《2015高中数学 1.7定积分的简单应用 学案（人教a版选修2-2）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015高中数学 1.7定积分的简单应用 学案（人教a版选修2-2）（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、17 定积分的简单应用学习目标1.应用定积分求平面图形的面积、变速直线运动的路程及变力做功(重点)2将实际问题抽象为定积分的数学模型，然后应用定积分的性质来求解(难点)学法指导1.定积分可以解决一些在几何中用初等数学方法难以解决的平面图形面积问题在这部分的学习中，应特别注意利用定积分的几何意义2利用定积分解决变速直线运动的路程，变力做功等问题，要特别注意问题的物理意义同时借助定积分的几何意义，用“数形结合”思想解决问题.1定积分在几何中的应用从几何上看，如果在区间a，b上函数 f(x)连续且恒有 f(x)0，那么定积分 f(x)dx 表示b a 直线 xa，xb，y0 和曲线 yf(x)所围成
2、的曲边梯形的面积 2定积分在物理中的应用 (1)做变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度函数 vv(t)(v(t)0)在时间区间a，b上的定积分，即 s v(t)dt.b a (2)一物体在恒力 F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与 F 相同的方向移动 了 s(单位：m)，则力 F 所做的功为 WFs；而若是变力所做的功，W 等于其力函数 F(x)在位移区间a，b上的定积分，即 W F(x)dx.b a1判断：(正确的打“” ，错误的打“”)(1)当 f(x)0 时，f(x)与 xa，xb 及 x 轴所围图形的面积为| f(x)dx|.( )b a(2)在求变速直线运动的路
3、程时，物体运动的速度一定为正( ) (3)在计算变力做功时，不用考虑力与位移的方向( ) 答案：(1) (2) (3) 2直线 x1，x1，y0 与曲线 ysin x 所围成的平面图形的面积表示为( )A. sin xdx B sin xdx1 11 0C2sin xdx D 2sin xdx0 11 0 答案：D 3已知一质点做自由落体运动，其速度 vgt，则质点从 t0 到 t2 所经过的路程为( ) Ag B2g C3g D4g 答案：B 4一物体在 F(x)5x3(单位：N)的作用下，沿与力 F 相同的方向，从 x0 处运动到 x5(单位：m)处，则 F(x)做的功等于_J. 答案：7
4、7.5不分割型图形面积的求解计算由曲线 y2x，yx2所围图形的面积 S. (链接教材 P56例 1) 解 由Error!Error!得交点的横坐标为 x0 及 x1.因此，所求图形的面积为SS曲边梯形 OABCS曲边梯形 OABDdx x2dx1 0x1 0 x | x3|2332 1 0131 0 .231313方法归纳求不分割型图形面积的一般步骤如下：同时，要注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负、可为零；而平面图形的面积总是非负的1求曲线 yex，yex及 x1 所围成的图形面积 解：作图，并由Error!Error!解得交点(0,1)所求面积为 (exex
5、)dx(exex)| e 2.1 01 01e分割型图形面积的求解计算由直线 yx4，曲线 y以及 x 轴所围图形的面积 S.2x(链接教材 P57例 2) 解 法一：作出直线 yx4，曲线 y的草图2x解方程组Error!Error!，得直线 yx4 与曲线 y交点的坐标为(8,4)2x直线 yx4 与 x 轴的交点为(4,0)因此，所求图形的面积为SS1S2dxdx (x4)dx4 02x8 42x8 4x | x | (x4)2|2 2332 4 02 2332 8 4128 4.403法二：把 y 看成积分变量，则S (y4 y2)dy4 012( y24y y3)| .12164 0
6、403方法归纳需分割的图形的面积的求法由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间上位于上方和下方的曲线不同求出曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间上曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下2如图所示，求曲线 y与直线 y2x，y x 所围成的图形的面积x13解：由Error!Error!Error!Error!Error!Error!得交点坐标分别为(1,1)，(0,0)，(3，1)，Sdx1 0x13xdx3 12x13x ( x)dx (2 x)dx1 0x133 123( x x2)Error!Error!(2x x2)Error!Er
7、ror!23321613( ).231663213136求变速直线运动的路程、位移一辆汽车的速度时间曲线如图所示，求汽车在这 1 min 行驶的路程(链接教材 P58例 3) 解 由速度时间曲线可知：v(t)Error!Error!因此汽车在这 1 min 行驶的路程是：s 3tdt 30dt (1.5t90)dt10 040 1060 40 t2|30t|( t290t)|3210 040103460401 350(m)即汽车在这 1 min 行驶的路程是 1 350 m.方法归纳(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键(2)路程是位移的绝对值之和，因
