《线段与角习题精选[1]》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线段与角习题精选[1]（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、例2:,重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.,观察上节例1:,观察上节 例2 : P75-76,由以上讨论可知, 函数沿闭曲线积分为零与函数在某区域上的解析性密切相关.,f ( z ) 的积分与路径无关。,而且对 f ( z ) 的封闭曲线积分为0。,观察上节例3:,对 f ( z ) 的积分与路径有关。,柯西 - 古萨基本定理：P76,如果函数 f (z)在单连通域B内处处解析，那么函数 f (z) 沿B内的任何一条封闭曲线C的积分为0.,3 基本定理的推广,将柯西 - 古萨基本定理推广到多连通域的情况。,先观察简单的多连通域的情况（只有一个“洞”）P77-78,这就说明，在区域上解
2、析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.这个事实称为闭路变形原理.,补例：,利用例题2的结果：,复合闭路定理：P79 图3.6,4 原函数与不定积分,定理一： 如果函数 f (z) 在单连通域B内处处解析，则积分与路径C无关。,由此，得到原函数：,定理二： 如果函数 f (z) 在单连通域B内处处解析，则F(z)必为B内的一个解析函数，且：,不定积分相应的积分公式.,定理三： 如果函数 f (z) 在单连通域B内处处解析，G (z)为 f (z)的一个原函数，则：,例题1（P83）,例题2（P84）,5 柯西积分公式,问题的提出：,观察积分,上述公式称为柯西积分公式，它
3、是说明如果函数f(z)在C 及C 所围的区域内解析，那么f(z) 在C 内任一点z0 的值由 在C 上的积分值完全确定。,补例：,6 解析函数的高阶导数,本节研究解析函数的无穷次可导性，并导出高阶导数计算公式。研究表明：一个解析函数不仅有一阶导数，而且有各阶导数，它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示。这一点与实变函数有本质区别。,定理 （P87）： 解析函数 f( z) 的高阶导数仍为解析函数，其 n 阶导数为：,一个解析函数的导数仍为解析函数。,7 解析函数与调和函数的关系 （P90),1、调和函数的定义：,称为拉普拉斯方程。,定理（P91）：在区域D内解析的函数，它的实部和虚部都是D内的调和函数。,2、共轭调和函数：,对区域D内调和的函数u (x, y)，称使得 u (x ,y) + i v (x ,y)在D内解析的函数 v (x, y),为 u (x , y)的共轭调和函数。,例1（P92）：偏积分法,例2（P92）：,拼凑法再解例1和例2。,
