《2016届《步步高》高考数学大一轮总复习（人教新课标文科）配套文档 2.6 幂函数与二次函数 word版含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016届《步步高》高考数学大一轮总复习（人教新课标文科）配套文档 2.6 幂函数与二次函数 word版含解析（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.6 对数与对数函数对数与对数函数1对数的概念如果 axN(a0 且 a1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 xlogaN，其中_a_叫做对数的底数，_N_叫做真数2对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果 a0 且 a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；MNlogaMnnlogaM (nR)； logaM.logmn aMnm(2)对数的性质_N_；logaaN_N_(a0 且 a1)logaNa(3)对数的重要公式换底公式：logbN (a，b 均大于零且不等于 1)；logaNlogablogab，推广 logab
2、logbclogcdlogad.1logba3对数函数的图象与性质a101 时，y0当 01 时，y0(6)在(0，)上是增函数(7)在(0，)上是减函数4.反函数指数函数 yax与对数函数 ylogax 互为反函数，它们的图象关于直线_yx_对称【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若 log2(log3x)log3(log2y)0，则 xy5.( )(2)2log510log50.255.( )(3)已知函数 f(x)lg x，若 f(ab)1，则 f(a2)f(b2)2.( )(4)当 x1 时，logax0.( )(5)当 x1 时，若 logaxlogbx，
3、则 a0，ca，b1 时，函数单调递增，所以只有选项 B 正确3函数 f(x)log5(2x1)的单调增区间是_答案 ( ，)12解析 函数 f(x)的定义域为( ，)，12令 t2x1(t0)因为 ylog5t 在 t(0，)上为增函数，t2x1 在( ，)上为增函数，12所以函数 ylog5(2x1)的单调增区间是( ，)124已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在0，)上为增函数，f0，则不等式(13)0 的解集为_1 8(log)fx答案 (2，)(0，12)解析 f(x)是 R 上的偶函数，它的图象关于 y 轴对称f(x)在0，)上为增函数，f(x)在(，0上为减函数，由 f0
4、，得 f0.(13)(13)01 8(log)fx1 8log x131 8log x13x2 或 04，所以 f(3log23) 23 log 31( )2182log 31( )2 .1813124题型二 对数函数的图象和性质例 2 (1)函数 y2log4(1x)的图象大致是( )(2)已知 f(x)是定义在(，)上的偶函数，且在(，0上是增函数，设 af(log47)，b，cf(0.20.6)，则 a，b，c 的大小关系是( )1 2(log 3)fAc2log49，3 51( )55125532又 f(x)是定义在(，)上的偶函数，且在(，0上是增函数，故 f(x)在0，)上是单调递
5、减的，f(0.20.6)0 且 a1)的图象过两点(1，0)和(0,1)，则a_，b_.答案 (1)A (2)2 2解析 (1)b0.820.80 且 a1，设 t(x)3ax，则 t(x)3ax 为减函数，x0,2时，t(x)最小值为 32a，当 x0,2时，f(x)恒有意义，即 x0,2时，3ax0 恒成立32a0.a0 且 a1，a(0,1).(1，32)(2)t(x)3ax，a0，函数 t(x)为减函数f(x)在区间1,2上为减函数，ylogat 为增函数，a1，x1,2时，t(x)最小值为 32a，f(x)最大值为 f(1)loga(3a)，Error!Error!即Error!Er
6、ror!故不存在这样的实数 a，使得函数 f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为 1.思维升华 解决对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质(1)要分清函数的底数是 a(0,1)，还是 a(1，)；(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误已知 f(x)log4(4x1)(1)求 f(x)的定义域；(2)讨论 f(x)的单调性；(3)求 f(x)在区间 ，2上的值域12解 (1)由 4x10，解得 x0，因此 f(x)的定义域为(0，)(2)设 0bc Bba
7、cCacb Dcab(3)已知函数 yf(x)的图象关于 y 轴对称，且当 x(，0)时，f(x)xf(x)ac BcabCcba Dacb思维点拨 (1)利用幂函数 yx0.5和对数函数 ylog0.3x 的单调性，结合中间值比较 a，b，c的大小；(2)化成同底的指数式，只需比较 log23.4、log43.6、log30.3log3的大小即可，可以利用103中间值或数形结合进行比较；(3)先判断函数 (x)xf(x)的单调性，再根据 20.2，log3，log39 的大小关系求解解析 (1)根据幂函数 yx0.5的单调性，可得 0.30.5log0.30.31，即 c1.所以 blog3
