《2015高中数学 1.5.1曲边梯形的面积 1.5.2汽车行驶的路程 学案（人教a版选修2-2）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015高中数学 1.5.1曲边梯形的面积 1.5.2汽车行驶的路程 学案（人教a版选修2-2）（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、15 定积分的概念15.1 曲边梯形的面积 15.2 汽车行驶的路程学习目标1.了解定积分的实际背景2了解“以直代曲” “以不变代变”的思想方法(难点)3会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程(重点)学法指导1.“以直代曲”的思想：用直边图形(如矩形)代替曲边梯形的面积，再用求极限的方法求曲边梯形的面积2 “以不变代变”的思想：变速直线运动的路程问题采用“以不变代变”的思想，转化为求匀速直线运动的路程问题，也可转化为求曲边梯形的面积.学生用书P30 1连续函数与曲边梯形 (1)连续函数 如果函数 yf(x)在某个区间 I 上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间 I 上的连续函数 (2)曲
2、边梯形 把由直线 xa，xb(ab)，y0 和曲线 yf(x)所围成的图形称为曲边梯形2曲边梯形的面积与变速直线运动的路程 (1)求曲边梯形面积的步骤： 分割：如图将a，b分割，等分成 n 个小区间每个小区间的长度为 xban近似代替：将所分的每一个小曲边梯形的面积用小矩形面积近似代替，其中 ixi1，xi求和：由知 SnSi，当 n时，SnS.n i1取极限：由得 SSn.limn(2)如果物体做变速直线运动，速度函数 vv(t)，那么也可以采用分割、近似代替、求和、 取极限的方法，求出它在 atb 内的路程 s.1判断：(正确的打“” ，错误的打“”) (1)求汽车行驶的路程时，分割的区间
3、表示汽车行驶的路程( ) (2)利用“以直代曲”思想求出的曲边梯形的面积是近似值( )(3)利用求和符号计算(n1)40.( )4 n1n答案：(1) (2) (3) 2把区间1,3n 等分，所得 n 个小区间的长度均为( )A. B1n2nC D3n12n 答案：B3函数 f(x)x2在区间上( )i1n，in Af(x)的值变化很小Bf(x)的值变化很大 Cf(x)的值不变化 D当 n 很大时，f(x)的值变化很小 答案：D 4已知某物体运动的速度 v2t1，t0,10，若把区间 10 等分，取每个小区间右端 点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为_ 答案：100求曲边梯形
4、的面积求抛物线 f(x)1x2与直线 x0，x1，y0 所围成的平面图形的面积 S.(链接教材 P3941) 解 (1)分割把区间0,1等分成 n 个小区间(i1,2，n)，其长度 x ，把曲边梯形分成i1n，in1nn 个小曲边梯形，其面积分别记为 Si(i1,2，n)(2)近似代替用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积Sifx (i1,2，n)(i1n)1(i1n)21n(3)求和Si .ni1ni11n1(i1n)2(4)取极限S limnni11n1(i1n)21 2limnni1(i1n)1n1 limn13(11n)(112n)1 .1343方法归纳(1)求曲边梯形的面积时要按照分割近
5、似代替求和取极限这四个步骤进行(2)近似代替时，可以用每个区间的右端点的函数值代替，也可用每个区间的左端点的函数值代替(3)求和时要用到一些常见的求和公式，例如：123n，1222n2等nn12nn12n161用曲边梯形面积的计算方法求由直线 x0，x1，y0 及直线 y3x 所围成图形的 面积解：(1)分割：把区间0,1等分成 n 个小区间(i1,2，n)，其长度为 x .把i1n，in1n梯形分成 n 个小梯形，其面积记为 Si(i1,2，n)(2)近似代替：用小矩形面积近似代替小梯形面积Sif()x3i1ni1n1n(i1)(i1,2，n)3n2(3)求和：Si(i1)n i1n i13
6、n212(n1)3n2 (1 )32n1n321n(4)取极限：S(i1)limnn i13n2 (1 ) .limn321n32故所求面积等于 .32求汽车行驶的路程一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻 t 的速度为 v(t)t25(t 的单 位：h，v 的单位：km/h)，试计算这辆汽车在 0t2 这段时间内汽车行驶的路程 s(单位： km) (链接教材 P4244) 解 (1)分割：在时间区间0,2上等间隔地插入 n1 个分点，将区间分成 n 个小区间，记第 i 个小区间为(i1,2，n)，2i1n，2int ，2in2i1n2n把汽车在时间段，上行驶的路程分别记为0，2n 2n
