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1、1,概率论与数理统计第22讲,本讲义可在网址http:/ 下载,2,第七章 假设检验,3,统计推断的另一类重要问题是假设检验, 在总体分布未知或虽知其类型但含有未知参数的时候, 为推断总体的某些未知特性, 提出某些关于总体的假设. 我们需要根据样本所提供的信息以及运用适当的统计量, 对提出的假设作出接受或拒绝的决策, 假设检验是作出这一决策的过程.,4,参数假设检验是针对总体分布函数中的未知参数而提出的假设进行检验, 非参数假设检验是针对总体分布函数形式或类型的假设进行检验, 本章主要讨论单参数假设检验问题,5,7.1 假设检验的基本概念,6,一, 引例 设一箱中有红白两种颜色的球共100个,
2、 甲说这里有98个白球, 乙从箱中任取一个, 发现是红球, 问甲的说法是否正确?,7,先作假设H0: 箱中确有98个白球. 如果假设H0正确, 则从箱中任取一个球是红球的概率只有0.02, 是小概率事件. 通常认为在一次随机试验中, 概率小的事件不易发生, 因此, 若乙从箱中任取一个, 发现是白球, 则没有理由怀疑假设H0的正确性. 今乙从箱中任取一个, 发现是红球, 即小概率事件竟然在一次试验中发生了, 故有理由拒绝假设H0, 即认为甲的说法不正确.,8,二, 假设检验的基本思想 假设检验的基本思想实质上是带有某种概率性质的反证法. 为了检验一个假设H0是否正确, 首先假定该假设H0正确,
3、然后根据抽取到的样本对假设H0作出接受或拒绝的决策. 如果样本观察值导致了不合理的现象发生, 就应拒绝假设H0, 否则应接受假设H0.,9,假设检验中所谓“不合理“, 并非逻辑中的绝对矛盾, 而是基于人们在实践中广泛采用的原则, 即小概率事件在一次试验中是几乎不发生的. 但概率小到什么程度才能算作“小概率事件“, 显然, 概率越小, 否定假设H0越有说服力. 常记这个概率值为a(0am0, (1.2) H0:mm0, H1:mua/2=a.,22,23,六, 多参数与非参数假设检验问题 原则上, 以上介绍的所有单参数假设检验的内容也适用于多参数与非参数假设检验问题, 只需在某些细节上作适当调整
4、即可, 这里仅说明下列两点: (1) 对多参数假设检验问题, 要寻求一个包含所有待检参数的检验统计量, 使之服从一个已知的确定分布; (2) 非参数假设检验问题可近似地化为一个多参数假设检验问题.,24,7.2 单正态总体的假设检验,25,一, 总体均值的假设检验 当检验关于总体均值m(数学期望)的假设时, 该总体中的另一个参数, 即方差s2是否已知, 会影响到对于检验统计量的选择, 故下面分两种情形进行讨论.,26,1. 方差s2已知情形 设总体XN(m,s2), 其中总体方差s2已知, X1,X2,Xn是取自总体X的一个样本, X为样本均值.,27,(1) 检验假设H0:m=m0, H1:
5、mm0. 其中m0为已知常数. 则当H0为真时,故选取U作为检验统计量, 记其观察值为u, 相应的检验法称为u检验法.,28,因为X是m的无偏估计量, 当H0成立时, |u|不应太大, 当H1成立时, |u|有偏大的趋势, 故拒绝域形式为,对于给定的显著性水平a, 查标准正态分布表得k=ua/2, 使,29,由此即得拒绝域为,即 W=(-, -ua/2)(ua/2,+) 根据一次抽样后得到的样本观察值x1,x2,xn计算出U的观察值u, 若|u|ua/2, 则拒绝原假设H0, 即认为总体均值与m0有显著差异; 若|u|ua/2, 则接受原假设H0, 即认为总体均值与m0无显著差异.,30,类似
6、地, 对单侧检验有: (2)右侧检验: 检验假设H0:mm0, H1:mm0, 其中m0为已知常数. 可得拒绝域为,31,(3)左侧检验: 检验假设H0:mm0, H1:m1.96 计算出,所以,故应拒绝H0, 即认为折断力的均值发生了变化,34,例2 有一工厂生产一种灯管, 已知灯管的寿命X服从正态分布N(m,40000), 根据以往的生产经验, 知道灯管的平均寿命不会超过1500小时. 为了提高灯管的平均寿命, 工厂采用了新的工艺. 为了弄清楚新工艺是否真的能提高灯管的平均寿命, 他们测试了采用新工艺生产的25只灯管的寿命, 其平均值是1575小时. 尽管样本的平均值大于1500小时, 试
7、问: 可否由此判定这恰是新工艺的效应而非偶然的原因使得抽出的这25只灯管的平均寿命较长呢?,35,解 可把问题转述为假设检验问题: H0:m1500, H1:m1500 从而可用右侧检验法来检验, 相应于m0=1500, s=200, n=25取显著性水平为a=0.05, 查附表得ua=1.645, 因已测出x=1575, 从而,36,由于u=1.875ua=1.645, 从而否定原假设H0, 接受备择假设H1, 即认为新工艺事实上提高了灯管的平均寿命.,37,2. 方差s2未知情形 设总体XN(m,s2), 其中总体方差s2未知, X1,X2,Xn是取自X的一个样本, X与S2分别为样本均值
8、与样本方差. (1) 检验假设H0:m=m0, H1:mm0. 其中m0为已知常数. 则当H0为真时,38,故选取T为检验统计量, 记其观察值为t, 相应的检验法称为t检验法. 由于X是m的无偏估计量, S2是s2的无偏估计量, 当H0成立时, |t|不应太大, 当H1成立时, |t|有偏大的趋势. 对于给定的显著性水平a, 查分布表得ta/2(n-1), 使 P|T|ta/2(n-1)=a,39,由此得拒绝域为,即 W=(-, -ta/2(n-1)(ta/2(n-1),+) (2.6) 根据一次抽样后得到的样本观察值x1,x2,xn计算出T的观察值t, 若|t|ta/2(n-1), 则拒绝原假设H0, 即认为总体均值与m0有显著差异; 若|t|ta/2(n-1), 则接受原假设H0, 即认为总体均值与m0无显著差异.,40,类似地, 对单侧检验有: (2)右侧检验: 检验假设H0:mm0, H1:mm0, 其中m0为已知常数. 可得拒绝域为,41,(3)左侧检验: 检验假设H0:mm0, H1:m2.306. 由数据计算出x=49.9, s2=0.29,