8、log43.6.103方法二 log3log331，且1，103log43.6log3log43.6.103由于 y5x为增函数，.32410loglog 3.4log 3.63555即，故 acb.324log 0.3log 3.4log 3.615( )55(3)因为函数 yf(x)关于 y 轴对称，所以函数 yxf(x)为奇函数因为xf(x)f(x)xf(x)，且当 x(，0)时，xf(x)f(x)xf(x)ac，选 A.答案 (1)C (2)C (3)A温馨提醒 (1)比较幂、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数单调性两种方法(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函
9、数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选 0或 1.方法与技巧1对数值取正、负值的规律当 a1 且 b1 或 00；当 a1 且 01 时，logab0对数函数的单调性和 a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按 01 进行分类讨论3比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性4多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线 y1 交点的横坐标进行判定失误与防范1在运算性质 logaMlogaM 中，要特别注意条件，在无 M0 的条件下应为logaMloga|M|(N，且
10、 为偶数)2指数函数 yax (a0，且 a1)与对数函数 ylogax(a0，且 a1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别3解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.A 组 专项基础训练(时间：45 分钟)1(2014福建)若函数 ylogax(a0，且 a1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )答案 B解析 由题意得 ylogax(a0，且 a1)的图象过(3,1)点，可解得 a3.选项 A 中，y3x( )13x，显然图象错误；选项 B 中，yx3，由幂函数图象可知正确；选项 C 中，y(x)3
11、x3，显然与所画图象不符；选项 D 中，ylog3(x)的图象与 ylog3x 的图象关于 y 轴对称显然不符故选 B.2函数 f(x)loga(ax3)在1,3上单调递增，则 a 的取值范围是( )A(1，) B(0,1) C. D(3，)(0，13)答案 D解析 由于 a0，且 a1，故 uax3 为增函数，因为函数 f(x)为增函数，则 f(x)logau 必为增函数，因此 a1.又 yax3 在1,3上恒为正，所以 a30，即 a3，故选 D.3已知 xln ，ylog52，z，则( )1 2eAxln e，x1.ylog52 ， 0 且 a1，故必有 a212a.又 loga(a21
12、)1，a ，综上，a( ，1)12125设函数 f(x)Error!Error!若 f(a)f(a)，则实数 a 的取值范围是( )A(1,0)(0,1) B(，1)(1，)C(1,0)(1，) D(，1)(0,1)答案 C解析 f(a)f(a)Error!Error!或Error!Error!Error!Error!或Error!Error!a1 或12解析 当 x0 时，3x11x10，10 时，log2x1x2，x2.综上所述，x 的取值范围为12.8若 log2a1 时，log2a0，1a21.1a0，1a21a，1a21aa2a0，a1，此时不合题意综上所述，a.(12，1)9已知函
13、数 f(x)loga(x1)loga(1x)，a0 且 a1.(1)求 f(x)的定义域；(2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明；(3)当 a1 时，求使 f(x)0 的 x 的解集解 (1)要使函数 f(x)有意义则Error!Error!解得11 时，f(x)在定义域x|101，解得 00 的 x 的解集是x|0| 1| 1|，1312f( )0，解得 x2.故函数的定义域为(，1)(2，)因为当 x2 时，t 单调递增，而 ylogat 在(0，)上单调递减，故函数的单调递增区间为(，1)15设 x2,8时，函数 f(x) loga(ax)loga(a2x)(a0，且 a1)的最大值是 1，最小值是12 ，求 a 的值18解 由题意知 f(x) (logax1)(logax2)12 (log x3logax2) (logax )2 .122 a123218当 f(x)取最小值 时，logax .1832又x2,8，a(0,1)f(x)是关于 logax 的二次函数，函数 f(x)的最大值必在 x2 或 x8 时取得若 (loga2 )2 1，则 a2，1232181 3此时 f(x)取得最小值时，x(2)2,8，舍去1 33 22若 (loga8 )2 1，则 a ，12321812此时 f(x)取得最小值时，x( )22,8，123 22符合题意，a .12