7、，4n2n1n，2nns1，s2，sn，则有 snsi(i1,2，n)n i1(2)近似代替：取 i (i1,2，n)，2insiv( )t2in(2in)252n (i1,2，n)4i2n22n10n(3)求和：snsin i1n i1(4i2n22n10n) 104 12n22n4 22n22n4 n2n22n(1222n2)108n3108n3nn12n168 (1 )(1)10.131n12n(4)取极限：ssn.limn223因此，行驶的路程为 km.223方法归纳把变速直线运动的路程问题，化归为求匀速直线运动的问题，采用的方法仍然是分割、近似代替、求和、取极限，求变速直线运动的路程
8、和曲边梯形的面积，虽然它们的意义不同，但都可以归纳为求一个特定形式和的极限，通过这样的背景问题，能更好的体会后面所要学习的定积分的概念2已知自由落体的运动速度 vgt，求在时间区间0，t内物体下落的距离 解：(1)分割将时间区间0，t分成 n 等份把时间0，t分成 n 个小区间(i1,2，n)，每个小区间所表示的时间段 ti1nt，itnt ，在各小区间物体下落的距离记作 si(i1,2，n)itni1ntn(2)近似代替在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程在上任取一时刻 i(i1,2，n)，可取 i使 v(i)gt 近似代替第 i 个小i1nt，itni1n区间上的速度，因此
9、在每个小区间上自由落体 t 内所经过的距离可近似表示为 sigtnt (i1,2，n)i1ntn(3)求和snsitn i1n i1gi1 ntn012(n1)gt2n2 gt2(1 )121n(4)取极限s gt2(1 ) gt2.limn121n12易错警示搞错区间端点致误求由抛物线 y2x2与直线 x0，xt(t0)，y0 所围成的曲边梯形的面积时，将区间0，t等分成 n 个小区间，则第 i1 个区间为( )A. Bi1n，inin，i1nC Dti1n，tinti2n，ti1n解析 每个小区间长度为 ，故第 i1 个区间的左端点为 0(i2) ，右端tntnti2n点为 .ti2ntn
10、ti1n答案 D错因与防范 1.解决本题易错误地认为区间左端点为，从而误选 Cti1n2在将区间0,1等分成 n 个小区间时，其第 1 个小区间的左端点为 0，第 2 个小区间的左端点为 ，依次类推，第 i 个小区间的左端点为.1ni1n3在求直线 x0，x2，y0 与曲线 yx2所围成的曲边三角形的面积时，把区间0,2 等分成 n 个小区间，则第 i 个小区间是( )A. B.i1n，inin，i1nC D2i1n，2in2in，2i1n解析：选 C将区间0,2等分为 n 个小区间后，每个小区间的长度为 ，第 i 个小区间为2n.2i1n，2in单独成册学业水平训练 1下列函数在其定义域上不
11、是连续函数的是( ) Ayx2 By|x|Cy Dyx1x解析：选 D由于函数 y 的定义域为(，0)(0，)，故其图象不是连续不断的1x曲线2在“近似代替”中，函数 f(x)在区间xi，xi1上的近似值( )A可以是左端点的函数值 f(xi) B可以是右端点的函数值 f(xi1) C可以是该区间内的任一函数值 f(i)(ixi，xi1) D以上答案均正确 解析：选 D由于当 n 很大，即 x 很小时，在区间xi，xi1上，可以认为函数 f(x)的值变化很小，近似地等于一个常数，所以可以是该区间内的任一函数值(含端点函数值)3直线 y2x1 与直线 x0，xm，y0 围成图形的面积为 6，则正
12、数 m( )A1 B2 C3 D4解析：选 B.由题意，直线围成梯形的面积为 S (12m1)m6，解得12m2，m3(舍去)4对于由直线 x1，y0 和曲线 yx3所围成的曲边三角形，把区间 3 等分，则曲边三角形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( )A. B.19125C D127130解析：选 A.将区间0,1三等分为，各小矩形的面积和为 s103 ( )0，13 13，23 23，113133 ( )3 .132313195在求由曲线 y 与直线 x1，x3，y0 所围成图形的面积时，若将区间 n 等分，1x并且用每个区间的右端点的函数值近似代替，则第 i 个小曲边梯形的面积 Si
13、约等于( )A. B.2n2i2n2i2C D2nn2i1n2i解析：选 A.每个小区间长度为 ，第 i 个小区间为，因此第 i 个小曲边2nn2i1n，n2in梯形的面积 Si .1n2in2n2n2i6如果汽车做匀变速直线运动，在时刻 t 的速度为 v(t)t22(单位：km/h)，则该汽车在 1t2 这段时间内行驶的路程可用一个平面图形的面积来表示，则围成该图形的直线和 曲线分别是_ 解析：围成该图形的直线和曲线分别是 t1，t2，v0，vt22.答案：t1，t2，v0，vt22 7在区间0,8上插入 9 个等分点后，则所分的小区间长度为_，第 5 个小区间是 _解析：在区间0,8上插入 9 个等分点后，把区间0,810 等分，每个小区间的长度为810，第 5 个小区间为.45165，4答案： 45165，48物体运动的速度和时间的函数关系式为 v(t)2t(t 的单位：h，v 的单位：km/h)，近似 计算在区间2,8内物体运动的路程时，把区间 6 等分，则这段时间运动的路程的近似值(每个 i均取值为小区间的右端点)为_km. 解析：以小区间右端点时的速度作为小区间的平均速度，可得所求近似值为s(232425262728)166(km)答案：66 9利用分割，近似代替，求和，取极限的办法求函数 y1x，x1，x2 的图象与 x 轴围成梯形的面积，并用梯形的面
