《2016届《步步高》高考数学大一轮总复习（人教新课标文科）配套学案23 正弦定理和余弦定理 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016届《步步高》高考数学大一轮总复习（人教新课标文科）配套学案23 正弦定理和余弦定理 （8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、解三角形与平面向量解三角形与平面向量学案学案 23 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理 导学目标： 1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题.2.掌 握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题自主梳理 1三角形的有关性质 (1)在ABC 中，ABC_； (2)ab_c，abbsin A_sin BA_B；(4)三角形面积公式：SABC ah absin C acsin B_；121212 (5)在三角形中有：sin 2Asin 2BAB 或_三角形为等腰或直角三 角形；sin(AB)sin C，sin cos .AB2C2 2正弦定理和余弦定理 定理正弦定
2、理余弦定理内容_ 2Ra2_， b2_， c2_.变形 形式a_， b_， c_； sin A_， sin B_， sin C_； abc_；abcsin Asin Bsin Casin Acos A_； cos B_； cos C_.解决 的问题已知两角和任一边，求另一角和其 他两条边 已知两边和其中一边的对角，求另 一边和其他两角已知三边，求各角； 已知两边和它们的夹角，求第三边 和其他两个角.自我检测 1(2010上海)若ABC 的三个内角满足 sin Asin Bsin C51113，则ABC( ) A一定是锐角三角形 B一定是直角三角形 C一定是钝角三角形 D可能是锐角三角形，也可能
3、是钝角三角形 2(2010天津)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 a2b2bc，sin C2sin B，则 A 等于 33 ( ) A30B60C120D150 3(2011烟台模拟)在ABC 中，A60，b1，ABC 的面积为，则边 a 的值为( )3A2B.721C.D3134(2010山东)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 a，b2，2sin Bcos B，则角 A 的大小为_25(2010北京)在ABC 中，若 b1，c，C，则 a_.323探究点一 正弦定理的应用 例 1 (1)在ABC 中，a，b，B45，求角 A、C 和边
4、c；32(2)在ABC 中，a8，B60，C75，求边 b 和 c.变式迁移 1 (1)在ABC 中，若 tan A ，C150，BC1，则 AB_；13 (2)在ABC 中，若 a50，b25，A45，则 B_.6探究点二 余弦定理的应用 例 2 (2011咸宁月考)已知 a、b、c 分别是ABC 中角 A、B、C 的对边，且 a2c2b2ac. (1)求角 B 的大小； (2)若 c3a，求 tan A 的值变式迁移 2 在ABC 中，a、b、c 分别为 A、B、C 的对边，B，b，ac4，求 a.2313探究点三 正、余弦定理的综合应用 例 3 在ABC 中，a、b、c 分别表示三个内角
5、 A、B、C 的对边，如果(a2b2)sin(AB) (a2b2)sin(AB)，试判断该三角形的形状变式迁移 3 (2010天津)在ABC 中，.ACABcos Bcos C (1)证明：BC；(2)若 cos A ，求 sin的值13(4B3)1解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用，用到三角变换的基本方法，同时它是对正、余弦定理，三角形面积公式等的综合应用2在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍3在解三角形中的三角变换问题时，要注意两点
6、：一是要用到三角形的内角和及正、余弦定理，二是要用到三角变换、三角恒等变形的原则和方法 “化繁为简” “化异为同”是解此类问题的突破口 (满分：75 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1(2010湖北)在ABC 中，a15，b10，A60，则 cos B 等于 ( )AB.CD.2 232 2363632.在ABC 中 AB3，AC=2，BC=，则等于 ( )10ABACABC.D.322323323在ABC 中，sin2(a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边)，则ABC 的形状为( )A2cb2c A正三角形B直角三角形 C等腰直角三角形D等腰三角形 4(2011聊城模拟
