配套文档 8.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 （14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、8.2 空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系1四个公理公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行2直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类Error!Error!(2)异面直线所成的角定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 aa，bb，把 a与 b所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a，b 所成的角(或夹角)范围：.(0，23直线与平面的位置关系有平行、相
2、交、在平面内三种情况4平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况5等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果两个不重合的平面 ， 有一条公共直线 a，就说平面 ， 相交，并记作 a.( )(2)两个平面 ， 有一个公共点 A，就说 ， 相交于过 A 点的任意一条直线( )(3)两个平面 ， 有一个公共点 A，就说 ， 相交于 A 点，并记作 A.( )(4)两个平面 ABC 与 DBC 相交于线段 BC.( )(5)经过两条相交直线，有且只有一个平面( )1下列命题正确的个数为( )梯形可以确定一个平面；
3、若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合A0 B1 C2 D3答案 C解析 中两直线可以平行、相交或异面，中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，正确2(2014广东)若空间中四条两两不同的直线 l1，l2，l3，l4，满足 l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是( )Al1l4Bl1l4Cl1与 l4既不垂直也不平行Dl1与 l4的位置关系不确定答案 D解析 如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，记l1DD1，l2DC，l3DA，若 l4AA1，满足 l1l2，l2l3，l3
4、l4，此时l1l4，可以排除选项 A 和 C.若 l4DC1，也满足条件，此时 l1与 l4相交，可以排除选项 B.故选 D.3(教材改编)如图所示，已知在长方体 ABCDEFGH 中，AB2，AD2，AE2，则 BC 和 EG 所成角的大小是33_，AE 和 BG 所成角的大小是_答案 45 60解析 BC 与 EG 所成的角等于 AC 与 BC 所成的角即ACB，tanACB1，ACB45，ABBC2 32 3AE 与 BG 所成的角等于 BF 与 BG 所成的角即GBF，tanGBF，GBF60.GFBF2 3234已知空间四边形 ABCD 中，M、N 分别为 AB、CD 的中点，则下列
5、判断：MN (ACBD)；MN (ACBD)；MN (ACBD)；MN (ACBD)12121212其中正确的是_答案 解析 如图，取 BC 的中点 O，连接 MO、NO，则 OM AC，ON BD，1212在MON 中，MNOMON (ACBD)，12正确题型一 平面基本性质的应用例 1 如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别是 AB 和 AA1的中点求证：(1)E、C、D1、F 四点共面；(2)CE、D1F、DA 三线共点思维点拨 第(2)问先证 CE 与 D1F 交于一点，再证该点在直线 DA 上证明 (1)连接 EF，CD1，A1B.E、F 分别是 AB、AA1的中
6、点，EFBA1.又 A1BD1C，EFCD1，E、C、D1、F 四点共面(2)EFCD1，EFCD1，CE 与 D1F 必相交，设交点为 P，则由 PCE，CE平面 ABCD，得 P平面 ABCD.同理 P平面 ADD1A1.又平面 ABCD平面 ADD1A1DA，P直线 DA.CE、D1F、DA 三线共点思维升华 公理 1 是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理 2 及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理 3 是证明三线共点或三点共线的依据如图，平面 ABEF平面 ABCD，四边形 ABEF 与四边形 ABCD 都是直角梯形，BADFAB90，BCAD 且BC AD，BEAF 且 BE
7、 AF，G、H 分别为 FA、FD 的中点1212(1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形；(2)C、D、F、E 四点是否共面？为什么？(1)证明 由已知 FGGA，FHHD，可得 GH 綊 AD.12又 BC 綊 AD，GH 綊 BC.12四边形 BCHG 为平行四边形(2)解 BE 綊 AF，G 是 FA 的中点，BE 綊 FG，12四边形 BEFG 为平行四边形，EFBG.由(1)知 BG 綊 CH，EFCH，EF 与 CH 共面又 DFH，C、D、F、E 四点共面题型二 判断空间两直线的位置关系例 2 (1)如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别是 BC1，CD1的
