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1、章末综合测评章末综合测评( (三三) ) 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程(时间 120 分钟，满分 150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2016山西太原月考)抛物线 yax2的准线方程是 y20，则 a 的值是( )A.B 1818C8D8【解析】 抛物线 yax2的标准方程为 x2 y，1a所以2，即 a .14a18【答案】 B2.如图 1，已知圆 O 的方程为 x2y2100，点 A(6,0)，M 为圆 O 上任意一点，AM 的垂直平分线交 OM 于点 P，则点 P 的轨迹是( )图 1A圆B抛物
2、线C椭圆D两条直线【解析】 P 为 AM 垂直平分线上的点|PM|PA|.又|OP|PM|10，|PA|PO|10.故 P 点的轨迹是以 A，O 为焦点，长轴长为 10 的椭圆【答案】 C3(2016吉林延边期末)设 AB 是椭圆的长轴，点 C 在椭圆上，且CBA.若 AB4，BC，则椭圆的焦距为( )42A.B332 63C.D4 632 33【解析】 如图，设椭圆的标准方程为1(ab0)，由题意可知，x2a2y2b22a4，a2.因为CBA ，BC，所以 C(1，1)因为点 C 在椭圆上，42所以 1，所以 b2 .由公式 a2b2c2得 c，所以焦距为.141b2432 634 63【答
3、案】 C4双曲线 x24y24 的焦点坐标为( )A(，0)B(0，)33C(0，)D(，0)55【解析】 依题意 a2，b1，c，又y21 焦点在 x 轴上，5x24焦点坐标为(，0)5【答案】 D5(2015全国卷)已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，ABM 为等腰三角形，且顶角为 120，则 E 的离心率为( )A.B25C.D32【解析】 结合图形，用 a 表示出点 M 的坐标，代入双曲线方程得出a，b 的关系，进而求出离心率不妨取点 M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为1(a0，b0)，x2a2y2b2则|BM|AB|2a，MBx18012060，M 点
4、的坐标为.(2a， 3a)M 点在双曲线上，1，ab，4a2a23a2b2ca，e .故选 D.2ca2【答案】 D6已知双曲线 C1：1(a0，b0)的离心率为 2.若抛物线x2a2y2b2C2：x22py(p0)的焦点到双曲线 C1的渐近线的距离为 2，则抛物线 C2的方程为( )Ax2yBx2y8 3316 33Cx28yDx216y【解析】 双曲线的渐近线方程为 y x，由于ba2，所以 ，所以双曲线的渐近线方程为 yx.caa2b2a21(ba)2ba33抛物线的焦点坐标为，所以 2，所以 p8，所以抛物线方程为 x216y.(0，p2)p22【答案】 D7已知中心在原点的双曲线 C
5、 的右焦点为 F(3,0)，离心率等于 ，则 C 的32方程是( )A.1B1x24y25x24y25C.1D1x22y25x22y25【解析】 右焦点为 F(3,0)说明两层含义：双曲线的焦点在 x 轴上且 c3.又离心率为 ，故 a2，b2c2a232225，故 C 的方程为1，ca32x24y25选 B.【答案】 B8已知椭圆1(m0)的左焦点为 F1(4,0)，则 m( )x225y2m2A9B4C3D2【解析】 由题意得：m225429，因为 m0，所以 m3，故选 C.【答案】 C9(2015重庆高考)设双曲线1(a0，b0)的右焦点为 F，右顶点x2a2y2b2为 A，过 F 作
6、 AF 的垂线与双曲线交于 B，C 两点，过 B，C 分别作 AC，AB 的垂线，两垂线交于点 D.若 D 到直线 BC 的距离小于 a，则该双曲线的a2b2渐近线斜率的取值范围是( )A(1,0)(0,1)B(，1)(1，)C(，0)(0，)22D(，)(，)22【解析】 根据双曲线的性质和两直线的位置关系求解由题作出图像如图所示由1 可知 A(a,0)，F(c，0)x2a2y2b2易得 B，C.(c，b2a)(c，b2a)kAB，b2acab2acakCD.aacb2kAC，b2aacb2aackBD.aacb2lBD：y(xc)，即 yx，lCD：yb2aaacb2aacb2acacb2