8、此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误3有一动点 P 沿 x 轴运动，在时间 t 时的速度为 v(t)8t2t2(速度的正方向与 x 轴正方 向一致)求 (1)P 从原点出发，当 t6 时，求点 P 离开原点的路程和位移； (2)P 从原点出发，经过时间 t 后又返回原点时的 t 值 解：(1)由 v(t)8t2t20，得 0t4，即当 0t4 时，P 点向 x 轴正方向运动，当 t4 时，P 点向 x 轴负方向运动故 t6 时，点 P 离开原点的路程s1 (8t2t2)dt (8t2t2)dt4 06 4 ooo
9、oooo(4t2 t3)Error!Error!(4t2 t3) Error!Error!.23231283当 t6 时，点 P 的位移为(8t2t2)dt(4t2 t3) Error!Error!0.6 023(2)依题意 (8t2t2)dt0，t 0即 4t2 t30，解得 t0 或 t6.23t0 对应于 P 点刚开始从原点出发的情况，t6 是所求的值利用定积分求解其他物理问题如图，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置 l m 处，求克服弹力所做的 功 (链接教材 P59例 4) 解 在弹性限度内，拉伸(或压缩)弹簧所需的力 F(x)与弹簧拉伸(或压缩)的长度 x 成正比，即F
10、(x)kx，其中常数 k 是比例系数由变力做功公式，得到W kxdx kx2| kl2(J)l 012l 012即克服弹力所做的功为 kl2 J.12方法归纳求变力做功的方法步骤(1)首先要明确变力的函数式 F(x)kx，确定物体在力的方向上的位移(2)利用变力做功的公式 W F(x)dx 计算b a(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳4物体按规律 x4t2(米)做直线运动，设介质的阻力与速度成正比，且速度等于 10 米/ 秒时，阻力为 2 牛，求物体从 x0 到 x2 阻力所做的功解：由题意 vx8t，t，所以 v4.12 xx又 Fkv(k 是比例系数)，且当 v
11、10 米/秒时 F2 牛，所以 210k，所以 k ，所以 F，1545 x又 F 与物体运动的方向相反，所以 Wdxx | (焦耳)2 045 x81532 2 01615 2所以物体从 x0 到 x2 阻力所做的功为焦耳1615 2易错警示忽视位移有正、负致误一点在直线上从时刻 t0(s)开始以速度 vt24t3(m/s)运动，求： (1)在 t4 s 时的位置； (2)在 t4 s 时运动的路程 解 (1)在 t4 s 时该点的位置为：(t24t3)dt( t32t23t)| (m)，4 0134 043即在 t4 s 时该点距出发点 m.43(2)因为 v(t)t24t3(t1)(t3
12、)，所以在区间0,1及3,4上，v(t)0，在区间1,3上，v(t)0，所以在 t4 s 时运动的路程为：s (t24t3)dt (t24t3)dt (t24t3)dt (t24t3)dt (t24t3)1 03 14 31 03 1dt (t24t3)dt4(m)4 3错因与防范 1.解答本题易错点为把路程误认为位移，而路程是位移的绝对值之和，所以需要判断在0,4上，哪个时间段的位移为负2用定积分解决变速直线运动的位移与路程问题时，分清运动过程中的变化情况是解题的关键做变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度函数 vv(t)(v(t)0)在时间区间a，b上的定积分，即 s v(t)dt
13、.当 v(t)0 时，s v(t)dt.b ab a5若某一物体以速度 v(t)4t2做直线运动，求它在 t1 到 t4 这段时间内的路程 解：当 1t2 时，v(t)4t20；当 2t4 时，v(t)0，物体在 t1 到 t4 这段时间内的路程是s v(t)dt v(t)dt2 14 2 (4t2)dt (4t2)dt2 14 2(4t t3)| (4t t3) | .132 1134 2373名师解题例析求阴影部分面积求如图所示的图形中阴影部分的面积解 法一：阴影部分的面积为：S x2dx xdx1 02 1 x3| x2|131 0122 0 22 .131212116法二：阴影部分的面
14、积为：S xdx (xx2)dx2 01 0 x2| ( x2 x3)|122 012131 02 .1213116法三：阴影部分的面积为：S (2)dy (2y)dy1 0y2 1(2y y )| (2y y2) |2332 1 0122 12 422 .2312116名师点评 本题阴影部分面积的分割方法很多，要注意的是分法不同，积分区间、积分变量、被积函数也不同学业水平训练 1用 S 表示图中阴影部分的面积，则 S 的值是( )A. f(x)dxc aB| f(x)dx|c aC f(x)dx f(x)dxb ac bD f(x)dx f(x)dxc bb a解析：选 Dxa，b时，f(x)0，xb，c时，f(x)0，阴影部分的面积S f(x)dx f(x)dx.c bb a2物体以速度 v(t)3t22t3 做直线运动，它在 t0 到 t3 这段时间内的位移是( )A9 B18 C27 D36解析：选 C所求位移 s v(t)dt (3t22t3)dt(t3t23t)| 27.3 03 03 03曲线 yx3与直线 yx 所围成图形的面积等于( )A.(xx3)dx