7、)在ABC 中，若 A60，BC4，AC4，则角 B 的大小为( )32A30B45 C135D45或 135 5(2010湖南)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，若 C120， ca，则 ( )2AabBa (3) (4) bcsin A (5)AB 2. 122asin Absin Bcsin C b2c22bccos A a2c22accos B a2b22abcos C 2Rsin A 2Rsin B 2Rsin C sin Asin Bsin C a2Rb2Rc2Rb2c2a22bca2c2b22aca2b2c22ab 自我检测 1C 2.A 3.C4. 5
8、.16 课堂活动区 例 1 解题导引 已知三角形的两边和其中一边的对角，可利用正弦定理求其他的角和边，但要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解、无解三种情况具体判断方法如下：在ABC 中已知 a、b 和 A，求 B.若 A 为锐角，当 ab 时，有一解；当absin A 时，有一解；当 bsin Ab 时，有一解；当 ab 时，无解解 (1)由正弦定理得，sin A.asin Absin B32ab，AB，A60或 A120.当 A60时，C180456075，c；bsin Csin B6 22当 A120时，C1804512015，c.bsin Csin B6 22综上，A60，
9、C75，c，6 22或 A120，C15，c.6 22(2)B60，C75，A45.由正弦定理，asin Absin Bcsin C得 b4，c44.asin Bsin A6asin Csin A3b4，c44.63变式迁移 1 (1) (2)60或 120102解析 (1)在ABC 中，tan A ，C150，13A 为锐角，sin A.110又BC1.根据正弦定理得 AB.BCsin Csin A102(2)由 ba，得 BA，由，asin Absin B得 sin B，bsin Aa25 65022320a，BA，7cos A.1sin2A5 714tan A.sin Acos A35方
10、法三 c3a，由正弦定理，得 sin C3sin A.B ，C(AB)A，323sin(A)3sin A，23sincos Acossin A3sin A，2323cos A sin A3sin A，32125sin Acos A，3tan A.sin Acos A35变式迁移 2 解 由余弦定理得，b2a2c22accos Ba2c22accos 23a2c2ac(ac)2ac.又ac4，b，ac3，13联立Error!，解得 a1，c3，或 a3，c1.a 等于 1 或 3.例 3 解题导引 利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系解 方法一 (a2b2)sin(AB)
11、(a2b2)sin(AB)a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB)，2a2cos Asin B2b2cos Bsin A，由正弦定理，得sin2Acos Asin Bsin2Bcos Bsin A，sin Asin B(sin Acos Asin Bcos B)0，sin 2Asin 2B，由 02A2，02B2，得 2A2B 或 2A2B，即ABC 是等腰三角形或直角三角形方法二 同方法一可得 2a2cos Asin B2b2cos Bsin A，由正、余弦定理，即得a2bb2a，b2c2a22bca2c2b22aca2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，即(a2b
12、2)(c2a2b2)0，ab 或 c2a2b2，三角形为等腰三角形或直角三角形变式迁移 3 解题导引 在正弦定理2R 中，2R 是指什么？a2Rsin asin Absin Bcsin CA，b2Rsin B，c2Rsin C 的作用是什么？(1)证明 在ABC 中，由正弦定理及已知得.sin Bsin Ccos Bcos C于是 sin Bcos Ccos Bsin C0，即 sin(BC)0.因为BC，从而 BC0.所以 BC.(2)解 由 ABC 和(1)得 A2B，故 cos 2Bcos(2B)cos A .13又 02B，于是 sin 2B.1cos22B2 23从而 sin 4B2
13、sin 2Bcos 2B，4 29cos 4Bcos22Bsin22B .79所以 sin(4B3)sin 4Bcos cos 4Bsin 33.4 27 318课后练习区 1D 2.D 3.B 4.B 5.A 6等边三角形 解析 b2a2c22accos B，aca2c2ac，(ac)20，ac，又 B60，ABC 为等边三角形71 解析 由 AC2B 及 ABC180知，B60.由正弦定理知，1sin A3sin 60即 sin A .12由 ab 知，AB，A30，C180AB180306090，sin Csin 901.8.4解析 设BAD，DAC，则 tan ，tan ，1312tanBACtan()tan tan 1tan tan 1.131211312BAC 为锐角，BAC 的大小为 .49解 (1)因为 cos ，A22 55所以