7、b2a(xc)，即 yx.xDc.点 D 到b2aaacb2aacb2acacb2b2ab4a2acBC 的距离为.|b4a2ac|b2，00，b0)的渐近线与抛物线 C2：x22py(p0)交于点 O，A，B.x2a2y2b2若OAB 的垂心为 C2的焦点，则 C1的离心率为_【导学号：32550100】【解析】 利用三角形垂心的性质建立关于 a，b，c 的等式求离心率双曲线的两条渐近线方程为 y x，与抛物线方程联立得交点 Aba，B，(2pba，2pb2a2)(2pba，2pb2a2)抛物线焦点为 F，由三角形垂心的性质，得 BFOA，即(0，p2)kBFkOA1，又 kBF ，kOA
8、，所以有1，即p22pb2a22pbaa4bbaba(a4bba)ba ，故 C1的离心率 e .b2a254ca1b2a215432【答案】 32三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)已知椭圆 C：1(ab0)的离心率为，x2a2y2b263短轴的一个端点到右焦点的距离为，求椭圆 C 的方程3【解】 设椭圆的半焦距为 c，依题意知Error!Error!Error!Error!b21，所求椭圆方程为y21.x2318(本小题满分 12 分)若双曲线的一条准线为 x4，其相应的焦点为(10,0)，离心率为 2，求此双曲线
9、的方程【解】 设 P(x，y)是所求双曲线上的任一点，由双曲线的第二定义，得2，x102y2|x4|化简整理，得1.x2216y24819(本小题满分 12 分)直线 l：ykx1，抛物线 C：y24x，当 k 为何值时，l 与 C：(1)相切；(2)相交；(3)相离【解】 将直线 l 和抛物线 C 的方程联立，得Error!Error!将代入，并整理，得 k2x22(k2)x10.当 k0 时，x ，y1，得交点 A.14(14，1)当 k0 时，方程为一元二次方程，所以 16(1k)(1)当 0，即 k1 时，l 与 C 相切；(2)当 0，即 k1 且 k0 时，l 与 C 相交；(3)
10、当 0，即 k1 时，l 与 C 相离综上(1)k1 时相切；(2)k1 时相离20(本小题满分 12 分)求以(1，1)为中点的抛物线 y28x 的弦所在直线的方程【解】 设弦的两端点分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Error!Error!. 由Error!Error!得Error!Error!kAB. y2y1x2x1由，得(y2y1)(y2y1)8(x2x1)，.将代入上式可得 kAB4.y2y1x2x18y2y1弦所在直线方程为 y14(x1)，即 4xy30.21(本小题满分 12 分)点 A，B 分别是椭圆1 长轴的左、右端点，x236y220点 F 是椭圆的右焦点，
11、点 P 在椭圆上，且位于 x 轴上方，PAPF.(1)求点 P 的坐标；(2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点，M 到直线 AP 的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值【解】 (1)由已知可得点 A(6,0)，B(6,0)，F(4,0)设点 P 的坐标为(x，y)，PAPF，kAPkPF1.由已知得Error!Error!则 2x29x180，解得 x 或 x6(舍去)32x ，32由于 y0，故 y.5 32点 P 的坐标为.(32，5 32)(2)易知直线 AP 的方程是 xy60.3设点 M 的坐标为(m,0)，则点 M 到直线 AP 的距离是.|m6|2于是|
12、m6|，又6m6，解得 m2.|m6|2故点 M 的坐标为(2,0)椭圆上的点(x，y)到点 M 的距离 d 的平方为：d2(x2)2y2x24x420 x2215.5949(x92)由于6x6，所以当 x 时，d 取得最小值，最小值为.921522(本小题满分 12 分)(2015浙江高考)如图 2，已知抛物线 C1：y x2，14圆 C2：x2(y1)21，过点 P(t,0)(t0)作不过原点 O 的直线 PA，PB 分别与抛物线 C1和圆 C2相切，A，B 为切点图 2(1)求点 A，B 的坐标；(2)求PAB 的面积【解】 (1)由题意知直线 PA 的斜率存在，故可设直线 PA 的方程为yk(xt)由Error!Error!消去 y，整理得 x24kx4kt0，由于直线 PA 与抛物线相切，得 kt.因此，点 A 的坐标为(2t，t2)设圆 C2的圆心为 D(0,1)，点 B 的坐标为(x0，y0)由题意知：点 B，O 关于直线 PD 对称，故Error!Error!解得Error!Error!因此，点 B 的坐标为.(2t1t2，2t21t2)(2)由(1)知|AP|t，1t2直线 PA 的方程为 txyt20.点 B 到直线 PA 的距离是 d.t21t2设PAB 的面积为 S(t)，则 S(t) |AP|d .12t32