8、中点，则下列判断错误的是( )AMN 与 CC1垂直BMN 与 AC 垂直CMN 与 BD 平行DMN 与 A1B1平行(2)在图中，G、N、M、H 分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH、MN 是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)思维点拨 (1)连接 B1C，B1D1，则点 M 点是 B1C 的中点，证明 MNB1D1；(2)先判断直线GH、MN 是否共面，若不共面，再利用异面直线的判定定理判定答案 (1)D (2)解析 (1)连接 B1C，B1D1，则点 M 是 B1C 的中点，MN 是B1CD1的中位线，MNB1D1，CC1B1D1，A
9、CB1D1，BDB1D1，MNCC1，MNAC，MNBD.又A1B1与 B1D1相交，MN 与 A1B1不平行，故选 D.(2)图中，直线 GHMN；图中，G、H、N 三点共面，但 M面 GHN，因此直线 GH 与 MN 异面；图中，连接 MG，GMHN，因此 GH 与 MN 共面；图中，G、M、N 共面，但 H面 GMN，因此 GH 与 MN 异面所以图中 GH 与 MN 异面思维升华 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理 4 及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面
10、垂直的性质来解决如图，已知不共面的三条直线 a、b、c 相交于点P，Aa，Ba，Cb，Dc，求证：AD 与 BC 是异面直线证明 方法一 (反证法)假设 AD 和 BC 共面，所确定的平面为 ，那么点 P、A、B、C、D 都在平面 内，直线 a、b、c 都在平面 内，与已知条件 a、b、c 不共面矛盾，假设不成立，AD 和 BC 是异面直线方法二 (直接证法)acP，它们确定一个平面，设为 ，由已知 C平面 ，B平面 ，BC平面 ，AD平面 ，BAD，AD 和 BC 是异面直线题型三 求两条异面直线所成的角例 3 空间四边形 ABCD 中，ABCD 且 AB 与 CD 所成的角为 30，E、F
11、分别为 BC、AD 的中点，求 EF 与 AB 所成角的大小思维点拨 取 AC 中点，利用三角形中位线的性质作出所求角解 取 AC 的中点 G，连接 EG、FG，则 EG 綊 AB，FG 綊 CD，1212由 ABCD 知 EGFG，GEF(或它的补角)为 EF 与 AB 所成的角，EGF(或它的补角)为 AB 与 CD所成的角AB 与 CD 所成的角为 30，EGF30或 150.由 EGFG 知EFG 为等腰三角形，当EGF30时，GEF75；当EGF150时，GEF15.故 EF 与 AB 所成的角为 15或 75.思维升华 (1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种
12、类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移(2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求” 其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点” ，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解(1)(2014大纲全国)已知正四面体 ABCD 中，E 是 AB 的中点，则异面直线 CE 与BD 所成角的余弦值为( )A. B. C. D.16361333(2)直三棱柱 ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线 BA1与 AC1所成的角等于( )A30 B45 C60 D
13、90答案 (1)B (2)C解析 (1)画出正四面体 ABCD 的直观图，如图所示设其棱长为 2，取 AD 的中点 F，连接 EF，设 EF 的中点为 O，连接 CO，则 EFBD，则FEC 就是异面直线 CE 与 BD 所成的角ABC 为等边三角形，则 CEAB，易得 CE，3同理可得 CF，3故 CECF.因为 OEOF，所以 COEF.又 EO EF BD ，121412所以 cosFEC.EOCE12336(2)如图，可补成一个正方体，AC1BD1.BA1与 AC1所成角的大小为A1BD1.又易知A1BD1为正三角形，A1BD160.即 BA1与 AC1成 60的角构造模型判断空间线面
14、位置关系典例：已知 m，n 是两条不同的直线， 为两个不同的平面，有下列四个命题：若 m，n，mn，则 ；若 m，n，mn，则 ；若 m，n，mn，则 ；若 m，n，则 mn.其中所有正确的命题是( )A B C D思维点拨 构造一个长方体模型，找出适合条件的直线与平面，在长方体内判断它们的位置关系解析 借助于长方体模型来解决本题，对于，可以得到平面 ， 互相垂直，如图(1)所示，故正确；对于，平面 、 可能垂直，如图(2)所示；对于，平面 、 可能垂直，如图(3)所示；对于，由 m， 可得 m，因为 n，所以过 n 作平面 ，且 g，如图(4)所示，所以 n 与交线 g 平行，因为 mg，所
15、以 mn.答案 A温馨提醒 (1)构造法实质上是结合题意构造合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误；(2)对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断方法与技巧1主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理 3 可知这些点在交线上，因此共线2判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是异
